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%%%  Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Baccalauréat ES} 
\lfoot{\small Asie}
\rfoot{\small juin 2008}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\bf  Baccalauréat   Asie  ES  juin 2008}
\end{center}

\medskip

{\bf\large Exercice 1} \hfill{\bf 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.

\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse inexacte enlève $0,5$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Une baisse de 25\,\% est compensée par une hausse, arrondie à l'unité, de :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\qquad 20\,\%& \textbf{b.}\qquad 25\,\%&\textbf{c.}\qquad 33\,\%\\
\end{tabularx}
\item La population d'une ville a augmenté de 7\,\% en 2004, de 5\,\% en 2005 et de 6\,\% en 2006. L'augmentation de la population de cette ville sur la période 2004-2006 est, arrondie à l'unité près, égale à :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\qquad 17\,\%	& \textbf{b.}\qquad 18\,\%&\textbf{c.}\qquad  19\,\%\\
\end{tabularx}

\medskip

Les élèves de deux classes de terminale ES (désignées par TE1 et TE2) sont répartis selon leur spécialité (qui sont abrégées en SES, LV, Math.) de la façon suivante :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{3-5}
\multicolumn{2}{c|}{}		&TE1	&TE2	&Total\\ \hline
							&SES	&16	&8	&24\\ \cline{2-5}
Spécialité					&LV		&12	&14	&26\\ \cline{2-5}
							&Math	&6	&10	&16\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Total}			&34	&32	&66\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

On interroge un élève au hasard. Lea données précédentes sont à utiliser pour les trois questions suivantes :
\item  La probabilité que l'élève interrogé appartienne à la TE1 est égale à :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\qquad	$\dfrac{1}{66}$&\textbf{b.}\qquad 	$\dfrac{1}{34}$&\textbf{c.}\qquad $\dfrac{17}{33}$\\
\end{tabularx}

\item  La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math. ou appartienne à la TE1
est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\qquad $\dfrac{2}{3}$&\textbf{b.}\qquad 	$\dfrac{25}{33}$&\textbf{c.}\qquad $\dfrac{1}{11}$\\
\end{tabularx}

\item La probabilité que l'élève interrogé suive l'enseignement de spécialité Math. sachant qu'il appartient à la TE1 est égale à :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.}\qquad $\dfrac{1}{34}$&\textbf{b.}\qquad $\dfrac{1}{11}$&\textbf{c.}\qquad $\dfrac{3}{17}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
{\bf \large Exercice 2} \hfill{\bf 5 points}
 
{\bf Commun à tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $u$ définie sur l'intervalle $]0~; + \infty[$ par

 \[ u(x) = \dfrac{10- x}{x}\]

\smallskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer les limites de $u$ en $0$ et en $+ \infty$. 
\item Étudier les variations de $u$.

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par 

\[f(x) = \text{e}^{u(x)}.\]

\item Calculer les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. Quelles conséquences graphiques peut-on en déduire ? 
\item Établir, en justifiant, le tableau de variations de $f$.
\item Résoudre algébriquement l'équation $f(x) = 1$.
\item L'équation $f(x) = -x$ admet-elle une solution ? Pourquoi ?

\emph{Toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sein valorisée.}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
{\bf\large Exercice 3} \hfill{\bf 5 points}
 
{\bf Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le tableau suivant donne l'évolution du SMIC horaire brut en euros depuis 2001.

\medskip
 
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Date					&\small 1/07/2001&\small 1/07/2002&\small 1/07/2003 &\small 1/07/2004&\small 1/07/2005 &\small 1/07/2006 &\small 1/07/2007\\ \hline
Rang : $x_{i}$			&1 		&2		&3		&4		&5		&6		&7\\ \hline
Valeur en euros $y_{i}$	&6,67	&6,83	&7,19	&7,61	&8,03	&8,27	&8,44\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand{\arraystretch}{1}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter sur votre copie le nuage de points associé à la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans un repère orthogonal (1~cm représente 1~rang en abscisse et 5~cm représentent 1~\euro{} en ordonnée faire débuter la graduation à 6 sur l'axe des ordonnées).
\item  À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (arrondir les coefficients à $10^{-2}$ près).

