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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 1998}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat C Asie juin 1998~\decofourright }}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1  \hfill 4 points}}

\medskip

Le plan complexe $P$ est rapporté à un repère direct \Ouv, ayant comme unité graphique 3~cm. Les nombres complexes $z_{1},\: z_{2},\: z_{3},\: z_{4},\: z_{5}$ et $z_{6}$ que l'on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme 
exponentielle $\left(\rho\text{e}^{\text{i}\theta}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\C$ l'équation : 

\[z^2- z\sqrt{3} + 1 = 0.\]
 
On pose $z_{1} = \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$ et $z_{2} = 
\dfrac{\sqrt{3} - {i}}{2}$. Exprimer $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle et placer les points M$_{1}$ et M$_{2}$ d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$~ dans le plan $P$.

\item  Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

Calculer l'affixe $z_{3}$ du point M$_{3} = r$(M$_{2}$). Placer M$_{3}$ sur la figure précédente. 
\item  Soit $t$ la translation dont le vecteur $\vec{w}$ a pour affixe $- \dfrac{\sqrt{3} + \text{i}}{2}$.

Calculer l'affixe $z_{4}$ du point M$_{4} = t$(M$_{2})$.

Placer M$_{4}$ sur la figure. 
\item  Soient $z_{5} = \dfrac{\text{i}}{2}(1 + 
\text{i}\sqrt{3})$ et  $z_{6} = \dfrac{2}{\text{i} - \sqrt{3}}$.

Exprimer $z_{5}$    et $z_{6}$ sous forme algébrique et sous forme 
exponentielle.

Placer les points M$_{5}$ et M$_{6}$ d'affixes respectives $z_{5}$  et $z_{6}$ 
sur la figure. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $z_{k}^6$ pour $k \in  \{1,~2,~3,~4,~5,~6\}$.
		\item Écrire $z^{6} + 1$ sous forme d'un produit de trois polynômes du second degré à coefficients réels. Justifier cette écriture.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 4 points}}

\medskip

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

$\N$* est l'ensemble des entiers strictement positifs.
  
Pour tout entier $n$ de $\N^{\star}$, on considère l'intégrale : $I_{n} = 
\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} (\ln x)^n \:\text{d}x.$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout $x$ dans l'intervalle ]1~;~e[,
et pour tout $n$ entier naturel, on a : 

\[(\ln x)^n - (\ln x)^{n + 1} > 0\]

		\item En déduire que la suite $\left(I_{n}\right)$ est décroissante.
	\end{enumerate}		
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I_{1}$ à l'aide d'une intégration par
parties.
		\item Démontrer à l'aide d'une intégration par parties que, pour tout 
$n \in \N$*, $I_{n}  = \text{e} - (n + 1)I_{n}$.
		\item En déduire $I_{2},\:I_{3}$ et $I_{4}$. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de e, et les valeurs approchées à $10^{-3}$ près par 
défaut.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $n \in \N$*,~$I_{n} \geqslant 0$.
		\item Démontrer que, pour tout $n \in \N$*,~$(n + 1)I_{n} \leqslant $ e.
		\item En déduire la limite de $I_{n}$.
		\item Déterminer la valeur de $nI_{n} + \left(I_{n} + I_{n + 1}\right)$ et en déduire la limite de $nI_{n}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2  \hfill 4 points}}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij,	l'unité graphique étant 1 cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit ($\mathcal{C}$) la courbe dont une représentation
paramétrique est :

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\left\{ \begin{array}{l c l}
x = f(t) & = &\dfrac{1}{2}\left(t^2 + 2\right)\\
y = g(t) & = &	\dfrac{1}{2} \left(t^3 + 2t\right)\\
\end{array}\right. ,~t \in \R\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que ($\mathcal{C}$) est symétrique par rapport à l'axe des 
abscisses.
		\item Étudier conjointement les variations des fonctions $f$ et $g$ sur 
[0~;~+~$\infty[$.
		\item Préciser la tangente au point de paramètre $t = 0$.
		\item Tracer la courbe  ($\mathcal{C}$).
	\end{enumerate} 
\item Soit ($\mathcal{P}$) la parabole d'équation $y^2 = 4x$.
	\begin{enumerate}
		\item Tracer ($\mathcal{P}$) dans le même repère que ($\mathcal{C}$).
		\item Vérifier qu'une représentation paramétrique de ($\mathcal{P}$) est : 

