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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat  S 
Asie  juin 2003~\decofourright}}} \end{center}
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  tous les candidats}

\medskip

L'espace E est rapporté au repère orthonormal \Oijk.

Les points A, B et C ont pour coordonnées respectives :

\[\text{A}(3~;~- 2~;~2) \quad ; \quad\text{B}(6~;~1~;~5) \quad;\quad
 \text{C}(6~;~- 2~;~-1).\]
 
\vspace{0,4cm}

\psset{unit=1cm}\begin{center} 
\begin{pspicture}(8,5)
\pspolygon(1,3.8)(2.8,4.8)(7.6,1.5)(0,0)%ABDC
\psline(0,0)(2.8,4.8)%BC
\psline(3.9,0)(3.9,5)%axe des $z$
\psline(5.5,4.85)(1.4,0)%axe des $x$
\psline(0,3.6)(8,2.35)%axe des $y$
\psline[linewidth=1pt]{->}(3.9,3)(3.6,2.6) 
\psline[linewidth=1pt]{->}(3.9,3)(4.5,2.9) 
\psline[linewidth=1pt]{->}(3.9,3)(3.9,3.6)
\uput[l](1,3.8){A} \uput[u](2.8,4.8){B} 
\uput[d](7.6,1.5){D}  \uput[d](0,0){C} 
\uput[ul](3.9,3){O}  \uput[ul](3.6,2.6){$\vect{\imath}$} 
\uput[dl](4.5,2.9){$\vect{\jmath}$}  \uput[l](3.9,3.6){$\vect{k}$} 
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle. 
\item Soit P le plan d'équation cartésienne $x + y + z - 3 = 0$. 

Montrer que P est orthogonal à la droite (AB) et passe par le point A. 
\item Soit P$'$ le plan orthogonal  la droite (AC) et passant par le point A. 

Déterminer une équation cartésienne de P$'$. 
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$, droite d'intersection des plans P et P$'$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B} 

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit D le point de coordonnées $(0~;~4~;~- 1)$.

 Montrer que la droite (AD) est perpendiculaire au plan (ABC). 
\item Calculer le volume du tétraèdre ABDC.
\item Montrer que l'angle géométrique BDC a pour mesure $\dfrac{\pi}{4}$ radian.
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer l'aire du triangle BDC.
		\item En déduire la distance du point A au plan (BDC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement obligatoire}

\medskip

$\Gamma$ est le cercle de centre O et de rayon $2\sqrt{2}$.

Le plan  est rapporté à un repère orthonormal \Ouv.

\medskip

\begin{enumerate} 
\item À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = z^2 - 2(1 + \text{i})z. \]

On pose $z = x + \text{i}y$ et $z' = x' + \text{i}y'$, où $x,~y,~x'$ et 
$y'$ sont des nombres réels.
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $x'$ et $y'$ en fonction de $x$ et $y$.
		\item Soit $\mathcal{H}$ l'ensemble des points $M$ tels que $z'$ soit un nombre réel. Montrer que $\mathcal{H}$ est la représentation graphique  d'une fonction $h$ que l'on déterminera (l'étude de la fonction $h$ n'est pas  demandée). $\mathcal{H}$ est tracée sur le graphique ci-dessous.
	\end{enumerate}
\item Montrer que le point A d'affixe $a = 2(1 + \text{i})$ appartient  à
$\Gamma$ et $\mathcal{H}$.
\item Soit R la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. On note B et C les points tels que R(A) = B et R(C) = A.
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que R(B) = C et que les triangles OAB, OBC et OCA sont isométriques.
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ?
		\item Montrer que B et C appartiennent à $\Gamma$ et $\mathcal{H}$.
		\item Tracer $\Gamma$ et placer A, B et C sur le graphique ci-dessous.

\begin{center} \begin{pspicture}(-5,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=8,Dy=8](0,0)(-5,-3)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=8,Dy=8]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}
\uput[l](0,0.5){$\vect{v}$}
\uput[dl](0,0){O}
\psline(-5,1)(4,1)
\psline(1,-3)(1,4)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-5}{0.75}{x x 1 sub div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{1.333}{4}{x x 1 sub div}
\end{pspicture} \end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\textbf{Enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~3n^3 - 11n + 48$ est divisible par $n + 3$.
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n,~3n^2 - 9n + 16$ est un entier naturel non nul.
	\end{enumerate}
\item Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls $a,~b$ et $c$, 
l'égalité suivante est vraie :

\[\text{PGCD}(a~;~b) = \text{PGCD}(bc - a~;~b).\]

