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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small juin 1996}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 1996~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{La question $4$ est indépendante des autres questions}

\parbox{0.72\linewidth}{$a$ et $b$ étant deux réels, on considère la fonction $F$, définie sur $\R$ par 

\[F(x) = (ax + b)\text{e}^x.\]
 
On note 

$\bullet~~f$ la fonction dérivée de $F$ sur $\R\: (F' = f)$,

$\bullet~~\mathcal{C}$ la courbe représentant $f$ dans un repère orthonormal \Oij, d'unité graphique 1~cm, 

$\bullet~~T$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. 

Le graphique ci-contre contient une partie de $\mathcal{C}$ et de $T$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $f(x)$ et $f'(x)$ à l'aide de $a$ et $b$. 
\item Lire sur le graphique $f(0)$ et $f'(0)$. En déduire les valeurs de $a$ et de $b$.
\item Soit $D$ le domaine limité par les droites d'équations $x = 0$ et $x = \dfrac{1}{2}$, l'axe des abscisses, et la courbe $\mathcal{C}$. On note $A$ l'aire de $D$, en cm$^2$. Calculer $A$. 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = (2x + 1 )\text{e}^x$. 

Justifier les informations contenues dans le tableau de variations suivant (valeurs, sens de variation et limites)
\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(2,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5,gridwidth=1pt](-1,-1)(2,9)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-1)(2,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[ur](0,0){O}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{1.06}{2 x mul 1 add 2.71828 x exp mul}
\end{pspicture}} 

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(9,3)
\psframe(9,3)\psline(0,2)(9,2)\psline(0,2.5)(9,2.5)
\psline(1.5,0)(1.5,3)
\uput[u](0.75,2.5){$x$} \uput[u](2,2.5){$- \infty$} \uput[u](5.25,2.5){$- 3/2$} \uput[u](8.5,2.5){$+ \infty$}
\uput[u](0.75,1.9){$g'(x)$} \uput[u](3.375,1.9){$-$} \uput[u](5.25,1.9){$0$}\uput[u](7.125,1.9){$+$}
\rput(0.75,1){$g(x)$} \uput[d](2,2){$0$}\uput[u](5.25,0){$- 2\text{e}^{- 3/2}$} \uput[d](8.5,2){$+ \infty$}
\psline{->}(2,1.5)(4.75,0.5) \psline{->}(5.75,0.5)(8.5,1.5) 
\end{pspicture}
\end{center} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip
 
On dispose de deux dés cubiques.Toutes les faces ont la même probabilité d'apparaître.
 
Le 1\up{er} cube a cinq faces rouges et une face verte. Le 2\up{e} cube a une face rouge, deux vertes et trois bleues. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On jette les deux dés. On regarde la couleur des faces supérieures de chaque dé. On note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement \og les deux faces sont rouges \fg. 
\item[ ] $B$ l'évènement \og les deux faces sont de la même couleur \fg.
\item[ ] $C$ l'évènement \og l'une des faces est rouge et l'autre verte \fg. 
\item[ ] $D$ l'évènement \og les deux faces sont de couleurs différentes \fg. 
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

Expliquer pourquoi $p(A) = \dfrac{5}{36}$ et $p(C) = \dfrac{11}{36}$. 

Calculer $p(B)$ et $p(D)$.
 
À chaque jet de ces deux dés est associé un jeu qui permet :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un gain de 5 F si les deux faces sont rouges, 
\item[$\bullet~~$] un gain de 2 F si les deux faces sont vertes, 
\item[$\bullet~~$] une perte si les deux faces sont de couleurs différentes. On note $x$ le montant en francs de cette perte. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On définit ainsi une variable aléatoire $X$ qui, à chaque jet des deux dés, associe le gain, ou la perte ainsi réalisé. 
 
Déterminer $p(X = 5), p(X = 2), p(X = -x)$. 

On note E($X$) l'espérance mathématique de $X$. Un tel jeu est dit \og équitable \fg{} lorsque E$(X) = 0$. Déterminer la valeur de $x$ correspondante.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $g$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[g(x) = x^2 + 8 - 8 \ln x.\]

Étudier les variations de $g$ et en déduire le signe de $g(x)$.

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[(x) = x - 1 + 8\dfrac{\ln x}{x}.\]
  
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que $f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$.
\item Étudier le sens de variation et dresser le tableau de variations de $f$. 
\item Montrer que la représentation graphique $C$ de $f$ admet une asymptote oblique $D$, d'équation $y = x - 1$.
 
Déterminer la position relative de $C$ et $D$. 
\item Construire $C$ et $D$ dans le plan muni d'un rep\`ere orthogonal \Oij{} 
(unités graphiques : 4~cm sur l'axe des abscisses, 2~cm sur l'axe de 
ordonnées). 
\item Déterminer les coordonnées du point B de $C$ où la tangente est parallèle à la droite d'équation $y = x - 1$. 

Donner une équation de cette tangente et la tracer. 
\item Soit $h$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 

\[h(x) = (\ln x)^2.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $h'$ de $h$. 
		\item En déduire une primitive de $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate} 
\item Calculer en cm$^2$,l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $C$ l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = \text{e}$. 

En donner la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près. 
\end{enumerate}
\end{document}