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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small Asie}
\rfoot{\small{juin 2000}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}    
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 2000~\decofourright}} 
\end{center}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Tiré d'une revue économique, le tableau ci-dessous donne l'évolution 
du nombre de demandeurs d'emploi en France entre les mois d'octobre 1997 et mai 1998 (en milliers de personnes).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{| m{2.4 cm} |*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Mois						&oct. 97	&nov. 97	&déc. 97	&jan. 98&fév. 98&\small mar. 98&avr. 98&mai 98\\ \hline
Rang du mois $x_{i}$		&1			&2			&3			&4		&5		&6		&7		&8\\ \hline
Demandeurs d'emploi $y_{i}$	&\np{3102}	&\np{3090}	&\np{3051}	&\np{3029}&\np{3031}&\np{3005}&\np{2994}&\np{2979}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le plan est rapporté à un repère orthogonal.  Les unités graphiques  sont :

$\bullet~~$2 cm par mois sur l'axe des abscisses ;

$\bullet~~$1 cm pour 20 milliers de demandeurs d'emploi sur l'axe des ordonnées  (origine en \np{2800}).
	\begin{enumerate}
		\item Représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
		\item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de cette série double et  placer ce point sur le graphique.

\textsl{Vous orienterez le graphique en prenant pour axe des abscisses le \og grand\fg{} côté de la feuille de papier millimétré (format paysage)}.

	\end{enumerate} 
\item Dans cette question, aucun calcul manuel n'est demandé. Les 
valeurs obtenues à l'aide de la calculatrice seront données sous forme décimale approchée à $10^{- 3}$ près par défaut.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série $(x_{i}~;~y_{i})$.		
		\item Écrire une équation de la droite $(D)$ de régression de $y$ en  $x_{i}$ par la méthode des moindres carrés. La tracer sur le schéma précédent.		
	\end{enumerate}
\item On suppose que la tendance se poursuit.
 
Déterminer graphiquement, à 20 milliers près, le nombre de 
demandeurs d'emploi que l'on peut prévoir en septembre 1998. 
Vérifier ce résultat.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un horloger fabrique deux types de montres $M_{1}$ et $M_{2}$.
Ces montres possèdent :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item soit un bracelet en cuir, noté C ;
\item soit un bracelet en or, noté O ;
\item soit un bracelet en argent, noté A.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On sait que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item les montres de type $M_{2}$ ne peuvent pas être pourvues d'un bracelet en cuir ;
\item les bracelets en cuir représentent 40\,\% de la production totale, et ceux en or représentent 20\,\% ;
\item la production de montres de type $M_{2}$ avec bracelet en argent représente 15\,\% de la production totale, et est le triple de celle des montres de même type qui ont un bracelet en or.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les résultats des calculs seront donnés de manière exacte sous forme 
décimale.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Recopier et compléter le tableau des pourcentages suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l |*{4}{ >{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
 & C & 	O& A	&Total\\ \hline
$M_{1}$ &  & & & \\ \hline 
$M_{2}$ & & & & \\ \hline
Total & & & &100\,\% \\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

Une montre est choisie au hasard.

Calculer la probabilité des évènements suivants :

\begin{enumerate}
\item C'est une montre de type $M_{2}$.
\item C'est une montre avec un bracelet en 
argent.
\item C'est une montre de type $M_{1}$ avec un bracelet en 
argent.
\item C'est une montre de type $M_{1}$, sachant que son bracelet est en
argent.

\item C'est une montre de type $M_{2}$ avec un bracelet en 
or.
\item C'est une montre avec bracelet or, sachant qu'elle est de type 
$M_{2}$.
\item C'est une montre de type $M_{2}$ sachant que son bracelet est en  cuir.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm} 

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une entreprise de 36 salariés est constituée d'apprentis, d'ouvriers 
et de cadres. Parmi ces personnes, 22 sont des hommes dont 18 
ouvriers et 3 cadres, 6 femmes sont cadres et une est apprentie. 

