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%%%  Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lfoot{\small Baccalauréat ES  }
\rfoot{\small Asie juin 2007}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \bf \decofourleft~Baccalauréat Asie ES juin 2007~\decofourright}\\
\end{center}

\bigskip

{\bf \large Exercice 1} \hfill{\bf 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{QCM}

\medskip

Pour chacune des questions, une seule des réponses A, B ou C est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.

Aucune justification n'est demandée.

\medskip

\textbf{NOTATION :} \emph{une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse enlève $0,25$ point, l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$, de dérivée $f'$. Son tableau de variations est donné ci-dessous. On nomme $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\begin{center}\psset{unit=1cm} 
\begin{pspicture}(11,4)
\psframe(11,4)
\psline(2,0)(2,4) \psline(0,2)(11,2) 
 \psline(0,3)(11,3)
\psline(5,2)(5,3) \psline(8,2)(8,3)
\rput(1,1){$f(x)$} \rput(1,2.5){$f'(x)$}  \rput(1,3.5){$x$} 
\rput(2.3,3.5){$- \infty$}  \rput(5,3.5){$-2$} \rput(8,3.5){$2$} \rput(10.5,3.5){$+ \infty$}
\rput(3.5,2.5){$-$} \rput(5,2.5){$0$} \rput(6.5,2.5){$+$} \rput(8,2.5){$0$} \rput(9.5,2.5){$-$}
\rput(2.3,1.8){$+ \infty$} \rput(5,0.2){$-1$} \rput(8,1.2){e} \rput(10.7,0.2){$0$}
\psline{->}(2.7,1.8)(4.7,0.3) \psline{->}(5.4,0.3)(7.7,1) \psline{->}(8.4,1)(10.5,0.3) 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  On peut affirmer que :

Réponse \textbf{A} : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.

Réponse \textbf{B} : $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = + \infty$.

Réponse \textbf{C} : $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = + \infty$.

\item  La courbe $(\mathcal{C})$ admet :

Réponse \textbf{A} : la droite d'équation $x = 0$ pour asymptote.

Réponse \textbf{B} : la droite d'équation $x = 2$ pour asymptote.

Réponse \textbf{C} : la droite d'équation $y = 0$  pour asymptote.
\item  Dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$ admet :

Réponse \textbf{A} : une unique solution

Réponse \textbf{B} : deux solutions distinctes.

Réponse \textbf{C} : trois solutions distinctes.
\item  Dans $\R$ l'inéquation $f(x) > 3$

Réponse \textbf{A} : n'a pas de solution.

Réponse \textbf{B} : a toutes ses solutions positives.

Réponse \textbf{C} : a toutes ses solutions négatives.
\end{enumerate}
 
\newpage
 
{\bf\large Exercice 2} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le tableau ci-dessous rend compte de l'évolution du prix (en euros) du m$^3$ d'eau, dans une ville, entre 2002 et 2006.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4.2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années&	2002&	2003&	2004&	2005&	2006\\ \hline
Rang de l'année $x_{i}$&	0&	1&	2&	3&	4\\ \hline
Prix en euros du m$^3$ d'eau $y_{i}$&	2,64	&2,76&	2,81&	2,95&	3,39\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{I.} Calculer le pourcentage d'augmentation du prix entre 2002 et 2006. Donner le résultat arrondi à 0,1\:\%.

\textbf{II.} Le nuage de points associé à cette série statistique est représenté ci-dessous :

\psset{xunit=2cm,yunit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,4.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=0.5](0,0)(5,4)
\rput(2.5,4.25){\textbf{Évolution du prix du m\boldmath$^3$\unboldmath d'eau d'une ville}}
\rput{90}(-0.7,2){$y_{i}$ : prix du m$^3$ d'eau}
\rput{90}(-0.5,2){(en euros)}
\rput(2.5,-0.75){$x_{i}$ : rang de l'année}
\psline(5,0)(5,4)
\multido{\r=0+0.5}{9}{\psline(0,\r)(5,\r)}
\psdots[linecolor=blue](0,2.64)(1,2.76)(2,2.81)(3,2.95)(4,3.39) 
\end{pspicture}
\end{center}

