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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{21 juin 2010}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 
21 juin 2010~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM qui comporte 8 questions, numérotées de 1 à 8. À chaque question, une seule des trois réponses notée \textbf{a},~\textbf{b} ou \textbf{c} est exacte. On demande au candidat d'indiquer sur sa copie, pour chaque question, quelle est la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'enlèvent pas de point.}

\bigskip

\parbox{0.53\linewidth}{
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère les points : 
A(1~;~0~;~0), B(1~;~1~;~0), C(1~;~2~;~0), D(1~;~0~;~1), 
E(1~;~1~;~1), F(1~;~2~;~1), G(0~;~0~;~1), H(0~;~1~;~1), I(0~;~2~;~1), J(O~;~1~;~0), K(0~;~2~;~0) comme indiqués sur la figure ci -contre :}\hfill 
\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}\begin{pspicture}(-3,-2)(5,4)
\psline[linestyle=dashed](-0.9,-0.5)(0,0)(3,0)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0.6,-0.5)(1.5,0)(1.5,1.5)%BJH
\pspolygon(-0.9,-0.5)(2.2,-0.5)(2.2,0.95)(-0.9,0.95)%ACFD
\psline(2.2,-0.5)(3,0)(3,1.5)(2.2,0.95)%CKIF
\psline(3,1.5)(1.5,1.5)(0.6,1)(0.6,-0.5)%IHEB
\psline(1.5,1.5)(0,1.5)(-0.9,0.95)%HGD
\psline{->}(3,0)(5,0)
\psline{->}(-0.9,-0.5)(-2.7,-1.7)
\psline{->}(0,1.5)(0,4)
\uput[d](-0.9,-0.5){A} \uput[ur](0,0){O} \uput[d](0.6,-0.5){B} 
\uput[ur](1.5,0){J} \uput[d](2.2,-0.5){C} \uput[ur](3,0){K}
\uput[r](2.2,0.95){F} \uput[ur](3,1.5){I} \uput[dr](0.6,1){E}
\uput[ur](1.5,1.5){H} \uput[l](-0.9,0.95){D} \uput[ur](0,1.5){G}
\uput[u](-2.7,-1.7){$x$} \uput[u](5,0){$y$} \uput[r](0,4){$z$}
\end{pspicture}} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Question 1 : Le triangle GBI est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}}
\textbf{a} : isocèle. & 	\textbf{b} : équilatéral.& \textbf{c} : rectangle.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Question 2 : Le barycentre du système de points pondérés $\{(\text{O},~ 2),~ (\text{A},~-1),~(\text{C},~1)\}$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} 
\textbf{a} : le point K.& 	\textbf{b} :  le point I.& \textbf{c} : le point J.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Question 3 : Le produit scalaire $\vect{\text{AH}} \cdot \vect{\text{FC}}$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} 
\textbf{a} : 1.& \textbf{b} : $-1$.& \textbf{c} : 2.\\
\end{tabularx}
\medskip 

\item  Question 4 : Les points B, C, I, H :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{Réponse a :} & \textbf{Réponse b :} & \textbf{Réponse c :} \\
 sont non coplanaires.& forment un rectangle.& forment un carré.
\end{tabularx}
\medskip

\item  Question 5 : Une représentation paramétrique de paramètre $t$ de la droite (KE) est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\shortstack{\textbf{Réponse a:} \\$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&t\\
y&=&2 + t\\
z&=&t
\end{array}\right.$.}
& 	\shortstack{\textbf{Réponse b:} \\ $\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&3 + 4t\\
y&=&t\\
z&=&4t
\end{array}\right.$.}
& 
\shortstack{\textbf{Réponse c:}  \\$\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1 - t\\
y&=&1 + t\\
z&=&1 - t
\end{array}\right.$.}\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Question 6 : Une équation cartésienne du plan (GBK) est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\shortstack{\textbf{Réponse a} : \\$2x + 2 y- z - 2 = 0$}.&
\shortstack{\textbf{Réponse b} : \\$x + y - 3 = 0$}.&
\shortstack{\textbf{Réponse c} : \\$x + y + 2z = 2$}.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item  Question 7 : La distance du point C au plan (ADH) est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} 
\textbf{a} : $\sqrt{2}$.& 	\textbf{b} : $2$.& \textbf{c} : $\dfrac{1}{2}$.\\
\end{tabularx}
\medskip

