\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Sujet aimablement fourni par Miloud Barek %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {TS Asie}, pdftitle = {16 juin 2015}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S } \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{16 juin 2015}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 16 juin 2015~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes. Les probabilités seront arrondies au millième.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Un concurrent participe à un concours de tir à l'arc, sur une cible circulaire. À chaque tir, la probabilité qu'il atteigne la cible est égale à $0$,8. \medskip \begin{enumerate} \item Le concurrent tire quatre flèches. On considère que les tirs sont indépendants. Déterminer la probabilité qu'il atteigne au moins trois fois la cible. \item Combien de flèches le concurrent doit-il prévoir pour atteindre en moyenne la cible douze fois ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \parbox{0.65\linewidth}{Entre deux phases du concours, pour se perfectionner, le concurrent travaille sa précision latérale sur une autre cible d'entraînement, représentée ci-contre. Pour cela, il tire des flèches pour essayer d'atteindre une bande verticale, de largeur $20$~cm (en grisé sur la figure), le plus près possible de la ligne verticale centrale. On munit le plan contenant la bande verticale d'un repère : la ligne centrale visée est l'axe des ordonnées. On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute flèche tirée atteignant ce plan, associe l'abscisse de son point d'impact.}\hfill \parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=0.125cm} \begin{pspicture}(-18,-18)(22,18) \psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-10,-18)(10,18) \multido{\n=-15+5}{8}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,-18)(\n,18)} \multido{\n=-15+5}{7}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](-18,\n)(22,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-18,-18)(22,18) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(22,18) \psdots(-5,5)(10,-10)(15,10)%CBA \uput[ur](-5,5){C}\uput[ur](10,-10){B}\uput[ur](15,10){A} \psline[linewidth=1.25pt](-10,-18)(-10,18) \psline[linewidth=1.25pt](10,-18)(10,18) \end{pspicture}} \medskip Ainsi, par exemple : \begin{itemize} \item si la flèche atteint le point A, le tireur a raté la bande, et $X$ prend la valeur $15$ ; \item si elle atteint le point B, l'impact est à la limite de la bande, et $X$ prend la valeur $10$ ; \item si elle atteint le point C, l'impact est dans la bande et $X$ prend la valeur $- 5$. \end{itemize} \medskip On suppose que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $0$ et d'écart-type $10$.\index{loi normale} \medskip \begin{enumerate} \item Lorsque la flèche atteint le plan, déterminer la probabilité que son point d'impact soit situé hors de la bande grisée. \item Comment modifier les bords de la bande grisée pour faire en sorte que, lorsque la flèche atteint le plan, son point d'impact soit situé à l'intérieur de la bande avec une probabilité égale à $0,6$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip La durée de vie (exprimée en heures) du panneau électrique affichant le score des concurrents est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 10^{-4}$ (exprimé en h$^{-1}$).\index{loi exponentielle} \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité que le panneau fonctionne au moins pendant \np{2000}~heures ? \item \emph{Restitution organisée des connaissances} Dans cette question, $\lambda$ désigne un réel strictement positif. On rappelle que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, est définie par : E$(T) = \displaystyle\lim_{x \to + \infty} \displaystyle\int_0^x \lambda t \text{e}^{- \lambda t}\:\text{d}t$. \begin{enumerate} \item On considère la fonction $F$, définie pour tout réel $t$ par : $F(t) = \left(- t - \dfrac{1}{\lambda}\right)\text{e}^{- \lambda t}$. Démontrer que la fonction $F$ est une primitive sur $\R$ de la fonction $f$ définie pour tout réel $t$ par : $f(t) = \lambda t\text{e}^{- \lambda t}$. \item En déduire que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $T$ est égale à $\dfrac{1}{\lambda}$. Quelle est l'espérance de durée de vie du panneau électrique affichant le score des concurrents ?\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.} \bigskip Dans les questions 1 et 2, on munit l'espace d'un repère orthonormé, et on considère les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ d'équations respectives $x+ y + z - 5 = 0$ et $7x - 2y + z - 2 = 0$.