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\begin{document}
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\lhead{\small Baccalauréat ES}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small Asie}
\rfoot{\small juin 2006}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large   \bf \decofourleft~Baccalauréat ES Asie juin 2006~\decofourright }\\\end{center}

\bigskip

{\bf  \large Exercice 1} \hfill {\bf 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
 
\[f(x) = \text{e}^{-x} -1\]

La courbe $({\cal C})$ donnée est la représentation graphique de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère 
orthonormal.

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$.
On note $F$ la primitive de la fonction $f$ sur $\R$ telle que $F(0)=0$.

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si l'affirmation est vraie ou fausse.

Aucune justification n'est demandée.

\emph{Une bonne réponse rapporte $0,5$ point. Une mauvaise réponse enlève $0,25$ point.  L'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}

\emph{Si le total des points est négatif la note globale attribuée à l'exercice est} 0.

\begin{enumerate}
\item[\bf a.]
	$f(\ln(2))= -3$.
\item[\bf b.]
$\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = -1$.
\item[\bf c.]
Pour tout nombre réel $x$, on a $f'(x)= \text{e}^{-x}$.
\item[\bf d.]
$\displaystyle \int_{-1}^{0} f(x) \, \text{d}x > 1$.
\item[\bf e.]
La fonction $F$ est croissante sur l'intervalle $[-1~;~0]$.
\item[\bf f.]
Pour tout nombre réel $x$, on a $F(x) = 1 - \text{e}^{-x} - x$.
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf \large Exercice 2} \hfill {\bf 5 points}

\textbf{(pour les candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité)}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du profit annuel d'une entreprise de l'année 1999 à l'année 2005.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année & 1999 &  2000  &  2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 \\\hline
Rang de l'année $(x_i)$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline
Profit annuel en  millions d'euros $(y_i)$      & $\np{1,26}$ & $\np{1,98}$ & $\np{2,28}$ & $\np{2,62}$ & $\np{2,84}$ &      $\np{3,00}$ & $\np{3,20}$ \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item 
Construire le nuage de points associé à la série $\left(x_i~;~y_i\right)$ dans le repère orthogonal représenté ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(10.75,4.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2
pt](0,0)(10,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(10.2,4.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\uput[u](7.3,0){\blue Rang de l'année}
\uput[r](0,4.1){\blue Profit annuel en millions d'euros.}
\end{pspicture*}
\end{center}

\item La forme du nuage suggère un ajustement logarithmique. On décide donc d'étudier la série $\left(x_i~;~z_i\right)$, où 
$z_i = \text{e}^{y_i}$.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous par les valeurs décimales arrondies au centième.
  
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ 					&1 		&2		&3 		&4			&5 		&6 		&7 \\\hline
$z_i= \text{e}^{y_i}$ 	&$3,53$ &     	&    	&$13,74$ 	&$17,12$&$20,09$&$24,53$ \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Donner l'équation de la droite de régression de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.
Les résultats obtenus à la calculatrice seront arrondis au centième (avec ces arrondis, on obtient une équation de la forme $z = ax$).

\item En déduire que la courbe d'équation $y = \ln(x) + \np{1,23}$ approche le nuage de points.

\item On suppose que l'évolution du profit annuel se poursuit suivant ce modèle.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer le profit annuel, exprimé en millions d'euros, attendu pour l'année 2008 (donner la valeur décimale arrondie au centième).
		\item Déterminer à partir de quelle année le profit annuel initial (c'est à dire celui de l'année 1999) aura au moins triplé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf\large Exercice 2} \hfill {\bf 5 points}

\textbf{(pour les candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité)}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-2,-0.4)(2,1.4)
\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\psline{->}(0,0)(0.8,0.8)
\uput[r](1,0){\blue $x$}
\uput[r](0,1){\blue $z$}
\uput[r](0.8,0.8){\blue $y$}
\uput[l](0,0){\blue O}
\end{pspicture*}
\psset{unit=1cm}

\end{center}

On a représenté ci-dessous la surface $(S)$ d'équation $z = 3(x^2 + y)$, avec 
$x$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1,5]$, et $y$ appartenant à l'intervalle $[0~;~1,5]$.

