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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small   juin 1998}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie  juin 1998~\decofourright}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$, définie sur 
$\R$ par
 
\[f(x) = \text{e}^x\left(\text{e}^x + a \right) + b\]
 
où $a$ et $b$ sont deux constantes réelles. Les renseignements 
connus  sur $f$ sont donnés dans le tableau de variation ci-dessous.
 
\begin{center}
\psset{xunit=10mm,yunit=10mm}
\begin{pspicture}(-0.5,0.4)(6.5,-2)
\psline(-0.5,0)(6.5,0) \psline(-0.5,-1)(6.5,-1)  \psline(0,0.4)(0,-2)
\psline{->}(0.5,-1.2)(2.8,-1.9) \psline{->}(3.3,-1.9)(6,-1.2) 
\rput(-0.5,0.2){$x$}  \rput(-0.5,-0.5){$f'(x)$} 
\rput(-0.5,-1.5){$f(x)$}
\rput(0.4,0.2){$-~\infty$} \rput(3,0.2){0} \rput(5.8,0.2){$+~\infty$}
\rput(3,-0.5){0} \rput(0.2,-1.2){$-3$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$\: ($f'$désigne la fonction dérivée de $f$.)
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $a$ et $b$ en vous aidant des  informations contenues dans le tableau ci-dessus. 
		\item Calculer $f(0)$ et calculer la limite de $f$ en $+~\infty$.
		\item Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau de 
variation de $f$.
 	\end{enumerate}
\item  Résoudre dans $\R$ l'équation 

	\[\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right) - 3  = 0\] 
	
(on pourra poser $X = \text{e}^x$ ).
\item  Résoudre dans $\R$ les inéquations
	
\[\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right) - 3 \geqslant -~4\]
	
\[\text{e}^x\left(\text{e}^x - 2\right) - 3 \leqslant 0\]
	
(On utilisera le tableau de variation donné ci-dessus et en 
particulier les informations obtenues en \textbf{2 b})
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

Un magasin de grande surface procède à des opérations de 
solde sur tous les disques (CD) de son rayon musique :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $20$\,\% de ces disques sont des CD \og classiques \fg.
 $80$ \% d'entre eux sont vendus à moitié prix, les autres sont vendus 
avec une remise de $40$\,\% sur le prix initial.
\item[$\bullet~~$]$30$\,\% de ces disques sont des CD \og Jazz \fg.
$70$\,\% d'entre eux sont vendus à moitié prix, les autres sont vendus 
avec une remise de $20$\,\% sur le prix initial.
\item[$\bullet~~$]$50$\,\% de ces disques sont des CD \og Pop-Rock \fg.
$60$\,\% d'entre eux sont vendus à moitié prix, les autres sont vendus 
avec une  remise de $30$\,\% sur le prix initial.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
   
Les deux questions sont indépendantes.
   
\medskip
   
\begin{enumerate}
\item Un client a payé 42 F un disque.
    
Quels étaient les différents prix possibles de cet article avant les 
opérations de solde ? 
\item Un client choisit un disque au hasard.
	\begin{enumerate}
		\item Sachant que c'est un CD \og Jazz \fg, quelle est la 
probabilité qu'il le paie à moitié prix ?
		\item Son prix marqué avant les opérations de solde est de 90 
F;~quelle est la probabilité que ce soit un CD \og Pop-Rock \fg{} vendu à 45~F ?
		\item Quelle est la probabilité que ce disque choisi soit vendu 
à moitié prix ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Un dé non truqué comporte six faces ainsi marquées :

\[1\qquad	1\qquad	1\qquad	2\qquad	2\qquad	4\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item On lance ce dé une fois.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir une face marquée 2 ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir une face marquée 1 ou 2 ?
		
(les résultats numériques seront donnés sous forme d'une fraction 
irréductible).
	\end{enumerate}
\item On lance ce dé trois fois de suite.
	
Les différents jets de ce dé sont supposés indépendants.
	
On note de gauche à droite, chaque fois, le chiffre obtenu.
	
Un nombre de trois chiffres est ainsi créé.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir le nombre 421 ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre formé exactement 
d'un 1, d'un 2, d'un 4 ?
		\item Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre contenant au moins 
une fois le chiffre 2 ?
	
(les résultats numériques seront donnés sous forme d'une fraction irréductible).
	\end{enumerate}
\item On jette cinq fois de suite ce dé (les jets sont indépendants).
	  
Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois exactement le chiffre 1 ?
	  
On pourra utiliser un schéma de Bernoulli.
	  
(Le résultat numérique est donné sous forme approchée à $10^{-2}$ près par défaut.)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par : 

\[f(x) = \text{e}^x  - \text{e}. \ln (x)\]

 dans laquelle $\text{e}. \ln 
(x)$ est le produit du nombre $\text{e}$ par le logarithme népérien de 
$x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Question préliminaire

Tracer dans un repère orthonormal d'unité graphique 1~cm

-- la courbe (E) d'équation $x \in  [0~;~+\infty[,\: y = \text{e}^x$

-- la courbe (H) d'équation  $x \in  [0~;~+ \infty[,\: y = 
\dfrac{\text{e}}{x}.$

Au moyen d'une lecture graphique, déterminer le signe de $\text{e}^x  - 
\dfrac{\text{e}}{x}$ suivant les valeurs de $x$ dans $]0 ~;~+ 
\infty[$.
\item Étude de la fonction 
\boldmath $f$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0.
		\item En utilisant l'écriture suivante de $f(x)~ :~ f(x) = 
\text{e}^x\left(1 - \text{e}\cdot\dfrac{\ln x }{x}\cdot \dfrac{x}{\text{e}^x}
\right)$ calculer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers + 
~$\infty$. 
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$. 
		
		Déduire des résultats de la question 1 l'étude des variations de la fonction 
$f$. 
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) représentative de la fonction $f$ dans un 
repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 4~cm en abscisses et 1~cm en ordonnées. 
		
Préciser la droite asymptote à ($\mathcal{C}$)
et la tangente à ($\mathcal{C}$) parallèle à l'axe des abscisses. 

\item Calcul d'une aire
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $s$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par 
		
		\[s(x) =  x \cdot  \ln (x) - x\]
		
est une primitive de la fonction $\ln$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire de la partie du plan limitée par la 
courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$
et $x  = 2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}