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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 1997}}
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\thispagestyle{empty}
 
\begin{center}{ \Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 1997~\decofourright}}}

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une urne contient deux boules blanches et $n$ noires, indiscernables au toucher.

Un joueur tire simultanément deux boules de l'urne et on note $A_{2}$ l'évènement : \og le joueur a tiré deux boules blanches \fg.

Déterminer $n$ pour que la probabilité $p\left(A_{2}\right)$ de l'évènement $A_{2}$ soit égale à $\dfrac{1}{15}$ ?
\item  Dans \textbf{toute la suite du problème} on prend $n = 4$.

\textbf{A -} ­ Un joueur tire simultanément deux boules de l'urne et on note :

$A_{0}$ l'évènement : \og le joueur a tiré deux boules noires \fg{} ;

$A_{1}$ l'évènement : \og le joueur a tiré une boule noire et une blanche \fg{} ;

$A_{2}$ l'évènement : \og le joueur a tiré deux boules blanches \fg.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité des évènements $A_{0}$ et $A_{1}$.
		\item Lors de ce tirage, le joueur marque trois points pour chaque boule blanche tirée et marque deux points pour chaque boule noire tirée.
		
Soit $X$ le nombre de points marqués.
		
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		
Déterminer E($X$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{B - } ­ Après ce premier tirage, le joueur remet les boules noires tirées dans l'urne et laisse les boules blanches tirées de côté, puis effectue un nouveau tirage simultané de deux boules.
  
Soit $B_{i}$ l'évènement : \og on obtient $i$ boule(s) blanche(s) lors du deuxième tirage \fg{} ($i = 0,~ 1$ ou $2$).
	\begin{enumerate}
		\item[\textbf{a.}] Donner $p\left(B_{0}/A_{2}\right)$ et en déduire $p\left(B_{0} \cap A_{2}\right)$.
		
Calculer de même $p\left(B_{0} \cap A_{1}\right)$ et $p(B_{0} \cap  A_{0})$.
			
En déduire que $p\left(B_{0}\right) = \dfrac{41}{75}$.
		\item[\textbf{b.}] Montrer de même que $p\left(B_{2}\right) = \dfrac{2}{75}$.
			
En déduire $p\left(B_{1}\right)$.	
	\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement obligatoire}

\medskip
On considère le plan complexe $P$ muni du repère orthonormal direct \Ouv.

\begin{enumerate}
\item Soit le polynôme $P$ tel que, pour tout $z$ de $\C$,

\[P(z) = z^3 - 4z^2 + 6z - 4.\]

Déterminer les réels $u$ et $v$ tels que $P(z) = (z - 2)\left(z^2 + uz + v\right)$ et résoudre dans $\C$ l'équation $P(z) = 0$.
\item On note $\alpha$ la solution de l'équation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et $\beta$ le conjugué de $\alpha$.

Soit A, B et C les points d'affixes respectives $\alpha,~\beta$ et 2, I le milieu de [AB] et $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.

Déterminer l'affixe du point $r$(B) et en déduire la nature du quadrilatère OACB.
\item  Soit $f$  l'application de $P$ privé du point C dans $P$ qui au point $M$ d'affixe $z$ ($z \neq 2$) associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = \dfrac{z - (1 + \text{i})}{z - 2}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f$(A) et $f$(B).
		
Déterminer le point E tel que $f$(E) = C.
		\item Quelles distances représentent les réels $|z - (1 + \text{i})|$ et $|z - 2|$ ?
		
En déduire que si $M$ appartient à la médiatrice de [AC], $M'$ appartient à un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ deux cercles de centres respectifs O et O$'$ et de rayons $r$ et $2r$ tangents extérieurement en A, de diamètres respectifs [AB] et [AA$'$].