\psset{unit=1cm}
\begin{center}\begin{pspicture}(-2,-2)(6,8)
\psset{Alpha=150,Beta=25}%avant Beta=30,Alpha=150 
\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=6,yMax=6,zMax=12,drawing=false]
\pstThreeDPut(2.5,-1.5,0){$x$} \pstThreeDPut(7.2,2.6,0){$y$}
\pstThreeDPut(-0.85,-0.3,3){$z$}

% les x

\multido{\r=0+0.4}{15}{\pstThreeDLine[linecolor=red](\r,0,0)(\r,-0.2,0)}
%les z
\multido{\n=0+2,\i=0+1}{7}{\pstThreeDPut(-0.3,0,\i){\green \n}}
\multido{\i=0+1}{7}{\pstThreeDLine[linecolor=red](-0.2,0,\i)(0,0,\i)}
% les y
%\multido{\n=0+1}{6}{\pstThreeDPut(-0.5,\n,0){\n}}
\multido{\n=0+1}{7}{\pstThreeDLine[linecolor=red](6.2,\n,0)(6,\n,0)}

\multido{\n=1+1}{6}{\pstThreeDLine[linecolor=gray](0,0,\n)(0,6,\n)(6,6,\n)}
\multido{\r=0+0.4}{15}{\pstThreeDLine[linecolor=gray](0,\r,6)(0,\r,0)(6,\r,0)}
\multido{\r=0+0.4}{15}{\pstThreeDLine[linecolor=gray](\r,0,0)(\r,6,0)(\r,6,6)}
% la boîte 
\pstThreeDBox(0,0,0)(6,0,0)(0,6,0)(0,0,6)
%
\psplotThreeD[xPlotpoints=15,yPlotpoints=15,drawStyle=xyLines,linecolor=blue](0,6)(0,6){%
x 4 div 2 exp  y 4 div add 3 mul 2 div }% 
% les x
\pstThreeDPut(0,-0.8,0){0}
\pstThreeDPut(2,-0.8,0){0,5}
\pstThreeDPut(4,-0.8,0){1}
\pstThreeDPut(6,-0.8,0){1,5}
% les y
\pstThreeDPut(6.5,0,0){0}
\pstThreeDPut(6.5,2,0){0,5}
\pstThreeDPut(6.5,4,0){1}
\pstThreeDPut(6.5,6,0){1,5}
%
\pstThreeDLine[linecolor=red](0.,2.666666667,1)(0.20,2.656666667,1)(0.40,2.626666667,1)(0.60,2.576666667,1)(0.80,2.506666667,1)(1.00,2.416666667,1)(1.20,2.306666667,1)(1.40,2.176666667,1)(1.60,2.026666667,1)(1.80,1.856666667,1)(2.00,1.666666667,1)(2.20,1.456666667,1)(2.40,1.226666667,1)(2.60,0.9766666668,1)(2.80,0.7066666668,1)(3.00,0.4166666668,1)(3.20,0.1066666668,1)
%
\pstThreeDLine[linecolor=red](0.,5.333333332,2)(0.20,5.323333332,2)(0.40,5.293333332,2)(0.60,5.243333332,2)(0.80,5.173333332,2)(1.00,5.083333332,2)(1.20,4.973333332,2)(1.40,4.843333332,2)(1.60,4.693333332,2)(1.80,4.523333332,2)(2.00,4.333333332,2)(2.20,4.123333332,2)(2.40,3.893333332,2)(2.60,3.643333332,2)(2.80,3.373333332,2)(3.00,3.083333332,2)(3.20,2.773333332,2)(3.40,2.443333332,2)(3.60,2.093333332,2)(3.80,1.723333332,2)(4.00,1.333333332,2)(4.20,0.923333332,2)(4.40,0.493333332,2)(4.60,0.043333332,2)
\pstThreeDLine[linecolor=red](2.80,6.0400,3)(3.00,5.7500,3)(3.20,5.4400,3)(3.40,5.1100,3)(3.60,4.7600,3)(3.80,4.3900,3)(4.00,4.0000,3)(4.20,3.5900,3)(4.40,3.1600,3)(4.60,2.7100,3)(4.80,2.2400,3)(5.00,1.7500,3)(5.20,1.2400,3)(5.40,0.7100,3)(5.60,0.1600,3)
\pstThreeDLine[linecolor=red](4.40,5.826666668,4)(4.60,5.376666668,4)(4.80,4.906666668,4)(5.00,4.416666668,4)(5.20,3.906666668,4)(5.40,3.376666668,4)(5.60,2.826666668,4)(5.80,2.256666668,4)(6.00,1.666666668,4)
\pstThreeDLine[linecolor=red](5.40,6.043333332,5)(5.60,5.493333332,5)(5.80,4.923333332,5)(6.00,4.333333332,5)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

