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%Sujet aimablement fourni par François Cosmo
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large{\textbf{ \decofourleft~Baccalauréat S Asie 
juin 2006~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique :  2~cm).

On rappelle que pour tout vecteur $\vect{w}$ non nul, d'affixe $z$, on a : $|z| = \left\|\vect{w}\right\|$  et

arg$(z) = \left(\vect{u},~\vect{w}\right)$ à $2\pi$ près.

\bigskip

\textbf{Partie A. Restitution organisée de connaissances}

\medskip

Prérequis : On sait que si $z$ et $z'$ sont deux nombres complexes non nuls, alors : 

\[\text{arg}(zz') = \text{arg}(z) + \text{arg}(z').\]

Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que :

\[\text{arg}\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \text{arg}(z) - \text{arg}(z')\]

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note A et B les points d'affixes respectives $-\text{i}$ et $3\text{i}$.

On note $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan, d'affixe $z$, distinct de A, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[ z'= \dfrac{\text{i}z+3}{z + \text{i}}\]

\begin{enumerate}
\item  Étude de quelques cas particuliers.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f$ admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB]. 
		
		Placer ces points sur le dessin.
		\item On note C le point d'affixe $c = - 2 + \text{i}$. Démontrer que le point C$'$, image de C par $f$, appartient à l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item Pour tout point $M$ du plan distinct de A et B, démontrer que
 
arg$\left(z'\right) = \left(\vect{M\text{A}},~ \vect{M\text{B}}\right) + \dfrac{\pi}{2}$ à $2\pi$ près.
\item Étude de deux ensembles de points. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $z'$ soit un nombre complexe imaginaire pur.
		\item  Soit $M$ d'affixe $z$ un point du cercle de diamètre [AB]  privé des points A et B. À quel ensemble appartient le point $M'$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH représenté sur la feuille annexe.
Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormal 
$\left(\text{A}~ ;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$.

On note I le point de coordonnées $\left(\dfrac{1}{3}~;~1~;~1\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Placer le point I sur la figure.
\item Le plan (ACI) coupe la droite (EH) en J. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.
\item On note R le projeté orthogonal de l sur la droite (AC).
	\begin{enumerate}
		 \item Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées :
		\begin{enumerate}
			 \item  Il existe un réel $k$ tel que	$\vect{\text{AR}}= k\vect{\text{AC}}$.
			\item $\vect{\text{IR}} \cdot \vect{\text{AC}} = 0$.
		\end{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées du point R,
		\item En déduire que la distance IR s'exprime par IR $ = \dfrac{\sqrt{11}}{3}$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le vecteur $\vect{n}$ de coordonnées $(3~;~- 3~;~ 2)$ est normal au plan (ACI).

 En déduire une équation cartésienne du plan (ACI).
\item Démontrer que la distance du point F au plan (ACI) est $\dfrac{5}{\sqrt{22}}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Réservé aux candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Étant donné un entier naturel $n \geqslant  2$, on se propose d'étudier l'existence de trois entiers naturels $x,~y$ et $z$ tels que 

\[x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1 \: \text{ modulo }\:2^n.\]

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de deux cas particuliers}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question on suppose $n =  2$. Montrer que 1, 3 et 5 satisfont à la condition précédente.
\item Dans cette question, on suppose $n =  3$.
	\begin{enumerate}
		\item Soit $m$ un entier naturel. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous donnant le reste $r$ de la division euclidienne de $m$ par 8 et le reste $R$ de la division euclidienne de $m^2$ par $8$.
\[ \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$r$ &0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$R$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}\]

		\item Peut-on trouver trois entiers naturels $x,\: y$ et $z$ tels que 

$x^2 +y^2 +z^2 \equiv 7 ~\text{modulo}~ 8$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B Étude du cas général où} \boldmath  $n \geqslant  3$ \unboldmath

\medskip

Supposons qu'il existe trois entiers naturels $x,~ y$ et $z$ tels que

$x^2 + y^2 + z^2 \equiv 2^n - 1  ~ \text{modulo}~ 2^n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier le fait que les trois entiers naturels $x,~ y$ et $z$ sont tous impairs ou que deux d'entre eux sont pairs.
\item On suppose que $x$ et $y$ sont pairs et que $z$ est impair. On pose alors $x = 2q$,

$y = 2r,~z = 2s +1$ où $q,~r,~s$ sont des entiers naturels.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $x^2 + y^2 +z^2 \equiv  1 ~ \text{modulo}~ 4$. 
		\item En déduire une contradiction.
	\end{enumerate}
\item On suppose que $x,~ y,~ z$ sont impairs. 
	\begin{enumerate}
		\item Prouver que, pour tout entier naturel $k$ non nul, $k^2 + k$ est divisible par $2$. 
		\item En déduire que $x^2 +y^2 + z^2 \equiv 3 ~ \text{modulo}~ 8$.
		\item Conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pierre et Claude jouent au tennis. Les deux joueurs ont la même chance de gagner la première partie. Par la suite, lorsque Pierre gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est $0,7$. Et s'il perd une partie, la probabilité qu'il perde la suivante est $0,8$.