\index{equation de plan@équation de plan} \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1 :} les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont perpendiculaires. \item \textbf{Affirmation 2 :} les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ se coupent suivant la droite de représentation paramétrique : \index{equation paramétrique de droite@équation paramétrique de droite} \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{- 3}t\\ y&=&\phantom{-}2t + 1,\\ z&=&- 3t + 4 \end{array}\right.\: \:t \in \R.\] \item Un joueur de jeux vidéo en ligne adopte toujours la même stratégie. Sur les 312 premières parties jouées, il en gagne 223. On assimile les parties jouées à un échantillon aléatoire de taille $312$ dans l'ensemble des parties. On souhaite estimer la proportion de parties que va gagner le joueur, sur les prochaines parties qu'il jouera, tout en conservant la même stratégie. \textbf{Affirmation 3 :} au niveau de confiance de 95\,\%, la proportion de parties gagnées doit appartenir à l'intervalle [0,658~;~0,771].\index{intervalle de confiance} \item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|X|}\hline &$a$, $b$ sont deux nombres réels tels que $a < b$\\ VARIABLES & $x$ est un nombre réel\\ &$f$ est une fonction définie sur l'intervalle $[a~;~b]$\\ \hline &Lire $a$ et $b$\\ &Tant que $b-a > 0,3$\\ &\hspace{1cm}$x$ prend la valeur $\dfrac{a+ b}{2}$\\ TRAITEMENT &\hspace{1cm} Si $f(x) f(a) > 0$, alors $a$ prend la valeur $x$\\ &\hspace{3.4cm}sinon $b$ prend la valeur $x$\\ &\hspace{1cm}Fin Si\\ &Fin Tant que\\ &Afficher $\dfrac{a+ b}{2}$\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \textbf{Affirmation 4 :} si l'on entre $a = 1,\: b = 2$ et $f(x) = x^2 - 3$, alors l'algorithme affiche en sortie le nombre \np{1,6875}.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \parbox{0.58\linewidth}{Pour tout entier naturel $n$, on définit la fonction $f_n$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1] par : \[f_n(x) = x + \text{e}^{n (x - 1)}.\]\index{fonction exponentielle} On note $\mathcal{C}_n$ la représentation graphique de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal. Quelques-unes des courbes $\mathcal{C}_n$ sont représentées ci-contre. \medskip \textbf{Partie A : généralités sur les fonctions }\:\boldmath $f_n$\unboldmath \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, la fonction $f_n$ est croissante et positive sur l'intervalle [0~;~1]. \item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_n$ ont toutes un point commun A, et préciser ses coordonnées. \item À l'aide des représentations graphiques, peut-on conjecturer le comportement des coefficients directeurs des tangentes en A aux courbes $\mathcal{C}_n$ pour les grandes valeurs de $n$ ? Démontrer cette conjecture. \end{enumerate}}\hfill \parbox{0.39\linewidth}{\psset{unit=4.5cm,comma=true,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(1.15,2.1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,griddots=8](0,0)(2,2) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(1.1,2.09) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1) \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 1 mul exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 2 mul exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 3 mul exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 10 mul exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 50 mul exp x add} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.7182 x 1 sub 100 mul exp x add} \uput[l](0.1,1.1){\blue $\mathcal{C}_0$}\uput[l](0.49,1.1){\blue $\mathcal{C}_1$} \uput[l](0.63,1.1){\blue $\mathcal{C}_2$}\uput[r](0.68,1.1){\blue $\mathcal{C}_3$} \uput[l](0.78,0.86){\blue $\mathcal{C}_{10}$}\uput[l](0.98,1.1){\blue $\mathcal{C}_{50}$} \uput[r](0.93,1){\blue $\mathcal{C}_{100}$} \end{pspicture*}} \medskip \textbf{Partie B : évolution de \boldmath $f_n(x) $\unboldmath\: lorsque $x$ est fixé} \medskip Soit $x$ un réel fixé de l'intervalle [0~;~1] . Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = f_n (x)$.\index{suite} \medskip \begin{enumerate} \item Dans cette question, on suppose que $x = 1$. Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$. \item Dans cette question, on suppose que $0 \leqslant x < 1$. Étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : aire sous les courbes } \boldmath$\mathcal{C}_n$ \unboldmath \medskip Pour tout entier naturel $n$, on note $A_n$ l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine situé entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathcal{C}_n$ et les droites d'équations respectives $x = 0$ et $x = 1$.