Tracer cette droite dans le repère précédent.
\item  La forme du nuage suggère une modification de l'évolution du SMIC horaire brut à partir de juillet 2004. Pour $x \geqslant  4$, on choisit d'ajuster le nuage de points par une courbe $\mathcal{C}$ d'équation

\[y = a \ln (x - 3) + b\]

où $a$, et $b$ sont deux réels. Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la courbe $\mathcal{C}$  passe par les points de coordonnées (4 ; 7,61) et (7 ; 8,44) (arrondir les réels $a$ et $b$ à $10^{-2}$).

Tracer la courbe $\mathcal{C}$  dans le repère précédent.
\item Arthur est un jeune salarié, rémunéré au SMIC. Il souhaite estimer la valeur du SMIC au 1\up{er} juillet 2009. Quel est, parmi les modèles utilisés aux questions \textbf{2} et \textbf{3}, celui qui lui sera le plus favorable ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
{\bf\large Exercice 3} \hfill{\bf 5 points}
 
{\bf Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère la surface $S$ d'équation
 
\[z = y \times  \ln (x),\]

où $x$ appartient à l'intervalle [0,5 ; 5] et $y$ appartient l'intervalle $[-3~;~5]$. Cette surface $S$ est représentée sur l'annexe correspondant à cet exercice qui est à  rendre avec la copie.
  
Les cinq questions sont indépendantes l'une de l'autre.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $P$ le plan d'équation $z = 3,5$. Quelle est la nature de l'intersection de la surface $S$ et du plan $P$ ?
\item  On désigne par $\mathcal{C}_{2}$ l'intersection de la surface $S$ avec le plan d'équation $y = 2$. Représenter la courbe $\mathcal{C}_{2}$ dans un repère orthonormal d'unité $2$~cm.
\item   Placer sur la surface $S$ le point A d'abscisse $2$ et d'ordonnée $4$. Calculer sa côte.
\item   Lire les coordonnées du point B situé sur la surface $S$.
\item   On considère la section $C$ de la surface $S$ par le plan d'équation $z  = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'ordonnée du point D d'abscisse $4$ situé sur la section $C$. On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée à $10^{-1}$ près. Placer le point D sur la surface $S$.
		\item  Arthur pense que la nature de la section $C$ est un morceau de parabole. A-t-il raison ? Pourquoi ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
{\bf\large Exercice 4} \hfill{\bf 5 points}
 
{\bf Commun à tous les candidats}

\medskip

Une entreprise fabrique une quantité $x$, comprise entre $0$ et $20$, d'un certain objet.

Le coût total de production $f$, exprimé en euros, est représenté par la courbe $\mathcal{C}$ dans un repère d'origine O du graphique 1 fourni .en annexe (à rendre avec la copie). La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point E d'abscisse 14 est tracée sur le même graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le coût total de production dc 10 objets ?
		\item  Quelle quantité maximale d'objets est-il possible de produire pour un coût total inférieur à 150~\euro{} ?
 	\end{enumerate}
\item  Le coût marginal $g$ est donné sur l'intervalle ]0 ; 20] par la dérivée du coût total de production $g(x) = f'(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle ]0~;~20].
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le graphique 1 de l'annexe, déterminer la valeur du coût marginal pour $x=14$.
		
Comparer $g(14)$ et $g(19)$.
		\item Quelle est, parmi les trois courbes proposées sur le graphique 2, celle qui représente le coût marginal ? Justifier la réponse,
 	\end{enumerate}
\item Le coût moyen $h$ est donné sur l'intervalle ]0 ; 20] par $h(x) = \dfrac{f(x)}{x}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Estimer $h(5)$.
		\item  Sur le graphique 1 de l'annexe, placer le point Q d'abscisse $5$ situé sur la courbe $\mathcal{C}$, puis tracer la droite (OQ).
		
\medskip

Une expression du coefficient directeur de la droite (OQ) est $\dfrac{f(5)}{5}$. Justifier cette expression,
		\item  Placer le point A sur la courbe $\mathcal{C}$ tel que la droite (OA) soit tangente à $\mathcal{C}$. On appelle $a$ l'abscisse du point A.
		\item  Conjecturer les variations de $h$ sur l'intervalle ]0 ; 20].
		
