\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-3dplot,pst-eucl,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Asie juin 2004~\decofourright}}
\end{center}
    
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Le 1$\up{er}$ janvier 2003, la population d'un pays s'élevait à 30 millions d'habitants.
 
On estime que l'augmentation de la population pour les 15 années à venir sera de $2\,\%$ par an.

\begin{enumerate}
\item Calculer la population au 1\up{er} janvier 2004, puis au 1\up{er} janvier 2010.

Les résultats seront donnés en millions et arrondis à $10^{-3}$. 
\item Quelle est l'augmentation en pourcentage, entre la population au 1\up{er} janvier 2003 et la population au 
1\up{er} janvier 2010 ? Le résultat sera arrondi à $0,1\,\%$. 
\item Résoudre dans l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'inéquation :

\[1,02^x \geqslant 1,2.\] 

\item Déterminer l'année à partir de laquelle la population dépassera $36$~millions d'habitants.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le tableau suivant donne le chiffre d'affaires en millions d'euro au 31 décembre de chaque année d'une entreprise depuis sa création en 1996. L'année 1996 a le rang 0.

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $x_i$ de l'année		&0	&1	&2		&3		&4		&5 	&6 &7\\ \hline
Chiffre d'affaires $y_i$	&0,7&1,6&2		&2,4	&2,5	&2,8&3 &3\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}

Par exemple, en 1999 le chiffre d'affaires a été de 2,4 millions  d'euros.

\begin{enumerate}
 \item Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la
 série $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans un repère orthogonal \Oij{} du plan (unités graphiques : 1~cm pour une année en abscisse et 2~cm pour un million d'euros en ordonnée).
\item La forme du nuage de points suggère un ajustement de la forme
$y = \ln (ax + b)$, où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.
	\begin{enumerate}
		 \item On pose $z_i = \text{e}^{y_i}$.

Compléter le tableau suivant (les valeurs de $z_i$ seront arrondies à 
$10^{-3}$.)

\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*8{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$					&0		&1	&2&3	&4	&5	&6 &7\\ \hline
$y_i$					&0,7	&1,6&2&2,4	&2,5&2,8&3 &3\\ \hline
$z_i = \text{e}^{y_i}$	&2,014	&	&&		&	&	&	& \\ \hline
\end{tabularx}\end{center}
	\item Donner l'équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. Les calculs seront faits à la calculatrice et les résultats donnés à $10^{-2}$ près.

On ne demande aucune justification.
	\item En déduire l'expression de $y$ en fonction de $x$.
	\item À l'aide de valeurs fournies par la calculatrice, tracer dans le même repère que précédemment (défini à la \textbf{question 1.}) la courbe d'équation
$y= \ln (2,74x + 2,17)$, pour $0 \leqslant  x \leqslant  14$.
	\end{enumerate}
\item On suppose que l'évolution du chiffre d'affaires se poursuivra durant la prochaine décennie selon le modèle précédent. Déterminer par le calcul le chiffre d'affaires attendu pour l'année 2004 arrondi à $10^{-1}$ millions d'euros.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ élément de [0~;~10] et pour tout réel $y$ élément de [0~;~12] par :

\[f(x~;~y) = 2x(y+ 1).\]

On donne ci-après la représentation graphique de la surface $z =  f(x,~ y)$ dans un repère \Oijk.

Pour financer un projet humanitaire, les adhérents d'une association décident de fabriquer des cartes de voeux.

Pour produire une quantité $z$ de paquets de cartes, ils utilisent $x$ décilitres d'encre A et $y$ décilitres d'encre B. On admet que $x,~ y$ et $z$ sont liés  par la relation

\[z = 2x(y+ 1),\]

où $x$ est un nombre entier compris entre 0 et 10, et $y$ un nombre entier compris entre 0 et 12.

Dans tout l'exercice, les quantités d'encre seront exprimées en décilitres.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
 \item
	\begin{enumerate}
		 \item Combien de paquets de cartes peut-on fabriquer avec 7 décilitres d'encre A et 8 décilitres d'encre B ?
		\item Donner la quantité d'encre A, la quantité d'encre B, et le nombre de paquets de cartes associés respectivement aux points M, P et R à coordonnées entières, de la surface donnée ci-dessous.
	\end{enumerate}
\item Quelle est la nature de la section de la surface par le plan d'équation $x = 4$, parallèle au plan $\left(\text{O},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le prix d'un décilitre d'encre A est 6~\euro{} et celui d'un décilitre d'encre B est 2~\euro.