\index{aire et intégrale} À partir des représentations graphiques, conjecturer la limite de la suite $\left(A_n\right)$ lorsque l'entier $n$ tend vers $+ \infty$, puis démontrer cette conjecture.\hyperlink{Index}{*} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni du repère orthonormé direct \Ouv. On donne le nombre complexe $\text{j} = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.\index{complexes} Le but de cet exercice est d'étudier quelques propriétés du nombre j et de mettre en évidence un lien de ce nombre avec les triangles équilatéraux. \bigskip \textbf{Partie A : propriétés du nombre j} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation \[z^2 + z + 1 = 0.\]\index{complexes} \item Vérifier que le nombre complexe j est une solution de cette équation. \end{enumerate} \item Déterminer le module et un argument du nombre complexe j, puis donner sa forme exponentielle. \item Démontrer les égalités suivantes: \begin{enumerate} \item j$^3 = 1$ ; \item j$^2 = - 1 - \text{j}$. \end{enumerate} \item On note P, Q, R les images respectives des nombres complexes 1,\:j et j$^2$ dans le plan. Quelle est la nature du triangle PQR ? Justifier la réponse. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Soit $a$, $b$, $c$ trois nombres complexes vérifiant l'égalité $a+ \text{j}b + \text{j}^2 c = 0$. On note A, B, C les images respectives des nombres $a$, $b$, $c$ dans le plan. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la question A - 3. b., démontrer l'égalité : $ a - c = \text{j}(c - b)$. \item En déduire que AC = BC . \item Démontrer l'égalité : $a - b = \text{j}^2 (b - c)$. \item En déduire que le triangle ABC est équilatéral.\hyperlink{Index}{*} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip On dit qu'un entier naturel non nul $N$ est un nombre triangulaire s'il existe un entier naturel $n$ tel que : $N = 1+2+ \ldots + n$.\index{arithmétique} Par exemple, 10 est un nombre triangulaire car $10 = 1 + 2 + 3 + 4$. Le but de ce problème est de déterminer des nombres triangulaires qui sont les carrés d'un entier. \medskip On rappelle que, pour tout entier naturel non nul $n$, on a : \[ 1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}.\] \textbf{Partie A : nombres triangulaires et carrés d'entiers} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $36$ est un nombre triangulaire, et qu'il est aussi le carré d'un entier. \item \begin{enumerate} \item Montrer que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $n^2 + n - 2 p^2 = 0$. \item En déduire que le nombre $1 + 2 + \ldots + n$ est le carré d'un entier si et seulement s'il existe un entier naturel $p$ tel que : $(2n + 1)^2 - 8 p^2 = 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : étude de l'équation diophantienne associée} \medskip On considère (E) l'équation diophantienne \index{equation diophantienne@équation diophantienne} \[x^2 - 8 y^2 = 1,\] où $x$ et $y$ désignent deux entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Donner deux couples d'entiers naturels inférieurs à 10 qui sont solution de (E). \item Démontrer que, si un couple d'entiers relatifs non nuls $(x~;~y)$ est solution de (E), alors les entiers relatifs $x$ et $y$ sont premiers entre eux. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : lien avec le calcul matriciel} \medskip Soit $x$ et $y$ deux entiers relatifs. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}3&8\\1&3\end{pmatrix}$.\index{matrices} On définit les entiers relatifs $x'$ et $y'$ par l'égalité : $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$. \medskip \begin{enumerate} \item Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et de $y$. \item Déterminer la matrice $A^{-1}$, puis exprimer $x$ et $y$ en fonction de $x'$ et $y'$. \item Démontrer que $(x~;~y)$ est solution de (E) si et seulement si $(x'~;~y')$ est solution de (E). \item On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par $x_0 = 3$,\: $y_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$, $\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_n\\y_n\end{pmatrix}$. On admet que, ainsi définis, les nombres $x_n$ et $y_n$ sont des entiers naturels pour toute valeur de l'entier $n$. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, le couple $\left(x_n~;~y_n\right)$ est solution de (E). \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie D : retour au problème initial} \medskip À l'aide des parties précédentes, déterminer un nombre triangulaire supérieur à \np{2015} qui est le carré d'un entier.\hyperlink{Index}{*} \end{document}