L'allure du nuage suggère deux types d'ajustement :

\medskip

\begin{enumerate}
\item  \textbf{Ajustement affine}
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer à l'aide de la calculatrice une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, les coefficients étant arrondis au centième.
		\item Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m$^3$ d'eau peut-on en déduire pour 2010 ?
	\end{enumerate}
\item  \textbf{Ajustement exponentiel}

On pose $z_{i} = \ln y_{i}$.

On prend $z = 0,06x + 0,95$ pour équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, avec $z =\ln y$.

	\begin{enumerate}
		\item En déduire qu'une relation entre $y$ et $x$ s'écrit alors sous la forme
		$y = \text{e}^{0,95} \cdot \text{e}^{0,06x}$.
		\item Quelle estimation du prix en euros (arrondie au centième d'euro) du m$^3$ d'eau peut-on en déduire pour 2010 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
{\bf\large Exercice 3} \hfill{\bf 5 points}

{\bf Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une île imaginaire dont la carte est représentée ci-dessous; est composée de six provinces, notées A, B, C, D, E et F.
 
\medskip
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,5)
\pscurve(0,3)(1,4.3)(2,4.7)(3,4.8)(4,4.6)(5,4.3)(6,3.85)(7,3.15)(8,2.8)(9,2.4)(9.8,1.3)(9,0.25)(8,0.1)(7,0.05)(6,0.1)(5,0.3)(4,0.45)(3,0.7)(2,1)(1,1.5)(0.1,2)(0,3)
\pscurve(1.8,1.05)(2.5,1.3)(3,1.9)(3.2,2.4)(3,3)(2.7,4)(2.75,4.8)
\pscurve(3.15,2.4)(4,2.2)(5,2.1)(5.2,2)
\pscurve(6.7,0.8)(6,1.15)(5.1,1.8)(5.2,2)(6,2.5)(7,2.3)(7.3,2.4)
\pscurve(5.6,2.3)(5.68,3)(6.1,3.75)
\pscurve(6.2,0.1)(6.8,1)(7,1.7)(7.4,2.5)(7.7,2.9)
\rput(8,1.4){A}  \rput(4.2,3.5){B}  \rput(1.5,2.7){C} 
\rput(6.3,1.7){D}  \rput(4.2,1.2){E}  \rput(6.4,3){F} 
\end{pspicture}
\end{center}
  
\medskip
  
On s'intéresse aux frontières séparant ces provinces. On traduit cette situation par un graphe dont les sommets sont les provinces et où chaque arête représente une frontière entre deux provinces.
  
On admet que le graphe $\mathcal{G}$ ci-dessous représente cette situation :
  
\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,4)
\psline(0,3)(1,4)(3,0)(0,3)(4,3.5)(5,2)(1,0)(3,0)(4,3.5)%FADFBCEDB
\psline(1,4)(1,0)(4,3.5)%AEB
\uput[u](1,4){A} \uput[u](4,3.5){B} \uput[r](5,2){C} 
\uput[d](3,0){D} \uput[dl](1,0){E} \uput[l](0,3){F} 
\end{pspicture}
\end{center}  

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner l'ordre du graphe $\mathcal{G}$, puis le degré de chacun de ses sommets
		\item  Peut-on visiter cette île en franchissant une et une seule fois chacune des dix frontières ? Justifier Si oui, proposer un parcours possible.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Le graphe $\mathcal{G}$ possède-t-il un sous-graphe complet d'ordre 3 ? Si oui, en citer un.
		
Préciser, sans justification, si le graphe $\mathcal{G}$ possède un sous graphe complet d'ordre 4.

