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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}  
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie}} 
\rfoot{\small{juin 1999}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures} 

\vspace{0,5cm} 

{\Large \textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 1999~\decofourright}}\end{center} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 1\hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Voici le tableau de répartition des principaux groupes sanguins des 
habitants de France : 

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{| l | *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-5} 
\multicolumn{1}{l|}{} 	&O 			&A 			&B 			&AB\\ \hline 
Rhésus $+$ 				&35,0\:\%	&38,1\:\%	&6,2\:\% 	&2,8\:\%\\ \hline 
Rhésus $-$ 				&9,0 \:\% 	&7,2\:\% 	&1,2\:\% 	&0,5\:\%\\ \hline 
\end{tabularx} 
\end{center} 

Dans cet exercice, les résultats numériques demandés seront, s'il y a lieu, 
arrondis à trois décimales. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'objectif de cette question est de compléter à l'aide de données de ce tableau l'arbre suivant, à recopier sur la copie. 

\begin{center} 

\pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=2.8cm,nodesep=3.5pt]{\Tr{}} 
{ 
\pstree{\Tr{Rh$_{+}$}\taput{$p_{1} = ?$}} 
{ 
\Tr{O}\taput{$p_{2} = ?$} 
\Tr{A}\taput{?} 
\Tr{B}\taput{?} 
\Tr{AB}\taput{?} 
} 
\pstree{\Tr{Rh$_{-}$}\tbput{$?$}} 
{ 
\Tr{O}\taput{?} 
\Tr{A}\taput{?} 
\Tr{B}\taput{?} 
\Tr{AB}\taput{?} 
} 
} 
\end{center} 

L'expérience consiste à choisir une personne au hasard dans la 
population donnée (les habitants de la France). 

On note Rh$+$ l'évènement \og La personne a le facteur Rh$+$ \fg{}. 

On note O l'évènement \og La personne appartient au groupe O \fg{}. 

\medskip

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la probabilité $p_1$ c'est-à-dire $p$(Rh$+$). 

On détaillera le calcul effectué puis on reportera ce résultat dans 
l'arbre. 

Déterminer de même la probabilité $p_2$ (en détaillant les calculs). 
		\item Compléter le reste de l'arbre, en remplaçant chaque point d'interrogation par la probabilité correspondante (il est inutile de détailler les nouveaux calculs). 
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate} 
		\item Comment peut-on, à partir de l'arbre complété, déterminer la probabilité de O ? 

Vérifier ce résultat à partir du tableau. 

		\item Quelle est la probabilité pour qu'une personne appartenant au groupe O ait le facteur Rh$+$ ? 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item On considère $n$ personnes choisies au hasard dans la population donnée (les habitants de la France). 

Calculer, en fonction de $n$, la probabilité $p$ pour qu'il y ait, parmi elles, au moins une personne du groupe O. 
		\item Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle on a $p 
\geqslant 0,999$. 
	\end{enumerate} 

\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Pour tout nombre $Z$, on pose $P(Z) = Z^4 - 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Factoriser $P(Z)$. 
		\item En déduire les solutions dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes de l'équation $P(Z) = 0$, d'inconnue $Z$. 
		\item Déduire de la question précédente les solutions dans $\C$ de l'équation d'inconnue $z$ : 

\[\left(\dfrac{2z + 1}{z - 1}\right)^4 = 1.\] 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Le plan complexe $(P)$ est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (l'unité graphique est $5$~cm).
		 
Placer les points A,~ B et C d'affixes respectives : 

\[a = -2,~b = -\dfrac{1}{5} - \dfrac{3}{5}\text{i}~\text{et}~c = -\dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5}\text{i}\] 

		\item Démontrer que les points O,~ A,~ B et C sont situés sur un cercle, que l'on déterminera. 
	\end{enumerate} 
\item Placer le point D d'affixe $d = -\dfrac{1}{2}$.

Exprimer sous forme trigonométrique le nombre complexe $z'$ défini 
par : 

\[z' = \dfrac{a - c}{d - c}.\]

En déduire le rapport $\dfrac{\text{CA}}{\text{CD}}$.
 