\item Question 8 : Le volume du tétraèdre HJKB est égal à : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{Réponse~}X}} 
\textbf{a} : $\dfrac{1}{2}$.& 	\textbf{b} : $\dfrac{1}{6}$.& \textbf{c} : $\dfrac{1}{3}$.\\
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. L'unité graphique est 1~cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les points A, B, C et P d'affixes respectives :

\[a = - 2,\quad b = 2 - 2\text{i}\sqrt{3},\quad  c = 3+3\text{i}\sqrt{3}\quad  \text{et} \quad p  = 10.\]

\medskip

\textbf{PARTIE A Étude de la configuration}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construction de la figure. 
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A et P dans le repère \Ouv.
		\item Déterminer les modules des nombres complexes $b$ et $c$.
		\item Utiliser les cercles de centre O et de rayons respectifs 4 et 6 pour construire les points B et C.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le triangle BCP est équilatéral.
\item On note $r_{\text{A}}$ la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{3}$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que l'image Q du point C par $r_{\text{A}}$ a pour affixe : $q = -4 + 4\text{i}\sqrt{3}$.
		\item Vérifier l'égalité : $q = -2b$. \\Que peut-on en déduire pour les points B, O et Q ?
	\end{enumerate}
\item Soit R le symétrique de C par rapport à O.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les droites (AP), (BQ) et (CR) sont concourantes en O.
		\item Établir que: AP = BQ = CR.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

On note $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan, associe le réel $f(M)$ défini par :

\[f(M) = M\text{A} + M\text{B} + M\text{C}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f(\text{O})$.
\item Soient $M$ un point quelconque et $N$ son image par la rotation $r_{\text{A}}$.

Démontrer que : $M\text{A} = MN$ puis que $M\text{C} = N\text{Q}$.
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\medskip

En utilisant l'inégalité triangulaire, démontrer que pour tout point $M$ du plan,

$f(M) \geqslant  12$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $\left(\text{A}~;~ \vect{u},~\vect{v}\right)$. L'unité graphique est 1~cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère les points B, C et H d'affixes respectives :

\[b = 5\text{i},\quad c = 10\quad \text{et}\quad  h = 2 + 4\text{i}.\]

\emph{Construire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude de la position du point H 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le point H appartient à la droite (BC). 
		\item Calculer $\dfrac{h}{h - c}$, et en déduire que $\left(\vect{\text{HC}}~;~\vect{\text{HA}}\right) = - \dfrac{\pi}{2} \quad  [2\pi]$.
		\end{enumerate}
\item Étude d'une première similitude 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les rapports : $\dfrac{\text{BH}}{\text{AH}},~\dfrac{\text{BA}}{\text{AC}}$  et $\dfrac{\text{AH}}{\text{CH}}$.
		\item Démontrer qu'il existe une similitude directe $S_{1}$ qui transforme le triangle CHA en le triangle AHB.
		\item Déterminer l'écriture complexe de cette similitude $S_{1}$ ainsi que ses éléments caractéristiques.
	\end{enumerate}
\item Étude d'une seconde similitude

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiatives, même infructueuses, sera prise en compte dans l'évaluation}

On note $S_{2}$ la similitude qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' =(- 1 - 2\text{i})\overline{z} + 10.\]

Démontrer que $S_{2}$ est composée d'une symétrie orthogonale d'axe ($\Delta$), et d'une similitude directe dont le centre $\Omega$ appartient à ($\Delta$). Préciser ($\Delta$). 
\item  Étude d'une composée
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le rapport de la similitude composée $S_{2} \circ  S_{1}$.
		\item En déduire le rapport entre les aires des triangles CHA et BAC.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\medskip

Avant le début des travaux de construction d'une autoroute, une équipe d'archéologie préventive procède à des sondages successifs en des points régulièrement espacés sur le terrain.

