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\begin{document}
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\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 2002~\decofourright}}\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser
 cette ville en suivant l'avenue principale, qui est jalonnée de nombreux feux
 tricolores.

Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ , on note $E_n$ l'évènement
\og Amélie est arrêtée par le $n\up{e}$ feu rouge ou orange \fg{} et 
$\overline{E_n}$, l'évènement contraire. Le feu orange est considéré comme
 un feu rouge.

Soit $p_n$ la probabilité de $E_n$ et $q_n$ celle de 
$\overline{E_n}$. La probabilité que le premier feu tricolore soit
rouge ou orange vaut $\dfrac{1}{8}$.

On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :

$\bullet$~la probabilité que le $(n + 1)\up{e}$ feu tricolore
 soit rouge ou orange, si le $n\up{e}$ feu est rouge ou orange, 
vaut $\dfrac{1}{20}$.

$\bullet$~la probabilité que le $(n + 1)\up{e}$ feu tricolore
 soit rouge ou orange, si le $n\up{e}$ feu est vert, est égale à 
 $\dfrac{9}{20}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On s'intéresse, tout d'abord, aux deux premiers feux tricolores.
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

\medskip

\begin{center}

\pstree[linecolor=red,treemode=R,levelsep=3cm,treesep=2cm,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
\pstree[treesep=2cm]{\TR{}\taput{$\ldots$} \tbput{\footnotesize vert}}
{\TR{} \taput{$\ldots$} \tbput{$\ldots$}
\TR{}\ncput{$\frac{9}{20}$} \tbput{\footnotesize rouge ou orange}
}
\pstree[treesep=2cm]{\TR{}\taput{$\frac{1}{8}$} \tbput{\footnotesize rouge ou orange}}
{
\TR{} \taput{$\ldots$} \tbput{$\ldots$}
\TR{} \ncput{$\frac{1}{20}$} \tbput{\footnotesize rouge ou orange}
}
}

\hspace{1,5cm} 1\up{er} feu \hspace{3cm} 2\up{e} feu
\end{center}

		\item On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de feux verts
 parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\item On se place maintenant dans le cas général.
	\begin{enumerate}
		\item Donner les probabilités conditionnelles 
$p_{\text{E}_n}\left(E_{n+1}\right)$ et 
$p_{\overline{E_n}}\left(E_{n+1}\right)$.
		\item En remarquant que $E_{n+1} = \left(E_{n+1} \cap 
E_n\right) \cup  \left(E_{n+1} \cap \overline{E_n}\right)$, montrer que, pour tout $n \geqslant 1$,

\[p_{n+1} = \dfrac{1}{20}p_n + \dfrac{9}{20}q_n.\]

		\item En déduire l'expression de $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.
	\end{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_n\right)$ de nombres réels définie pour
 tout entier naturel $n \geqslant 1$ par $u_n = 28p_n - 9$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique et déterminer
sa raison $k$.
		\item Exprimer $u_n$, puis $p_n$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite, si elle existe, de $p_n$, quand $n$ tend vers
$ + \infty$. Donner une interprétation de ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans le plan complexe $(\mathcal{P})$ rapporté au repère orthonormal direct \Ouv, on considère les quatre points A, B, C et D d'affixes respectives $3,~ 4\text{i},~- 2 + 3\text{i}$ et $1 - \text{i}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points A, B, C et D dans le plan.
		\item Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifier votre réponse.
	\end{enumerate}
\item On considère dans l'ensemble des complexes les équations :

\[z^2 -(1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i} = 0 \quad (1) \quad \text{et} \quad 
z^2 -(1 + 3\text{i})z + 4 + 4\text{i} = 0 \quad (2)\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que l'équation (1) admet une solution réelle $z_1$, et
 l'équation (2) une solution imaginaire pure $z_2$.
		\item Développer $(z - 3)(z + 2 - 3\text{i})$, puis $(z - 4\text{i})(z - 
1 + \text{i})$.
		\item En déduire les solutions de l'équation :

\[ \left(z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i}\right)\left(z^2
 - (1 +3\text{i})z + 4 + 4\text{i}\right) = 0.\]

		\item Soit $z_0$ la solution dont la partie imaginaire est strictement négative. Donner la forme trigonométrique de $z_0$.
		\item Déterminer les entiers naturels $n$ tels que les points $M_n$
 d'affixes $z_0^n$ soient sur la droite d'équation $y = x.$ 
	\end{enumerate}
\item On appelle $f$ l'application qui au point $M$, d'affixe $z$,
 associe le point $M'$, d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = z^2 - (1 + 3\text{i})z - 6 + 9\text{i}.\]

	\begin{enumerate} 
		\item On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$. 
Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
		\item Déterminer une équation de l'ensemble (H) des points $M$ pour
lesquels $f(M)$ appartient à l'axe des ordonnées.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