Dans 
cette société, on travaille 5 jours par semaine. Les résultats seront 
donnés suivant le cas, soit sous forme de fraction irréductible, soit 
sous forme décimale arrondie à $10^{- 3}$ près par défaut, soit en 
écriture scientifique.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Tous les matins, une personne choisie au hasard est interrogée sur ses conditions de travail. 

Calculer la probabilité pour que, un jour donné, la personne 
interrogée soit :
	\begin{enumerate}
		\item un apprenti ;
		\item un cadre, sachant que c'est un homme ;
		\item une femme, sachant que c'est une ouvrière.
	\end{enumerate}
\item Afin de connaître le sentiment du personnel sur le passage aux 
35 heures, on interroge tous les matins 4 personnes choisies au hasard. Chaque tirage journalier est indépendant de ceux des jours précédents. L'une des femmes se prénomme Marianne. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité pour qu'un jour donné Marianne fasse partie du groupe des personnes interrogées est égale à $\dfrac{1}{9}$ .
		\item On rappelle que dans cette société, on travaille 5 jours par 
semaine.

Quelle est la probabilité pour que Marianne soit interrogée au moins 
une fois en 2 semaines ? (On considère que les choix successifs des 
groupes de 4 personnes sont 2 à 2 indépendants.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal. Sur le graphique 
ci-dessous la courbe ($\mathcal{C}$) représente une fonction $f$ définie et dérivable
sur $\R$. La droite ($T$) est la tangente à la courbe ($\mathcal{C}$) au 
point $A$ d'abscisse 0.

\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabelcolor=white,gridwidth=0.25pt](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-4,-4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline{<->}(3,-1)(-2,4) \psline{<->}(-3,2.718)(2,2.718)
\rput(-0.4,-0.4){O} \rput(0.3,2.1){A} \rput(2.8,-1.2){(T)}
\rput(-2.6,-3.5){\blue ($\mathcal{C}$)} \uput[ur](0,2.718){e} 
\psplot[plotpoints=3000,plotstyle=curve,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2.373}{4}{ x 2 add 2.71828 x 
    exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item À partir des informations portées sur le graphique, reproduire 
sur votre copie et compléter le tableau suivant : 

\[\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ & $-1$ & 0 & 1\\ \hline
$f(x)$ & & & \\ \hline
$f'(x)$ & \rule[-3mm]{0mm}{8mm}& &$-\dfrac{2}{\text{e}^2}$\\ \hline
\end{tabularx}\]

\item Résoudre graphiquement, dans $\R$, les équations ou inéquations
suivantes :\\
	\begin{enumerate}
		\item $f(x)  = 2$	puis $f(x) < 2$. 
		\item $f'(x) = 0$	puis $f'(x) > 1$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction numérique $f$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = (x + 2) \text{e}^{-x}.\]

\smallskip
 
On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$. On ne demande pas de construire ($\mathcal{C}$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$

Comment se traduit graphiquement ce  résultat ?

On rappelle que la limite en $+\infty$ de $\dfrac{\text{e}^x}{x}$ est égale à $+\infty$.
\item Établir que tout $x$ réel $f'(x) = - (x + 1)\text{e}^{-x}$.

En déduire le signe de $f'(x)$ puis le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ a deux solutions distinctes 
sur l'intervalle $[- 2 ; 4]$ et donner une valeur approchée à $10^{- 2}$ près de celles-ci.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 
$g(x) = (ax + b)\text{e}^{-x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déteminer les réels $a$ et $b$ pour que $g$ soit une primitive de  $f$.
		\item Calculer, en unités d'aire, la valeur exacte puis une valeur 
approchée, à $10^{ - 2}$ près par défaut, de l'aire de la partie de plan limitée par la courbe ($\mathcal{C}$), l'axe des abscisses, et les droites 
d'équation $x = - 2$ et $x = 4$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
\end{document}