Soit $M$ un point quelconque de $\mathcal{C}$, distinct de A et de B, et $M'$ le point de $\mathcal{C}'$ tel que le triangle A$MM'$ soit rectangle en A (on prendra pour la figure $r = 2$~cm)

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant les réponses :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item le rapport de l'homothétie $h_{1}$ de centre A qui transforme $\mathcal{C}$ en  $\mathcal{C}'$ ;
\item le centre I de l'homothétie $h_{2}$ distincte de $h_{1}$ qui transforme $\mathcal{C}$ en $\mathcal{C}'$.

Placer I sur la figure.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

		\item On note $M_{1} = h_{1}(M)$
		
Montrer que $M_{1}$ est le point de $\mathcal{C}'$  diamétralement opposé à $M'$.

Déterminer $h_{2}(M)$ et en déduire que la droite $\left(MM'\right)$ passe par un point fixe, lorsque $M$ décrit le cercle $\mathcal{C}$ privé des points A et B. 
\end{enumerate}
\item La droite $\left(MM'\right)$ recoupe $\mathcal{C}$ en $N$ et $\mathcal{C}'$ en $N'$.

Quelle est l'image de $N$ par $h_{2}$ ?

Montrer que $\left(\vect{\text{A}N},~\vect{\text{A}M}\right) = \left(\vect{\text{A}N'},~\vect{\text{A}M'}\right) \quad \mod(\pi)$ et en déduire que le triangle A$NN'$ est rectangle en A.
\item Soit $\omega$ milieu de $[MM']$. Montrer que $\omega$ appartient à un cercle fixe dont on donnera le centre et le rayon (on pourra utiliser le milieu D de [OO$'$]).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
\textbf{\textsc{Problème}  \hfill 10 points}

\medskip

Pour tout entier $n$ strictement positif on considère la fonction $f_{n}$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par :

\[f_{n}(x) = \dfrac{(\ln x)^n}{x^2}.\]

On note $\mathcal{C}_{n}$ la courbe représentative de $f_{n}$ dans un repère \Oij{} orthogonal (unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses, 10~cm sur l'axe des ordonnées).

\bigskip

\textbf{Partie A - Étude pour}  \boldmath $n = 1$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f_{1}(x)$ et  $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{1}(x)$.

Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_{1}$ ?	
\item Étudier le sens de variation de $f_{1}$ et donner le tableau des variations de $f_{1}$.
\item Déterminer une équation de la tangente en $x_{0} = 1$, à la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
\textbf{Étude pour} \boldmath $n = 2$ \unboldmath

\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to 0} f_{2}(x)$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f_{2}(x)$.

Que peut-on en déduire pour $\mathcal{C}_{2}$ ?
\item  Calculer $f_{2}^{\prime}(x)$ et donner le tableau des variations de $f_{2}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f_{1}(x) - f_{2}(x)$ ; en déduire la position relative de $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$.
\item Tracer $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}
 
\medskip

$n$ étant un entier naturel non nul, on pose $I_{n} = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} f_{n}(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose $F(x) = \dfrac{1 + \ln x}{x}$.

Calculer $F^{\prime}(x)$, en déduire $I_{1}$.
\item En utilisant une intégration par parties montrer que :

\[I_{n+1} = - \dfrac{1}{\text{e}} + (n + 1)I_{n}.\]

\item Calculer $I_{2}$ puis l'aire en cm$^2$ du domaine compris entre les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ et les droites d'équations $x = 1$ et $x = \text{e}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie D}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant la question 2. de la partie C, montrer par récurrence que, pour tout $n$ entier naturel non nul :

\[\dfrac{1}{n!}I_{n} = 1 - \dfrac{1}{\text{e}}\left(1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!} \right)\]

\item En utilisant un encadrement de $\ln x$ sur $[1~;~\text{e}]$, montrer que, pour tout $n$ entier naturel non nul :
\[0 \leqslant  I_{n} \leqslant  1 .\]
	
\item En déduire $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \cdots + \dfrac{1}{n!} \right)$.
\end{enumerate}
\end{document}