On considère les suites $\left(x_n\right)$ et $\left(y_n\right)$ définies par $x_0 = 1,~y_0 = 8$ et

\renewcommand\arraystretch{2}
\[ \left\{ \begin{array}{l c l}
x_{n+ 1} & = &  \dfrac{7}{3}x_n + \dfrac{1}{3} y_n + 1\\
y_{n + 1} &  =& \dfrac{20}{3}x_n + \dfrac{8}{3} y_n + 5\\
\end{array}\right., ~n \in \N\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\begin{enumerate}
\item Montrer, par récurrence, que les points $M_n$ de
 coordonnées $\left(x_n~;~y_n\right)$ sont sur la droite $(\Delta)$ dont une équation est $5x - y + 3 = 0$. En déduire que

$x_{n+ 1} = 4x_n + 2.$ 
\item Montrer, par récurrence, que tous les $x_n$ sont des
 entiers naturels. En déduire que tous les $y_n$ sont aussi des entiers naturels.
\item Montrer que :
	\begin{enumerate}
		\item $x_n$ est divisible par 3 si et seulement si $y_n$ est divisible par 3.
		\item Si $x_n$ et $y_n$ ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont
 premiers entre eux.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, par récurrence, que $x_n = \dfrac{1}{3} 
\left(4^n \times 5 - 2\right)$.
		\item En déduire que $4^n \times  5 - 2$ est un multiple de 3, pour tout
 entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 10 points}

\begin{center} \textbf{Partie 1} \end{center}

On définit la fonction $u$ sur $\R^*$ par

\[u(x) = 2x^3 - 1 + 2 \ln |x|.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $u$ sur $\R^*$.
Préciser la valeur de l'extremum relatif de $u$.
\item Étudier les limites de $u$ en 0, et en $+ \infty$.
\item On considère l'équation $u(x) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'elle n'admet qu'une seule solution sur 
$\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ et en déduire
qu'elle est la seule sur $\R^*$ ; cette solution sera notée $\alpha$.
		\item Donner un encadrement de $\alpha$ par deux nombres rationnels de la forme$\dfrac{n}{10}$ et $\dfrac{n+1}{10}$, avec $n$ entier.
	\end{enumerate}
\item En déduire le signe de $u(x)$ sur $\R^*$.
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie 2} \end{center}

On définit la fonction $f$ sur $\R^*$ par

\[f(x) = 2x - \dfrac{\ln |x|}{x^2}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans le
 plan muni d'un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate} 
\item Étudier les limites de $f$ en 0, en $+ \infty$ et $- 
\infty$.
\item Pour tout $x$ réel, déterminer le nombre dérivé $f'(x)$.
\item En utilisant les résultats déjà établis, donner les
 variations de la fonction $f$ et le tableau de variations de $f$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f(\alpha) = 3\alpha - \dfrac{1}{2\alpha ^2}$.
		\item En utilisant l'encadrement de $\alpha$ trouvé à la \textbf{partie 
1 3}, prouver que

$1,6 < f(\alpha) < 2,1$.

La construction de $\mathcal{C}$ n'est pas demandée.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie 3} \end{center}

\smallskip

Soit $M$ le point de coordonnées $(x~;~y)$ et $M'$ le point de coordonnées 
$\left(x'~;~y'\right)$ dans le repère \Oij, où $M'$ est le symétrique de $M$ par rapport à
l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer qu'une équation de la courbe $\Gamma$ à laquelle appartient $M'$ lorsque $M$ décrit la courbe $\mathcal{C}$ est la suivante : $y = - 2x - \dfrac{\ln |x|}{x^2}$.
		\item Étudier la position relative des courbes $\Gamma$ et $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center} \textbf{Partie 4} \end{center}

On considère un réel $m$ supérieur ou égal à 1.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $A(m$) l'intégrale $\displaystyle\int_1^m \left[2x - 
f(x)\right]\:\text{d}x$.

Calculer $A(m$). (On utilisera une intégration par parties.)
\item Déterminer, si elle existe, la limite de $A(m$) 
quand $m$ tend vers $+ \infty$.
\end{enumerate}
\end{document}