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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé par : Arié Yallouz 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small \textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{18 juin  2014}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie  18 juin  2014~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-2~;~5]$, croissante sur $[- 2~;~2]$ et décroissante sur $[2~;~5]$. 

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

 
La courbe $(\mathcal{C})$ tracée ci-dessous représente la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé ; elle passe par les points A$(-2~;~0)$ ; B$\left(2~;~\frac{4}{3}\right)$ et C$(4~;~0)$.
 
Elle admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l'axe des abscisses et sa tangente $(T)$ au point C passe par le point D(2~;~3). 

\begin{center}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-2.51,-2.5)(5.51,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=6]
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-2.5,-2.5)(5.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt]{1.667}{5.5}{6 1.5 x mul sub}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{5}{ 12 x dup mul sub x mul 24 div  2 3 div add}
\uput[dl](0,0){0}\uput[u](-0.5,0.4){$(\mathcal{C})$}
\uput[ur](2.5,2.25){$(T)$}\uput[ur](2,3){D}\uput[ur](4,0){C}\uput[u](2,1.3333){B} \uput[ul](-2,0){A}
\psdots(2,3)(4,0)(-2,0)(2,1.3333)
\end{pspicture*}
\end{center}

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. La justification peut reposer sur le graphique ou sur un calcul.

\begin{description}
\item[ ] \textbf{Proposition 1 :} $f'(4) = - \dfrac{2}{3}$ 
\item[ ] \textbf{Proposition 2 :} La fonction $f$ est concave sur $[-2~;~2]$. 
\item[ ] \textbf{Proposition 3 :} $2 \leqslant \displaystyle\int_{1}^3  f(x)\:\text{d}x \leqslant  3$ 
\item[ ] \textbf{Proposition 4 :} L'équation $f(x) = \ln 2$ n'admet pas de solution sur $[-2~;~5]$. 
\end{description} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire et spécialité L}

\medskip

On s'intéresse aux résultats d'un concours où l'on ne peut pas se présenter plus de deux fois.

\medskip
 
\textbf{Partie A : étude des résultats de mai 2013}

\medskip
 
Les statistiques dressées à partir des résultats de la session de mai 2013 ont permis d'établir que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item 60\,\% des personnes qui présentaient le concours le présentaient pour la première fois; 
\item 10\,\% de ceux qui le présentaient pour la première fois ont été admis ; 
\item 40\,\% de ceux qui le présentaient pour la seconde fois l'ont réussi.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On interroge au hasard une personne parmi toutes celles ayant passé ce concours en mai 2013.
 
On note :
 
\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C_{1}$  l'évènement : \og La personne présentait le concours pour la première fois \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement: \og La personne a été reçue à ce concours \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note $\overline{A}$ l'évènement contraire de l'évènement $A$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités suivantes : $P_{C_{1}}(R)\: ;\:P_{\overline{C_{1}}}(R)$ et $P\left(C_{1}\right)$. 

Aucune justification n'est attendue.
 
\emph{Pour traiter la suite de l'exercice, on pourra s'aider d'un arbre.} 
\item Déterminer la probabilité que cette personne se soit présentée au concours pour la première fois et ait été admise. 
\item Montrer que la probabilité que cette personne ait été admise à ce concours en mai 2013 est de $0,22$. 
\item Sachant que cette personne a réussi le concours, déterminer la probabilité qu'elle l'ait présenté pour la première fois. Donner une valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : résultats d'un établissement}

\medskip
 
Dans cette partie, les valeurs numériques sont arrondies au centième.

\medskip
 
Dans un établissement, parmi les 224 étudiants inscrits à la préparation à ce concours, 26\,\% ont été admis à la session de mai 2013.
 
On admet que dans cette population, on a également 60\,\% des personnes qui se présentaient pour la première fois.
 
Le directeur de l'établissement prétend que ce résultat, supérieur au taux de réussite global de 22\,\%, ne peut être simplement dû au hasard et il affirme que la qualité de l'enseignement dispensé dans son établissement a permis à ses élèves de mieux réussir que l'ensemble des candidats.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% du pourcentage d'étudiants admis dans un groupe de $224$~personnes. 
\item Que penser de l'affirmation du directeur de l'établissement ? Justifier. 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Une entreprise E commande chaque semaine ses fournitures auprès de deux fournisseurs A et H.
 