\renewcommand\arraystretch{1}
\[\left\{ \begin{array}{l c l}
x(t) &= &t^2\\
y(t) &= &2t\\
\end{array}\right.,~t \in \R\]

		\item Soit ($D_{t})$ la tangente à ($\mathcal{P}$) au point $M_{t}$
de coordonnées $(x(t)~;~y(t))$.

Soit ($\Delta_{t}$) la perpendiculaire à ($D_{t})$ au point $M_{t}$. Montrer
qu'une équation cartésienne de ($\Delta_{t}$) est :

\[Y = -~tX+ t^3 + 2t.\]
 
		\item Pour $t \in \R^{\star}$,~($\Delta_{t}$) coupe l'axe des abscisses en un point $A_{t}$ et l'axe des ordonnées en un point $B_{t}$. On appelle $I_{t}$ le milieu du
segment $[A_{t} B_{t}]$.

Exprimer en fonction de $t$ les coordonnées du point $I_{t}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème  \hfill 11 points}}

\medskip

\begin{center} \textbf{I} \end{center}

Soit la fonction $g$ définie sur $\R$, qui à tout $x$ associe :
 
\[g(x) = \text{e}^x (x - 1) + x^2.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée de la fonction $g$ sur $\R$ est
$$g'(x)	= x(\text{e}^x + 2)$$
		\item Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$	et en $- \infty$.	
		\item Étudier le signe de $g'(x)$ sur $\R$, et dresser le tableau de variation
de $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate}
\item Montrer que l'équation : $g(x) = 0$ admet une solution $\alpha$ et une seule
 sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$. Montrer que $\alpha$ est dans l'intervalle
I$ = \left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{II} \end{center}

Soit la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{\text{e}^x + x}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que les équations : $f(x) = x$ et $g(x) = 0$ sont équivalentes sur
$[0~;~+ ~\infty[$, et que, par suite, l'équation $f(x) = x$ admet $\alpha$ pour
 solution unique sur I.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée de $f$ et en déduire le sens de variation de $f$
sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer la limite de $f$ en $+ ~\infty[$.
		\item Dresser le tableau de variation de $f$.
		\item Construire la courbe représentative $\mathcal{C}$ de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$
 dans un repère orthonormal (unité 2~cm). On indiquera en particulier les
 tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $0$ et $1$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\begin{center} \textbf{III} \end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $I,~ f(x)$ appartient à $I$. 
\item Soit la suite $\left(u_n\right)_{u \in \N}$ définie par $\left\{ 
\begin{array}{r @{~=~} l}
u_1 & \dfrac{1}{2}\\
u_n & f\left(u_{n - 1}\right)~\text{pour tout}~n > 1
\end{array} \right.$

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $n \in  \N^{\star},~u_n \in I$.
		\item Montrer que, pour tout $x \in I ,~|f^{\prime}(x)| \leqslant \dfrac{1}{2}$.
		\item En appliquant le théorème de l'inégalité des accroissements finis, démontrer que :

\[\text{pour tout}~ n > 1 ,\:\left|u_n - \alpha \right| \leqslant \dfrac{1}{2}|u_{n-1} - 
\alpha|.\]

		\item En déduire, par un raisonnement par récurrence, que
pour tout $n \in  \N^*,$

$\left|u_n - \alpha \right| \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
		\item En déduire que $(u_n)$  converge vers $\alpha$.
		\item \emph{A priori}, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour
 obtenir une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-7}$  près ?
	\end{enumerate} 
\item En utilisant la décroissance de $f$, montrer que $\alpha$ est compris entre deux termes consécutifs quelconques de la suite. En déduire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-7}$.
\end{enumerate}
\end{document}