{\bf Partie A - Exploitation du graphique.}

\medskip

On considère le plan $(P)$ d'équation $z=6$.

\begin{enumerate}
\item Sur la figure donnée, placer le point $A$ de coordonnées $(1 \,;1\,;6\,)$.
\item Surligner en couleur la partie visible de l'intersection de la surface $(S)$ et du plan $(P)$ sur la figure donnée.
\end{enumerate}

\medskip

{\bf Partie B - Recherche d'un coût minimum.}

\medskip

Une entreprise fabrique des unités centrales pour ordinateurs dont les composants sont essentiellement des cartes mères et des microprocesseurs.

On appelle $x$ le nombre (exprimé en milliers) de microprocesseurs produits chaque mois et $y$ le nombre (exprimé en milliers) de cartes mères produites chaque mois.

Le coût mensuel de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par :

\[C(x~;~y) = 3\left(x^2+y\right)\]

On se propose de trouver les quantités de microprocesseurs et de cartes mères que l'entreprise doit produire par mois pour minimiser ce coût.

\begin{enumerate}
\item La production mensuelle totale est de deux milliers de composants.
On a donc $x + y = 2$.

Exprimer $C(x~;~y)$ en fonction de la seule variable $x$.
On note $f$ la fonction ainsi obtenue.

Vérifier que $f(x) = 3x^2 - 3x +6$.
\item Montrer que sur l'intervalle $[0~;~1,5]$, la fonction $f$ admet un minimum atteint pour $x = 0,5$.
\item Quelles quantités de microprocesseurs et de cartes mères, l'entreprise doit-elle produire chaque mois pour minimiser le coût mensuel de production ? Quel est ce coût ?
\item Placer sur la figure donnée le point $K$ correspondant au coût minimum.
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf\large Exercice 3} \hfill {\bf 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Une roue de loterie comporte trois secteurs notés A, B et C.

On lance la roue, elle tourne puis s'arrête devant un repère fixe.

Le mécanisme est conçu de telle sorte que, à l'arrêt de la roue, le repère fixe se trouve toujours devant l'un des trois secteurs, qui est alors déclaré \og secteurs repéré \fg.

On note $p_1$ la probabilité que le secteur A soit repéré. On donne $p_1 = 0,2$.

On note $p_2$ la probabilité que le secteur B soit repéré. On donne $p_2 = 0,3$.

\medskip

\begin{enumerate}
	\item Calculer la probabilité, notée $p_3$, que le secteur $C$ soit repéré.
\end{enumerate}
Une \textbf{partie} consiste à lancer la route deux fois successivement. On s'intéresse aux couples de secteurs repérés obtenus à la suite des deux lancers successifs.

On admet que les lancers de roues successifs sont indépendants.