\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, supérieur ou égal à 2, 
l'égalité suivante est vraie :

\[\text{PGCD}\left(3n^3 - 11n~;~n + 3\right) = \text{PGCD}(48~;~n + 3).\]

\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'ensemble des diviseurs entiers naturels de 48.
		\item En déduire l'ensemble des entiers naturels $n$ tels que $\dfrac{3n^3 - 11n}{n+3}$ soit un entier naturel.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

Le plan P est rapporté à  un repère orthonormal \Oij.

\vspace{0,25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = \dfrac{1 + 2\ln  x}{x^2}.\]

Soit ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ et soit ($\mathcal{C}'$) 
celle de la fonction $h$ définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $h(x) = \dfrac{1}{x}$.

\begin{enumerate} 
\item Déterminer les limites de $f$ en 0 et en $+ \infty$. En déduire que ($\mathcal{C}$) a deux  asymptotes que l'on déterminera. 
\item Calculer la dérivée $f'$ de $f$ et étudier les variations de $f$. 
\item Soit I le point d'intersection de ($\mathcal{C}$) avec l'axe 
des abscisses. Déterminer les coordonnées de I. 
\item Pour tout $x$ de $]0~;~+ \infty[$, on pose $g(x) = 1 - x + 2\ln x$.
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier les variations de la fonction $g$.
		\item Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une solution unique dans chacun des intervalles ]0~;~2[ et ]2~;~4[. Soit $\alpha$ la solution appartenant  ]2~;~4[. Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$. 
	 \end{enumerate}
 \item 
 	\begin{enumerate} 
 		\item Montrer que $f(x) - \dfrac{1}{x}  = \dfrac{g(x)}{x^2}$ et en déduire que ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$) se coupent  en deux points.
		\item Montrer que, pour tout réel $x$ supérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante est vraie :

\[0 < f(x) \leqslant \dfrac{1}{x}.\]

	\end{enumerate}
\item Tracer ($\mathcal{C}$) et ($\mathcal{C}'$).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $\mathcal{D}$ la partie du plan définie par les inégalités suivantes :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
 1  \leqslant &  x & \leqslant \alpha \quad (\alpha \quad  \text{est le réel défini dans la partie A})\\
0 \leqslant &  y  & \leqslant f(x)\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer l'aire de $\mathcal{D}$, notée $\mathcal{A}(\alpha)$, en unités d'aire (on utilisera une intégration par parties).
		\item Montrer que $\mathcal{A}(\alpha) = 2 - \dfrac{2}{\alpha}$ et donner une valeur approchée de $\mathcal{A}(\alpha)$  $10^{-2}$ près. 
	\end{enumerate} 
\item Soit la suite $\left(I_n\right)$ définie pour $n$ suérieur ou égal à 1 par :

\[I_n = \displaystyle\int_n^{n+1} f(x)\: \text{d}x.\]

	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout $n$ supérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante  est vraie :

\[0 \leqslant I_n \leqslant \ln\left(\dfrac{n + 1}{n}\right).\]

		\item En déduire que la suite $\left(I_n\right)$ converge et déterminer sa limite.
		\item Soit $S_n = I_1 + I_2 + I_3 + \cdots + I_n$. Calculer $S_n$ puis la limite de la suite $\left(S_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère, pour tout $n$ supérieur ou égal à 1, la fonction $f_{n}$, définie sur $]0~;~+ \infty[$ par

\[f_n(x) = \dfrac{1 + 2 \ln x}{x^{2n}}.\]

\begin{enumerate} 
\item Calculer la dérivée $f'_n$ de la fonction $f_n$. 
\item Résoudre l'équation $f'_n(x) = 0$. Soit $x_n$ la solution de cette équation. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(x_n\right)$.
\end{enumerate}
\end{document}