Les constats faits les premières semaines conduisent à modéliser l'évolution du choix du fournisseur pour les commandes d'une semaine à l'autre par un graphe probabiliste de sommets A et H où :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A désigne l'état : \og La commande est passée auprès du fournisseur A \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] H désigne l'état : \og La commande est passée auprès du fournisseur H \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
La matrice de transition $M$ de ce graphe, en considérant les sommets dans l'ordre A et H, 
 
est $M = \begin{pmatrix}0,95& 0,05\\0,1&0,9\end{pmatrix}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dessiner le graphe probabiliste associé à la matrice $M$. 
\item Donner la signification du nombre $0,95$ dans la matrice $M$.
 \end{enumerate} 
Pour tout entier naturel $n$, on note : 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item $a_{n}$ la probabilité de l'évènement : \og La semaine $n$, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A \fg ; 
\item $h_{n}$ la probabilité de l'évènement : \og La semaine $n$, l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur H \fg ;
\item $P_{n}$ la matrice $\begin{pmatrix}a_{n}& h_{n}\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste pour la semaine $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 \begin{enumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
\item Vérifier que la matrice ligne $P = \begin{pmatrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{pmatrix}$  correspond à l'état stable du système. En donner une interprétation. 
\item On donne $P_{0} = \begin{pmatrix}0,4 &0,6\end{pmatrix}$ et on rappelle que $P_{k} = P_{0} \times  M^k$, pour $k$ entier naturel. 

Déterminer la semaine où, pour la première fois, la probabilité que l'entreprise E commande ses fournitures auprès du fournisseur A dépasse la probabilité qu'elle les commande auprès du fournisseur H. 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le directeur de l'entreprise E rend visite à ses fournisseurs, il se rend du fournisseur A au fournisseur H et souhaite effectuer le moins de kilomètres possible.
 
Son assistant dresse le graphe suivant qui schématise les trajets, en kilomètres, entre les six villes de la région, notées B ; C ; D ; E ; F et G et les deux sites, A et H. 


\begin{center}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(13.5,5)
\cnodeput(0,2.5){A}{\footnotesize{{A}}}
\cnodeput(3.5,4){B}{\footnotesize{{B}}}
\cnodeput(6.5,2.5){C}{\footnotesize{{C}}}
\cnodeput(5,0){D}{\footnotesize{{D}}}
\cnodeput(8.5,5){E}{\footnotesize{{E}}}
\cnodeput(10,1){F}{\footnotesize{{F}}}
\cnodeput(10.5,3){G}{\footnotesize{{G}}}
\cnodeput(13.5,2.5){H}{\footnotesize{{H}}}
\ncline{A}{B}\ncput*{\footnotesize{100}}
\ncline{A}{C}\ncput*{\footnotesize{175}}
\ncline{A}{D}\ncput*{\footnotesize{158}}
\ncline{B}{C}\ncput*{\footnotesize{114}}
\ncline{B}{E}\ncput*{\footnotesize{150}}
\ncline{C}{D}\ncput*{\footnotesize{95}}
\ncline{C}{E}\ncput*{\footnotesize{65}}
\ncline{C}{F}\ncput*{\footnotesize{70}}
\ncline{D}{F}\ncput*{\footnotesize{107}}
\ncline{E}{G}\ncput*{\footnotesize{82}}
\ncline{E}{H}\ncput*{\footnotesize{113}}
\ncline{F}{G}\ncput*{\footnotesize{31}}
\ncline{F}{H}\ncput*{\footnotesize{112}}
\ncline{G}{H}\ncput*{\footnotesize{49}}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer l'itinéraire le plus court reliant les deux sites A et H et indiquer le nombre de kilomètres à effectuer. Justifier la réponse. 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On étudie la propagation d'une maladie lors d'une épidémie.
 
\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Des relevés statistiques ont permis de modéliser, par une fonction $f$, le nombre de malades durant l'épidémie.
 