L'association décide d'investir 46~\euro{} dans l'achat des encres.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Donner la relation entre les quantités x et y d'encres A et B achetées pour un montant de $46$~\euro.
\item Montrer alors que $z = - 6x^2 + 48x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		 \item Quelle quantité d'encre A l'association 
achètera-t-elle pour fabriquer le maximum de paquets de cartes ?
		\item Combien de paquets de cartes seront alors fabriqués ?
		\item Quelle quantité d'encre B sera alors utilisée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
% Figure de Marc Grillet dont je salue l'aimable participation.
\begin{center}
	\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.6cm}
	\begin{pspicture*}(-8,-1)(20,11)%
		\psset{Beta=15,Alpha=215}%Définitif
		%\psset{Beta=15,Alpha=50}%Essais
		\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=10,yMax=12,zMax=7,drawing=false]%
		\psset{linecolor=gray}%
		\pstThreeDLine(10,12,7)(10,12,0)(10,0,0)(0,0,0)\pstThreeDLine(0,12,0)(0,12,7)%
		%Titres
			\pstPlanePut[plane=xz,planecorr=normal](-2,5,0){{\small $y$}}%
			\pstPlanePut[plane=xz,planecorr=normal](5,-3,0){\small{$x$}}%
			\pstPlanePut[plane=xz,planecorr=normal](0,14,3.50){\small{$z$}}%
			\rput(10,10){\textbf{Surface } $(\mathcal{S})$  \textbf{d'équation }
			\boldmath $z = 2x(y + 1)$\unboldmath}%
		%Labels
			\psset{linewidth=0.5pt}%
			\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDPut(\n,0,-0.5){\footnotesize{\n}}}%Abs
				\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,12,0)(\n,12,7)}%
					\multido{\n=0+1}{11}{\pstThreeDLine(\n,0,0)(\n,0,-0.2)}%
			\multido{\n=2+2}{6}{\pstThreeDPut(0,\n,-0.5){\footnotesize{\n}}}%Ord
				\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDLine(0,\n,-0.2)(0,\n,0)}%
					\multido{\n=0+1}{13}{\pstThreeDLine(0,\n,0)(10,\n,0)(10,\n,7)}%
			\multido{\n=0+40}{8}{\def\p{\n\space 40 div}\pstThreeDPut(-0.5,12,\p){\footnotesize{\n}}}%cote
				\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine(10,0,\n)(10,12,\n)(0,12,\n)}%
					\multido{\n=0+1}{8}{\pstThreeDLine(0,12,\n)(-0.2,12,\n)}%
		%z est divisé par 40
	  \psplotThreeD[linewidth=0.5\pslinewidth,drawStyle=xyLines,xPlotpoints=10,yPlotpoints=12,hiddenLine=true,plotstyle=curve,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,10)(0,12){2 x mul y 1 add mul 40 div}%surface pour cacher l'arrière
		%z=0-40
			\newgray{gris}{0.25}%
			\parametricplotThreeD[linewidth=0pt](12,0){0 t 0}%pscustom semble avoir besoin de ceci pour "démarrer"
			\psset{linecolor=blue,linewidth=0.5pt,xPlotpoints=200,plotstyle=curve}%le xPlotpoints permets d'éviter les problèmes quant la courbe s'approche de son asymptote, apparemment.
			\def\exactun{40 26 div}
			\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{%
				\parametricplotThreeD(12,0){0 t 0}%
				\parametricplotThreeD(0,10){t 0 2 t mul 40 div}%
				\parametricplotThreeD(0,1){10 t 20 t 1 add mul 40 div}%
				\parametricplotThreeD(10,\exactun){t 40 2 t mul div 1 sub 1}%
				\parametricplotThreeD(\exactun,0){t 12 2 t 12 1 add mul mul 40 div}%
				}%
			\parametricplotThreeD[linewidth=0pt](10,\exactun){t 40 2 t mul div 1 sub 1}%pour démarrer correctement pscustom
		%Lignes de niveau intermédiaires