Quelle autre conséquence géométrique peut-on tirer de l'expression de 
$z'$ ? 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
  
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère l'équation $(E)~:~8x + 5y = 1$,~où $(x~;~y)$ est un couple de nombres entiers relatifs. 
	\begin{enumerate} 
		\item Donner une solution particulière de l'équation $(E)$. 
		\item Résoudre l'équation $(E)$. 
\end{enumerate} 

\item Soit $N$ un nombre naturel tel qu'il existe un couple $(a~;~b)$ de 
nombres entiers vérifiant : $\left\{ \begin{array}{l c l} 
N	& =	& 8a + 1\\ 
N 	&=	& 5b + 2.\\ 
\end{array}\right.$ 

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que le couple $(a~;~b)$ est solution de $(E)$. 
		\item Quel est le reste, dans la division de $N$ par $40$ ? 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Résoudre l'équation $8x + 5 y = 100$, où $(x~;~ y)$ est un couple de  nombres entiers relatifs. 
		\item Au VIII$\up{e}$ siècle, un groupe composé d'hommes et de femmes a  dépensé $100$ pièces de monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé $8$ pièces chacun et les femmes $5$ pièces chacune. Combien pouvait-il y avoir d'hommes et de femmes dans le groupe ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Problème \hfill 11 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
L'objet de ce problème est de résoudre une équation différentielle, d'en étudier une fonction solution et de calculer des aires.

\medskip 

\textbf{Partie A}
 
\textbf{Résolution de l' équation différentielle} \boldmath $(E) : y' + 
y = x - 1$ \unboldmath 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_1^x  \text{e}^t (t - 1)\:\text{d}t.$ 
\item Soit $z$ une fonction dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
On pose $f(x) = z(x)\text{e}^{-~ x}$. 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la fonction $f$ est solution de $(E)$ si, et seulement si, pour tout $x$ de $\R,~ z'(x) = \text{e}^x(x- 1)$. 
		\item À l'aide de la première question, déterminer toutes les fonctions $z$ vérifiant, pour tout $x$ de $\R,~ z'(x) = \text{e}^x(x- 1)$. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie B}
 
\textbf{Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x - 2 + \text{e}^{1 - x}.\] 

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique : $1$~cm).

On désigne par $\left(C_f\right)$ la courbe représentative de $f$. 

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le sens de variations de $f$ 
		\item Préciser $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)$. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que la droite (D), d'équation $y = x - 2$, est asymptote à la courbe $\left(C_f\right)$. 
		\item Préciser la position de $\left(C_f\right)$ par rapport à (D). 
	\end{enumerate} 
\item Tracer (D) et $\left(C_f\right)$. 
\end{enumerate} 

\medskip

\textbf{Partie C}
 
\textbf{Calcul d'aires}

\medskip

Soit $x_0$ un nombre réel strictement positif. 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item On considère le domaine limité par la courbe $(C_f)$, son asymptote 
$(D)$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = x_0$.
 
Exprimer, à l'aide de $x_0$ l'aire $S_1$ de ce domaine. 
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = \text{e}^{1 - x}$, dont on trouvera la courbe représentative $\left(C_g\right)$ en annexe. Donner une interprétation, en terme d'aire, de l'intégrale ayant servi au calcul de S$_1$ à l'aide de la courbe $(C_g)$. 
\item A est le point de coordonnées $(x_0~;~0)$.
 
B est le point de la courbe $(C_g)$ d'abscisse $x_0$.
 
Soit $(T)$ la tangente à la courbe $(C_{g})$ au point d'abscisse $x_0$. 
C est le point d'intersection de $(T)$ et de l'axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de C. 
\item Calculer (en unités d'aire) l'aire S$_2$ du triangle ABC.
 
Vérifier que S$_1 + 2\text{S}_2 = 0$. 

\newpage 

\begin{center} 
\emph{Annexe} 1

\emph{Courbe représentative} $(C_g)$ \emph{de la fonction} $g$ 
\emph{définie sur} $\R$ \emph{par} $g(x) = \text{e}^{1 - 
x}$

\vspace{2cm} 
\psset{unit=1.9cm} 
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,4) 
\psgrid[subgriddiv=2,griddots=5,gridlabelcolor=white,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(-1,-1)(5,4) 
\psaxes{->}(0,0)(-1,-1)(5,4) 
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-0.386}{5}{2.71828 1 x sub exp} 
\end{pspicture} 
\end{center} 
\end{enumerate}
\end{document}