Quelle conséquence cela a-t-il sur le nombre chromatique $c$ du graphe $\mathcal{G}$ ?
		\item  Proposer une coloration de la carte (ou du graphe) avec le minimum de couleurs afin que deux provinces qui ont une frontière commune aient des couleurs différentes (on peut remplacer les couleurs par différents hachurages).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
{\bf \blue \large Exercice 3} \hfill{\bf 4 points}

{\bf Commun à tous les candidats}
 
\medskip
 
{\bf Partie A}

\medskip

Sur son trajet habituel pour aller travailler, un automobiliste rencontre deux feux tricolores successifs dont les fonctionnements sont supposés indépendants.

Ces feux sont réglés de telle sorte que la probabilité pour un automobiliste de rencontrer le feu au vert est $\dfrac{5}{12}$ à l'orange $\dfrac{1}{12}$ et au rouge $\dfrac{1}{2}$.

On note :
 
$R_{1}$ l'évènement : le premier feu rencontré est au rouge
  
$V_{1}$ l'évènement : le premier feu rencontré est au vert
  
$O_{1}$ l'évènement : le premier feu rencontré est à l'orange

et on définit de même $R_{2},\: V_{2},\: O_{2}$ pour le deuxième feu rencontré.

\medskip
   
\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ?
\item  Calculer la probabilité pour qu'au moins l'un des deux feux rencontrés ne soit pas au vert
\end{enumerate}
 
\medskip
 
{\bf Partie B}

\medskip

On règle le deuxième feu afin de rendre la circulation des véhicules plus fluide.

L'arbre suivant modélise la nouvelle situation dans laquelle les fonctionnements des deux feux ne sont plus indépendants.

\medskip
 
\psset{unit=1.25cm}
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$V_{1}$~}\taput{$\frac{5}{12}$}}
	  { 
		  \TR{$V_{2}$}\taput{$\frac{1}{4}$}
		  \TR{$O_{2}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}	   
	  }
	\pstree{\TR{$R_{1}$~}\tbput{$\frac{1}{2}$}}
	  {
		  \TR{$V_{2}$}\taput{$\frac{7}{8}$}
		  \TR{$O_{2}$}\tbput{$\frac{1}{8}$} 
	  }
	\pstree{\TR{$O_{1}$~}\tbput{$\frac{1}{12}$}}
	  {
		  \TR{$V_{2}$}\taput{$\frac{3}{4}$}
		  \TR{$O_{2}$}\tbput{$\frac{1}{4}$}
	  }	
}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que l'automobiliste rencontre les deux feux au vert ? 
\item Quelle est la probabilité que le deuxième feu rencontré par l'automobiliste soit au vert ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
{\bf \large Exercice 4} \hfill{\bf 7 points}

{\bf Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise produit et vend un modèle de pièces pour hélicoptères. Pour des raisons techniques et de stockage, sa production mensuelle est comprise entre $100$ et $600$ pièces. Elle vend tout ce qui est produit.

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~6] par

\[f(x) = - x^2 + 10x - 9 - 8 \ln (x).\]

$f(x)$ représente le bénéfice mensuel, exprimé en dizaines de milliers d'euros, obtenu pour la vente de $x$ centaines de pièces.

La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1~;~6]. On note $f'$ sa fonction dérivée.
 
\bigskip

\textbf{Les questions 1 et 2 sont indépendantes}.

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout nombre reel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~6],
		
$f'(x) = \dfrac{-2(x - 1)(x - 4)}{x}$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [1~;~6].
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6].
		\item Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maximal ? Calculer ce bénéfice arrondi à l'euro près.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par
		
$g(x) = x \ln(x) - x$  est une primitive de la fonction logarithme népérien sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$.
		\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6].
		\item Calculer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~6] (donner la valeur décimale arrondie au dixième).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{Rappel :} Soit $f$ une fonction et $[a~;~b]$ un intervalle sur lequel $f$ est définie et dérivable.

La valeur moyenne $m$ de $f$ sur un l'intervalle $[a~;~b]$, est le nombre $m$ tel que :

\[m = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_{a}^b f(x)\:\text{d}x.\]
\end{document}