Lorsque le $n$-ième sondage donne lieu à la découverte de vestiges, il est dit positif.

L'évènement : \og le $n$-ième sondage est positif \fg{} est noté $V_{n}$, on note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $V_{n}$.

\medskip

L'expérience acquise au cours de ce type d'investigation permet de prévoir que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si un sondage est positif, le suivant a une probabilité égale à $0,6$ d'être aussi positif; 
\item[$\bullet~$] si un sondage est négatif, le suivant a une probabilité égale à $0,9$ d'être aussi négatif. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On suppose que le premier sondage est positif, c'est-à-dire : $p_{1} = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer les probabilités des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item $A$ : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont positifs \fg{} ;
		\item $B$ : \og les 2\up{e} et 3\up{e} sondages sont négatifs \fg.
	\end{enumerate} 
\item Calculer la probabilité $p_{3}$ pour que le 3\up{e} sondage soit positif. 
\item $n$ désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Recopier et compléter l'arbre ci-dessous en fonction des données de l'énoncé : 

\medskip

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3cm,treesep=1cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$V_n$}\naput{$p_n$}}
	{
		\TR{$V_{n+1}$}\naput{\framebox{\hspace*{0.5cm}\rule{0pt}{10pt}}}
		\TR{$\overline{V_{n+1}}$}\nbput{\framebox{\hspace*{0.5cm}\rule{0pt}{10pt}}}
	}
\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{V_{n}}$}\nbput{$1-p_n$}}
	{
		\TR{$V_{n+1}$}\naput{\framebox{\hspace*{0.5cm}\rule{0pt}{10pt}}}
		\TR{$\overline{V_{n+1}}$}\nbput{\framebox{\hspace*{0.5cm}\rule{0pt}{10pt}}} 
	}
}
\bigskip
\end{center}

\medskip

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, établir que : $p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,1$.
\item On note $u$ la suite définie, pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = p_{n} - 0,2$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $u$ est une suite géométrique, en préciser le premier terme et la raison.
		\item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Calculer la limite, quand $n$ tend vers $+ \infty$, de la probabilité $p_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center} L'objectif de l'exercice est l'étude d'une fonction et d'une suite liée à cette fonction. \end{center}

\textbf{PARTIE A}

\medskip

On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{1}{x^2}\text{e}^{\frac{1}{x}}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormal \Oij. L'unité graphique est 1~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude des limites
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $0$. 
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$. 
		\item Quelles conséquences peut-on déduire de ces deux résultats, pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
	\end{enumerate}
\item Étude des variations de la fonction $f$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, la fonction dérivée de la fonction $f$ s'exprime, pour tout réel $x$ strictement positif, par :

\[f'(x) = - \dfrac{1}{x^4}\text{e}^{\frac{1}{x}}(2x + 1).\]

		\item Déterminer le signe de $f'$ et en déduire le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle  $]0~;~+\infty[$.
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 2$ a une unique solution notée $\alpha$ appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et donner la valeur approchée de $\alpha$ arrondie au centième.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal \Oij.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE B Étude d'une suite d'intégrales}

\medskip 

Pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ on considère l'intégrale $I_{n}$ définie par :

\[I_{n} = \int_{1}^2 \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}}\:\text{d}x.\] 

\begin{enumerate}
\item Calculer $I_{2}$.
\item Une relation de récurrence
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ :

\[I_{n+1} = \text{e} - \dfrac{\sqrt{\text{e}}}{2^{n-1}} + (1 - n)I_{n}.\]
 
		\item Calculer $I_{3}$.
	\end{enumerate}
\item Étude de la limite de la suite de terme général $I_{n}$ 
	\begin{enumerate}
		\item  Établir que pour tout nombre réel $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~2], on a :

$0 \leqslant  \dfrac{1}{x^n}\text{e}^{\frac{1}{x}} \leqslant \dfrac{\text{e}}{x^n}$.
		\item En déduire un encadrement de $I_{n}$ puis étudier la limite éventuelle de la suite $\left(I_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}