\emph{Toute tentative d'explication de la démarche ou de la méthode utilisée sera valorisée.}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Graphique 1}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.08cm}
\begin{pspicture}(-2,-10)(22,180)
\multido{\n=0+1}{23}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,180)}
\multido{\n=0+10}{19}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](0,\n)(22,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(22,180)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=3000]{0}{19.76}{2.71828 0.144679 x mul exp 9.1186 mul 20.8814 add}
\psplot{8}{22}{10 x mul 50 sub}
\uput[d](17,90){6} \uput[r](20,120){60}\uput[ul](14,90){B}\uput[dl](0,0){O}
\uput[l](18.5,153){\blue $\mathcal{C}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(14,90)(20,90)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(20,90)(20,150)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{Graphique 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(22,22)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](0,0)(22,22)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(22,22)
\psplot[linewidth=1.25pt]{0}{19.48}{2.71828 0.144679 x mul exp 1.31927 mul}
\pscurve[linewidth=1.25pt](0,2.2)(3,3)(6,3.8)(9,4.65)(10,5)(12,5.85)(15,7.15)(18,8.8)(20,10)
\pscurve[linewidth=1.25pt](0,19)(3,18.3)(6,17)(9,15)(12,12.2)(15,8.8)(18,4.5)(20,1.4)
\uput[r](20,21.9){$\mathcal{C}_{1}$} \uput[r](20,10){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[r](20,1.3){$\mathcal{C}_{3}$} \uput[dr](0,0){O} 
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Figure spécialité
\begin{center}
%Surface z=yln(x)
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,17)
%\SpecialCoor
\psset{Alpha=-120,Beta=40}
%\psset{Beta=30,Alpha=-80}
%\psset{Beta=90,Alpha=0}% pour tests
\pstThreeDCoor[xMin=0.5,yMin=-3,zMin=-5,xMax=5,yMax=5,zMax=8,eulerRotation=true,xRotVec=90,drawing=false] 
%la boîte

%\pstThreeDPut(0,5,-1.2){Taille (m)} \pstThreeDPut(5,9.6,-1){\rput[c]{-17.7}(0,0){Poids (kg)}}
%\pstThreeDPut(0,-0.75,4){\rput[c]{90}(0,0){IMC}}
%\pstThreeDLine(0,20,0)(0,20,16)
\multido{\n=1+1}{5}{\pstThreeDPut(\n,-3.5,-5.5){\n}}
\multido{\n=-5+1}{14}{\pstThreeDPut(0,5.35,\n){\n}}
\multido{\n=-3+1}{9}{\pstThreeDPut(0,\n,-5.5){\n}}
\multido{\n=-5+1}{14}{\pstThreeDLine(0.5,5,\n)(5,5,\n)(5,-3,\n)}
\multido{\n=0.5+0.5}{10}{\pstThreeDLine(\n,-3,-5)(\n,5,-5)(\n,5,8)}
\multido{\n=-3+0.5}{17}{\pstThreeDLine(0.5,\n,-5)(5,\n,-5)(5,\n,8)}

%la surface
\newgray{gris}{0.99}
\parametricplotThreeD(0.5,5){t 5 t ln 5 mul}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD(0.5,5){t 5 t ln 5 mul}
\parametricplotThreeD(5,-3){5 t t 1.609438 mul}
\parametricplotThreeD(5,0.5){t -3 t ln -3 mul}
\parametricplotThreeD(-3,5){0.5 t t -0.693147 mul}
}
%courbes de niveaux 
%0<z<1
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(0,5){1 t 0}
\parametricplotThreeD(1,1.2214){t 5 5 t ln mul}
\parametricplotThreeD(1.2214,5){t 1 t ln div 1}
\parametricplotThreeD(0.62133,0){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(5,1){t 0 0}
}
%-4<z<-3
%\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(4.3281,5){-3 t div EXP t -3}
\parametricplotThreeD(0.6703,0.54881){t 5 t ln 5 mul}
\parametricplotThreeD(5,4.3281){0.5 t 0.5 ln t mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(2.71828,3.79367){t -3 t ln -3 mul}
\parametricplotThreeD(3.79367,5){t -4 t ln div -4}
\parametricplotThreeD(-2.48534,-1.864){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(-1.864,-3){-3 t div EXP t -3}
}
%-2<z<-1
%\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(5,2.8854){-2 t div EXP t -2}
\parametricplotThreeD(2.8854,1.4427){0.5 t 0.5 ln t mul}
\parametricplotThreeD(1.4427,5){-1 t div EXP t -1}
\parametricplotThreeD(0.81873,0.6703){t 5 t ln 5 mul}
}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(1.9477,5){t -2 t ln div -2}
\parametricplotThreeD(-1.2427,-0.6213){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(5,1.3956){t -1 t ln div -1}
\parametricplotThreeD(1.3956,1.9477){t -3 -3 t ln mul}
}
%2<z<3
%\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(1.49182,5){t 2 t ln div 2}
\parametricplotThreeD(1.24267,1.864){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(5,1.82212){t 3 t ln div 3}
\parametricplotThreeD(1.82212,1.49182){t 5 t ln 5 mul}
}
%4<z<5
%\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(2.22554,5){t 4 t ln div 4}
\parametricplotThreeD(2.48534,3.1067){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(5,2.71828){t 5 t ln div 5}
\parametricplotThreeD(2.71828,2.22554){t 5 t ln 5 mul}
}
%6<z<7
%\newgray{gris}{0.25}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(3.32012,5){t 6 t ln div 6}
\parametricplotThreeD(3.728,4.3493){5 t t 5 ln mul}
\parametricplotThreeD(5,4.0552){t 7 t ln div 7}
\parametricplotThreeD(4.0552,3.32012){t 5 t ln 5 mul}
}