Dans tout l'exercice, $n$ est un entier naturel non nul. On considère les évènements :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  G$_{n}$ : \og Pierre gagne la $n$-ième partie \fg.
\item[$\bullet~$] P$_{n}$ : \og  Pierre perd la $n$-ième partie \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
 
On pose : $p_{n} = p(\text{G}_{n})$ et $q_{n} = p(\text{P}_{n})$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recherche d'une relation de récurrence.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $p_{1}$ puis les probabilités conditionnelles $p_{\text{G}_{1}}(\text{G}_{2})$ et 	$p_{\text{P}_{1}}(\text{G}_{2})$.
		\item Justifier l'égalité $p_{n} + q_{n} = 1$.
		\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1} = 0,5 p_{n} + 0,2$.
	 \end{enumerate}
\item Étude de la suite $\left(p_{n}\right)$.

On pose, pour tout entier naturel $n$ non nul, $v_{n} =  p_{n} - \dfrac{2}{5}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Prouver que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique et exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
		\item En déduire l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle 
\[(\text{E}) : \quad  y'+ y = \text{e}^{- x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que la fonction $u$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $u(x) = x\text{e}^{- x}$ est une solution de (E).
\item Résoudre l'équation différentielle (E$_{0}) : \quad  y'+ y = 0$.
\item Démontrer qu'une fonction $v$, définie et dérivable sur $\R$, est solution de (E) si et seulement si $v - u$ est solution de (E$_{0}$).
\item En déduire toutes les solutions de (E).
\item Déterminer la fonction $f_{2}$, solution de (E), qui prend la valeur $2$ en $0$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$k$ étant un nombre réel donné, on note $f_{k}$ la fonction définie sur l'ensemble $\R$ par :

\[f_{k}(x) = (x + k)\text{e}^{- x}.\]
 On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal \Oij.
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $f_{k}$ en $-\infty$ et $+ \infty$.
\item Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$.
\item En déduire le tableau de variations de $f_{k}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère la suite d'intégrales $\left(I_{n}\right)$ définie par I$_{0} = \displaystyle\int_{-2}^0 \text{e}^{- x}\:\text{d}x$ et pour tout entier naturel
$n \geqslant 1$ par : $I_{n} = \displaystyle\int_{-2}^0 x^n\text{e}^{- x}\:\text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur exacte de l'intégrale I$_{0}$. 
		\item En utilisant une intégration par parties, démontrer l'égalité :
		
\[I_{n+1}  = (-2)^{n+1} \text{e}^2 + (n + 1)I_{n}.\]
 
		\item En déduire les valeurs exactes des intégrales I$_{1}$ et I$_{2}$.
	\end{enumerate}
\item Le graphique ci-dessous représente une courbe $\mathcal{C}_{k}$ qui est la représentation graphique d'une fonction $f_{k}$ définie à la partie B.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\parbox{0.4\textwidth}{
\textbf{a.}  À l'aide des renseignements donnés par le graphique, déterminer la valeur du nombre réel $k$ correspondant.

\textbf{b.}  Soit $\mathcal{S}$ l'aire de la partie hachurée (en unité d'aire) ; exprimer $\mathcal{S}$ en fonction de I$_{1}$ et I$_{0}$ et en déduire sa valeur exacte.} \hfill
\parbox{0.57\textwidth}{\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(-4,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-4,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O} \uput[d](4.1,0.1){$x$} \uput[r](0,3){$y$}
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\psline(0,0)(-2,0)}
\end{pspicture}}

\newpage

\begin{center}

\textbf{ANNEXE}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 (candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)}

\vspace{1cm}
\psset{unit=3cm,linewidth=1pt}
\begin{pspicture}(3,3)
\psframe(0,0)(2,2) %ABFE
\psline(0,2)(0.75,2.75)(2.75,2.75)(2,2)%EFGH
\psline(2.75,2.75)(2.75,0.75)(2,0)%BCG
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\psline[linestyle=dashed](2.75,0.75)(0.75,0.75)%DC
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\uput[ul](2,2){F} \uput[u](2.5,2.75){G} 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}