			\def\getColor#1{\ifcase#1 white\or green\or lightgray\or yellow\or purple\or orange\or cyan\or blue\or green\or magenta\or yellow\or green\or cyan\fi}
		\multido{\n=1+1}{5}{%
			\def\nint{40}%Variation (tous les 40 pour le sujet initial)
			\def\exactun{\n\space \nint\space mul 26 div }\def\exactdeux{\n\space \nint\space mul 40 add 26 div}%
			\def\borneun{\n\space \nint\space mul 40 div 2 mul 1 sub}\def\bornedeux{\n\space \nint\space mul 40 div 2 mul 1 add}%
			\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=\getColor{\n}]{%
				\parametricplotThreeD(\exactun,10){t \n\space \nint\space mul 2 t mul div 1 sub \n\space \nint\space mul 40 div}%
				\parametricplotThreeD(\borneun,\bornedeux){10 t 20 t 1 add mul 40 div}%
				\parametricplotThreeD(10,\exactdeux){t \n\space \nint\space mul 40 add 2 t mul div 1 sub \n\space \nint\space mul 40 add 40 div}%
				\parametricplotThreeD(\exactdeux,\exactun){t 12 2 t 12 1 add mul mul 40 div}%
				}%
			}%
		%z=240-280
			\newgray{gris}{0.50}%
			\psset{linecolor=blue,linewidth=0.5pt,xPlotpoints=200,plotstyle=curve}%
			\def\exactun{240 26 div}
			\def\exactdeux{280 26 div}
			\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{%
				\parametricplotThreeD(\exactun,10){t 240 2 t mul div 1 sub 6}%
				\parametricplotThreeD(11,12){10 t 20 t 1 add mul 40 div}%
				\parametricplotThreeD(10,\exactun){t 12 2 t 12 1 add mul mul 40 div}%
				}%
		%Légende%green\or lightgray\or yellow\or purple\or orange\or cyan\or blue\or green\or magenta\or yellow\or green\or cyan\fi}
			\newgray{gris}{0.25}\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](10.7,2.5)(11.5,3.3)\rput[l](12,2.9){$0\leqslant z\leqslant 40$}%
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=green](10.7,3.5)(11.5,4.3)\rput[l](12,3.9){$40\leqslant z\leqslant 80$}%
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](10.7,4.5)(11.5,5.3)\rput[l](12,4.9){$80\leqslant z\leqslant 120$}%
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](10.7,5.5)(11.5,6.3)\rput[l](12,5.9){$120\leqslant z\leqslant 160$}%
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=purple](10.7,6.5)(11.5,7.3)\rput[l](12,6.9){$160\leqslant z\leqslant 200$}%
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=orange](10.7,7.5)(11.5,8.3)\rput[l](12,7.9){$200\leqslant z\leqslant 240$}%
			\newgray{gris}{0.5}\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=gris](10.7,8.5)(11.5,9.3)\rput[l](12,8.9){$240\leqslant z\leqslant 280$}%
		%surface%
			\psset{linewidth=0.5pt,linecolor=black}%
			\psplotThreeD[xPlotpoints=10,yPlotpoints=12,drawStyle=xyLines,linecolor=black,plotstyle=curve](0,10)(0,12){2 x mul y 1 add mul 40 div}%
		%le bord de la surface :
%			\parametricplotThreeD[linecolor=black](0,10){t 12 t 36 mul t 12 add div 2 div}%
%			\parametricplotThreeD[plotstyle=curve,linecolor=black](0,12){10 t t 15 mul t 10 add div}%
		%les points
			\pstThreeDDot[dotstyle=o,linewidth=2pt](5,11,3)\pstThreeDPut(5,11,3.4){\large{\bf{$P$}}}%
			\pstThreeDDot[dotstyle=o,linewidth=2pt](4,4,1)\pstThreeDPut(4,4,1.4){\large{\bf{$R$}}}%
			\pstThreeDDot[dotstyle=o,linewidth=2pt](8,9,4)\pstThreeDPut(8,9,3.4){\large{\bf{$M$}}}%
	\end{pspicture*}
\end{center}
\psset{unit=1cm}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans un lycée, on compte 150 élèves de terminale ES dont un tiers de garçons.

