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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S }
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{21 juin 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 
21 juin 2011~\decofourright}}}\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Étude d'une fonction $f$ 
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par :

\[f(x)= \dfrac{\ln x}{x}.\]
  
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
 
On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère \Oij. La courbe $\mathcal{C}_{f}$ est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie). 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites de la fonction $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
		\item Calculer la dérivée $f'$ de la fonction $f$. 
		\item En déduire les variations de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item Étude d'une fonction $g$ 

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par : 

\[g(x) = \dfrac{(\ln x)^2}{x}.\]

On note $\mathcal{C}_{g}$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans le repère \Oij. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de $g$ en $0$, puis en $+ \infty$.

\emph{Après l'avoir justifiée, on utilisera la relation} : $\dfrac{(\ln x)^2}{x} = 4 \left(\dfrac{\ln \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \right)^2$.
		\item Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$. 
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $g$.
	\end{enumerate}		 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées. 
		\item Étudier la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$. 
		\item Tracer sur le graphique de l'annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbe C , g .
	\end{enumerate} 
\item On désigne par $\mathcal{A}$ l'aire, exprimée en unité d'aire, de la partie du plan délimitée, d'une part par les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, et d'autre part par les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$.
 
En exprimant l'aire $\mathcal{A}$ comme différence de deux aires que l'on précisera, calculer l'aire $\mathcal{A}$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip 

Dans le plan complexe on considère les points A, B et C d'affixes respectives 

$a = -2,\, b = 5\text{i}$ et $c = 4$ ainsi que les carrés ABIJ, AKLC et BCMN, extérieurs au triangle ABC, de centres respectifs S, T et U.
 
La figure est donnée en \textbf{annexe 2}.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$ de centre A et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.En déduire que le point J a pour affixe $- 7 + 2\text{i}$.
 
On admettra que l'affixe du point K est $- 2 - 6\text{i}$. 
\item Justifier que les droites (BK) et (JC) sont perpendiculaires et que les segments [BK] et [JC] ont la même longueur. Calculer cette longueur. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les affixes des points S et T. 
		\item Déterminer l'affixe du point U. 
		\item Démontrer que la droite (AU) est une hauteur du triangle STU.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{JC}},\, \vect{\text{AU}}\right)$. 
\item On admet que les droites (BK) et (JC) se coupent au point V d'affixe 

$v = -0,752 + 0,864\text{i}$. 	
	\begin{enumerate}
		\item Établir que les points A, V et U sont alignés. 
		\item Que représente la droite (AU) pour l'angle $\widehat{\text{BVC}}$ ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{On considère un cube \text{ABCDEFGH}, d'arête de longueur 1. On note \text{I} le point d'intersection de la droite \text{(EC)} et du plan \text{(AFH)}.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item On se place dans le repère $\left(\text{D}~;~\vect{\text{DA}},\, \vect{\text{DC}},\, \vect{\text{DH}}\right)$.
 
Dans ce repère, les sommets du cube ont pour coordonnées : 

\[\text{A}(1~;~0~;~0)\, \text{B}(1~;~1~;~0)\, \text{C}(0~;~1~;~0)\, \text{D}(0~;0~;~0)\, \text{E}(1~;0~;~1)\, \text{F}(1~;~1~;~1)\, \text{G}(0~;~1~;~1)\, \text{H}(0~;0~;~1)\] 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC). 
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (AFH). 
		\item En déduire les coordonnées du point I, puis montrer que le point I est le projeté orthogonal du point E sur le plan (AFH). 
		\item Vérifier que la distance du point E au plan (AFH) est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. 
		\item Démontrer que la droite (HI) est perpendiculaire à la droite (AF).
		 
Que représente le point I pour le triangle AFH ?
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
\emph{Définitions :}

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] un tétraèdre est dit de type 1 si ses faces ont même aire ; 
\item[$\bullet~~$] il est dit de type 2 si les arêtes opposées sont orthogonales deux à deux ;
\item[$\bullet~~$] il est dit de type 3 s'il est à la fois de type 1 et de type 2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Préciser de quel(s) type(s) est le tétraèdre EAFH. 
\end{enumerate}