%surface
%le hiddenLine ne "marche" pas. Inverser les bornes ou inverser x et y ne change rien
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=16,xPlotpoints=9,linewidth=1pt,linecolor=blue,hiddenLine=true](0.5,5)(-3,5){y x ln mul}
%la suite relève du bricolage, à cause du hiddeLine. Si vous trouvez une solution plus élégante, merci de ma l'envoyer : camus.philippeATfree.fr
%le petit coin retourné (a cause du hiddenLine qui marche pas, je le fait après la surface
\newgray{gris}{0.99}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{ 
\parametricplotThreeD(-0.5,-3){0.5 t t 0.5 ln mul}
\parametricplotThreeD(0.5,2){t -3 t ln -3 mul}
\parametricplotThreeD(-3,-2.5){2 t 2 ln t mul}
\parametricplotThreeD(-2.5,-.5){1.5 t 1.5 ln t mul}
\parametricplotThreeD(1.5,0.5){t -0.5 t ln -0.5 mul}
}
%idem pour 0<z<1
\newgray{gris}{0.45}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=gris]{
\parametricplotThreeD(0,-3){1 t 0}
\parametricplotThreeD(1,0.71653){t -3 -3 t ln mul}
\parametricplotThreeD(0.71653,0.5){t 1 t ln div 1}
\parametricplotThreeD(-1.442695,0){0.5 t t 0.5 ln mul}
\parametricplotThreeD(0.5,1){t 0 0}
}
% il faut refaire le quadrillage visible
\psset{linecolor=blue}
\parametricplotThreeD(0.5,2){t -2.5 -2.5 t ln mul}
\parametricplotThreeD(0.5,1.5){t -2 -2 t ln mul}
\parametricplotThreeD(0.5,1){t -1.5 -1.5 t ln mul}
\parametricplotThreeD(0.5,1){t -1 -1 t ln mul}
\parametricplotThreeD(-1.5,-3){1.5 t 1.5 ln t mul}
\pstThreeDDot[dotstyle=*,linecolor=black,dotsize=5pt](4.5,1.99458,3)
\pstThreeDPut(4.8,2.2,3.2){$B$}
\pstThreeDPut(14.5,3.2,-17.5){$x$}
\pstThreeDPut(0.5,1.,-7){$y$}
\pstThreeDPut(-4,3.5,4.2){$z$}
%la légende


\end{pspicture}
\par\end{center}

\begin{center}
%Surface z=xln(y)
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,17)
%\SpecialCoor
\psset{Alpha=20,Beta=-40}

\pstThreeDCoor[xMin=-3,yMin=0.5,zMin=-5,xMax=5,yMax=5,zMax=8,drawing=true] 
%la boîte


\multido{\n=-5+1}{14}{\pstThreeDLine(-3,5,\n)(5,5,\n)(5,0.5,\n)}
\multido{\n=-3+0.5}{17}{\pstThreeDLine(\n,0.5,-5)(\n,5,-5)(\n,5,8)}
\multido{\n=0.5+0.5}{10}{\pstThreeDLine(-3,\n,-5)(5,\n,-5)(5,\n,8)}
%courbes de niveaux 
%surface
\psplotThreeD[drawStyle=xyLines,yPlotpoints=17,xPlotpoints=10,linewidth=1pt,linecolor=blue,hiddenLine=true,fillstyle=solid,fillcolor=white](-3,5)(5,0.5){x y ln mul}

\end{pspicture}
\par\end{center}
\end{document}