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Chaque élève suit l'un des deux enseignements de spécialité : Maths ou LV1.
\item[$\bullet~$] $60\:\%$ des élèves suivent l'enseignement de spécialité Maths.
\item[$\bullet~$] La proportion de filles qui suivent l'enseignement de
 spécialité Maths est le double de la proportion de garçons qui suivent  l'enseignement de spécialité Maths.
\end{itemize}

On note $a$ la proportion de garçons qui suivent l'enseignement de spécialité Maths.

Dans cet exercice, les questions 1 et 2 sont indépendantes.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item On interroge au hasard un élève de terminale ES.
 Chaque élève a donc la même probabilité d'être interrogé. On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $F$ l'évènement : \og l'élève interrogé est une fille \fg
\item[$\bullet~$] $G$ l'évènement : \og l'élève interrogé est un garçon \fg
\item[$\bullet~$] $M$ l'évènement : \og l'élève interrogé suit l'enseignement de spécialité Maths \fg
\item[$\bullet~$] $L$ l'évènement : \og l'élève interrogé suit l'enseignement de spécialité LV1 \fg.
\end{itemize}
	\begin{enumerate}
		 \item On note $P_{G}(M)$ la probabilité de $M$ sachant $G$.
 On a alors $P_{G}(M) =  a$.

L'arbre ci-dessous décrit la situation probabiliste de l'énoncé. Le compléter.

 Pour le deuxième niveau d'arborescence, donner les valeurs en fonction  de $a$.
 
 \begin{center} 
 \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}{
 \pstree{\TR{$F$~}\taput{\ldots}}
 {
 	\TR{$M$} \taput{$2a$}
	 \TR{$L$}} \tbput{\ldots} 
  \pstree{\TR{$G$~} \tbput{\ldots}}{
 \TR{$M$} \taput{$a$}
 \TR{$L$} \tbput{\ldots}}
 }
\end{center}
		\item Montrer que $a = \dfrac{9}{25}$.
		\item Les évènements $M$ et $G$ sont-ils indépendants ? Justifier.
	\end{enumerate}
\item On interroge au hasard, de façon indépendante, trois élèves 
de terminale ES.

On admet que cette expérience peut être assimilée à un tirage avec remise,
et que chaque élève a la même probabilité d'être interrogé.

Quelle est la probabilité qu'au moins un des trois élèves interrogés suive
l'enseignement de spécialité Maths ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La courbe $\Gamma$ ci-dessous est la représentation partielle donnée par la calculatrice de la fonction définie pour tout $x$ élément de $\R$ par :

\[f(x) = \left(1 - x^2\right)\text{e}^{-x}\]

dans un repère orthogonal du plan \Oij. La courbe $\Gamma$ coupe l'axe des ordonnées au point A et l'axe des abscisses respectivement en B et C.

\textsl{Les quatre questions sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
 \item On cherche à retrouver les unités.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des points A, B et C.
		\item Placer $\vect{\imath}$ et $\vect{\jmath}$ sur la figure ci-dessous.
	\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-4)(3,2)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt](0,0)(-2,-4)(3,2)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-2,-4)(3,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](-1,0){B}
\uput[ur](0,1){A} \uput[ur](1,0){C}
\uput[ul](-0.75,1){\blue $\Gamma$}
\uput[u](3,0){$x$}
\uput[r](0,2){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1.407}{3}{1 x 2 exp sub 2.71828 x neg exp mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\item Étude des limites
	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x)$.  Justifier la réponse.
		\item On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 
\dfrac{x^2}{\text{e}^x}= 0$. Développer $f(x)$ et en déduire sa limite en $+ \infty$.

Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\item Étude des variations

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$, et on note $f'$ sa
 fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer que pour tout $x$ réel:

\[f'(x) = (x^2 - 2x - 1)\text{e}^{-x}.\]
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation : $f'(x) = 0$.

(Les solutions seront arrondies à $10^{-2}$.)

Déterminer le signe de $f'(x)$ sur $\R$.
		\item En déduire le sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.

Faire apparaître, sur le graphique, le ou les points de la courbe $\Gamma$
 en lesquels celle-ci admet une tangente horizontale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}