\smallskip
\begin{enumerate}[resume]
\item Justifier que la probabilité d'obtenir le couple de secteurs repérés (A,\,B) est égale à $0,06$.
\item Compléter le tableau suivant par les probabilités d'obtenir les différents couples de secteurs repérés possibles.
Certaines probabilités sont déjà indiquées, ainsi la probabilité de tenir le couple (C,\,C) est égale à $0,25$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Secteur repéré au premier lancer & A & B & C \\
\hline
A     &$\np{0,04}$  &$\hphantom{\np{0,00}}$ &$\hphantom{\np{0,00}}$ \\
\hline
B     &$\np{0,06}$  &$\hphantom{\np{0,00}}$ &$\hphantom{\np{0,00}}$ \\
\hline
C     &             &$\hphantom{\np{0,00}}$ &$\np{0,25}$   \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
	
\item Montrer que la probabilité de tenir un couple de secteurs repérés ne comportant pas le secteur C est égale à $0,25$.
\item De l'argent est mis en jeu dans cette partie. Le gain dépend du nombre de secteurs C repérés :

$\bullet$ \quad obtenir deux fois le secteur C fait gagner huit euros ;

$\bullet$ \quad obtenir exactement une fois le secteur C fait gagner un euro ;

$\bullet$ \quad d'obtenir aucun secteur C fait perdre dix euros.
	
	\begin{enumerate}
		\item 
Recopier sur la copie et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
Gain (en euros) & $-10$ & 1 & 8 \\\hline
Probabilité     &   $\hphantom{\np{0,00}}$  &  $\hphantom{\np{0,00}}$ &  $\np{0,25}$  \\\hline
\end{tabular}
\end{center}
	
		\item Calculer le gain moyen que l'on peut espérer à ce jeu. Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf\large Exercice 4} \hfill {\bf 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définition intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \text{e}^x-1\quad\text{ et }\quad g(x) = \dfrac{3}{\text{e}^x+1}
\]

Les fonctions $f$ et $g$ sont dérivables sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

Le plan est rapporté un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est représentée par la courbe ${\cal C}$ figurant ci-dessous.

\begin{figure}
\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(4.2,5.5)
\psgrid[gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,0)(4,5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linewidth=1pt](0,0)(0,0)(4,5)
\psaxes[labels=none,ticks=none,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](4.1,0){$x$}
\uput[r](0,5.1){$y$}
\uput[r](1.8,4.9){\blue $y= \text{e}^x-1$}
\uput[r](1.4,4.9){$ \blue {\cal C}$}
\psplot[linewidth=1.3pt,linecolor=blue,plotpoints=8000]{0}{1.7917}{2.718 x exp 1 sub}
\end{pspicture*}
\psset{unit=1cm}
\end{center}
\end{figure}

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Donner une équation de la tangente $T$ cette courbe au point O origine du repère.

		\item Tracer la droite $T$ dans le repère donné	
	\end{enumerate}
\item {\bf étude de la fonction $g$}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $g(0)$.	
		\item Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+\infty$.	
En donner une interprétation graphique.
		\item Étudier les variations de la fonction gestion sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et dresser son tableau de variations.
		\item Tracer la représentation graphique de la fonction $g$ dans le repère donné.
	\end{enumerate}
\item La lecture graphique montre que l'équation $f(x) = g(x)$ admet dans l'intervalle $[0~;~+\infty[$ unique solution, notée $m$.
	\begin{enumerate}
		\item Faire figurer sur le graphique le point de coordonnées $(m~;~f(m))$.
		\item Prouver, par le calcul, que $m = \ln (2)$.
	\end{enumerate}
\item On considère le nombre suivant : \[{\cal A} = \int_{0}^{\ln(2)} g(x) \, \text{d}x\]
	\begin{enumerate}
		\item Sur le graphique précédent, hachurer le domaine dont l'aire, en en unités d'aires, est égale à 	${\cal A} $.
		\item Soit la fonction véritable $G$	définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
		 
\[G(x) = 3x-3 \ln \left(\text{e}^x+1\right)\]

Montrer que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ sur l'intervalle  $[0~;~+\infty[$.
		\item Calculer ${\cal A} $.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}