Cette fonction $f$ est définie sur [1~;~26] par : 

\[f(t) = 24t \ln (t) - 3t^2 + 10\]

 où $t$ est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et $f(t)$ est le nombre de milliers de malades comptabilisés après $t$ semaines.
 
\medskip
  
\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
 
Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle [1~;~26], $f'(t) = 24 \ln (t) - 6t + 24$. 
\item Les variations de la fonction $f'$ sont données dans le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10.5,3)
\psframe(10.5,3)\psline(0,2.2)(10.5,2.2) \psline(1.5,0)(1.5,3) 
\rput(.75,2.6){$t$}\rput(2,2.6){$1$}\rput(6,2.6){$4$} \rput(10,2.6){$26$}
\rput(.75,1.1){$f'(t)$} \rput(2,.3){\rnode{A}{}} \rput(6,1.9){\rnode{B}{}} \rput(10,.3){\rnode{C}{}} 
\psset{nodesep=5pt,arrows=->}
\ncline{A}{B}\ncline{B}{C}
\end{pspicture} 
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation $f'(t) = 0$ admet, dans l'intervalle $[1~;~26]$, une solution et une seule qu'on notera $\alpha$ et donner l'encadrement de $\alpha$ par deux entiers naturels consécutifs. 
		\item En déduire le signe de $f'(t)$ sur $[1~;~26]$ et les variations de $f$ sur $[1~;~26]$.
	\end{enumerate} 
\item Le réel $f'(t)$ représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de $t$ semaines.
	\begin{enumerate}
		\item Dans le contexte du problème, donner une interprétation de l'expression mathématique suivante : \og sur $[4~;~26]$, $f'$ est décroissante.\fg 
		\item À partir des questions précédentes, déterminer le nombre de semaines écoulées à partir duquel le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On admet que la fonction $G$ définie par : 

\[G(t) = 12t^2 \ln (t) - 6t^2\]

est une primitive sur $[1~;~26]$ de la fonction $g$ définie par : $g(t) = 24t \ln (t)$. 
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, sur $[1~;~26]$, une primitive $F$ de la fonction $f$. 
\item  On a trouvé que l'arrondi à l'entier de $\frac{1}{26 - 1}\big[F(26) -F(1)\big]$ est $202$. Donner une  interprétation de ce résultat dans le contexte du problème. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
On étudie l'évolution de la population d'une ville, depuis le 1\up{er} janvier 2008.

\medskip 

\textbf{Partie A : un premier modèle}

\medskip
 
Pour cette partie, on admet que la population augmente de 3,5\,\% par an depuis le 1\up{er} janvier 2008.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'augmentation de la population entre le 1\up{er} janvier 2008 et le 1\up{er} janvier 2014. Donner une réponse à 0,1\,\% près.
\item À partir de 2008, on modélise la population de cette ville au 1\up{er} janvier à l'aide d'une suite :
 
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_{n}$ le nombre d'habitants, exprimé en centaines de milliers d'habitants, au 1\up{er} janvier de l'année $2008 + n$.
 
Au 1\up{er} janvier 2008, cette ville comptait \np{100000}~habitants. 
	\begin{enumerate}
		\item Que vaut $u_{0}$ ? 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,\:\:u_{n} = 1,035^n$. 
		\item Suivant ce modèle, en quelle année la population aura-t-elle doublé ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : un second modèle.}

\medskip
 
On modélise la population de cette ville à partir du 1\up{er} janvier 2008 par la fonction $f$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = \dfrac{3}{1 + 2\text{e}^{- 0,05x}}\]

 où $x$ désigne le nombre d'années écoulées 
depuis le 1\up{er} janvier 2008 et $f(x)$ le nombre d'habitants en centaines de milliers.
 
On admet que $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$. 

\medskip

 On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|l X|}\hline
 \textbf{Initialisation :}& 	$X$ prend la valeur $0$\\ 
\textbf{Traitement :}& 	Tant que $f(X) \leqslant 2$\\ 
&$X$ prend la valeur $X + 1$\\
& Fin Tant que\\ 
\textbf{Sortie :}& 	Afficher $X$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Si l'on fait fonctionner cet algorithme, alors le résultat affiché en sortie est $28$. Interpréter ce résultat dans le contexte de ce problème. 
\end{document}