\psset{unit=0.45cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(15,15)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0.1pt](0,1.6)(8.6,10.5)(5.5,14.6)%AFH
\pspolygon(0,1.6)(8.6,0.2)(8.6,10.5)(0,11.9)%ABFE
\psline(8.6,0.2)(14,2.8)(14,13.1)(8.6,10.5)%BCGF
\psline(14,13.1)(5.5,14.6)(0,11.9)%GHE
\psline(0,1.6)(8.6,10.5)(5.5,14.6)%AFH
\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(5.4,4.2)(14,2.8)(0,11.9)%ADCE
\psline[linestyle=dashed](5.4,4.2)(5.5,14.6)%DH

\uput[dl](0,1.6){A} \uput[d](8.6,0.2){B} \uput[dr](14,2.8){C} 
\uput[d](5.4,4.2){D} \uput[ul](0,11.9){E} \uput[dr](8.6,10.5){F}
 \uput[ur](14,13.1){G} \uput[u](5.5,14.6){H} \uput[ur](4.8,8.85){I}
 \psdots(0,1.6)(8.6,0.2)(14,2.8)(5.4,4.2)(0,11.9)(8.6,10.5)(14,13.1)(5.5,14.6)(4.8,8.85) 
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip
 
On admet que la durée de vie (exprimée en années) d'un certain type de capteur de lumière peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ ($\lambda$ strictement positif), c'est-à-dire que la probabilité que ce capteur tombe en panne avant l'année $t$ ($t$ positif) s'exprime par : 

\[F(t) = p(X \leqslant t) = p([0~;~t]) = \int_{0}^{t} \lambda \text{e}^{- \lambda x}\:\text{d}x.\]

\begin{enumerate}
\item Restitution organisée de connaissances
 
Pré-requis : 
	\begin{enumerate}
		\item $p_{B}(A) = \dfrac{p(A \cap B)}{p(B)}$ (où $A$ et $B$ sont deux évènements tels que $p(B)\neq  0$) ; 
		\item $p\left(\overline{A}\right) = 1 - p(A)$ (où $A$ est un évènement) ; 
		\item $p([a~;~b]) = F(b)- F(a)$ (où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs tels que $a \leqslant  b$).
		
		\medskip 

Démontrer que, pour tout nombre réel positif $s$, on a : 

\[p_{[t~;~+ \infty]}([t~;~t+s]) = \dfrac{F(t + s) - F(t)}{1 - F(t)},\] 

et que $p_{[t~;~+ \infty]}([t~;~t+s])$ est indépendant du nombre réel $t$.

\medskip
 
\emph{Pour la suite de l'exercice, on prendra} $\lambda = 0,2$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que la probabilité que le capteur ne tombe pas en panne au cours des deux premières années est égale à $\text{e}^{- 0,4}$. 
\item Sachant que le capteur n'est pas tombé en panne au cours des deux premières années, quelle est, arrondie au centième, la probabilité qu'il soit encore en état de marche au bout de six ans ? 
\item On considère un lot de 10~capteurs, fonctionnant de manière indépendante.
 
Dans cette question, les probabilités seront \textbf{arrondies à la sixième décimale}. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait exactement deux capteurs qui ne tombent pas en panne au cours des deux premières années. 
		\item Déterminer la probabilité que, dans ce lot, il y ait au moins un capteur qui ne tombe pas en panne au cours des deux premières années.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

\textbf{Partie A : Restitution organisée de connaissances}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Pré-requis : tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier.
 
Démontrer que tout nombre entier $n$ strictement supérieur à 1 est premier ou peut se décomposer en produit de facteurs premiers (on ne demande pas de démontrer l'unicité de cette décomposition). 
\item Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de $629$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oijk, on considère les surfaces $\Gamma$ et $C$ d'équations respectives :

 $\Gamma$ : $z = x y$ et $C$ : $x^2 + z^2 = 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la nature de la surface $C$ et déterminer ses éléments caractéristiques. 
\item Points d'intersection à coordonnées entières des surfaces $\Gamma$ et $C$ 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les coordonnées $(x~;~y~;~z)$ des points d'intersection de $\Gamma$ et de $C$ sont telles que : 

\[x^2 \left(1 + y^2\right) = 1.\]
 
		\item En déduire que $\Gamma$ et $C$ ont deux points d'intersection dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.
	\end{enumerate} 
\item Points d'intersection à coordonnées entières de $\Gamma$ et d'un plan
 
Pour tout nombre entier naturel non nul $n$, on désigne par $P_{n}$ le plan d'équation $z = n^4 + 4$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{1}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.

\medskip
 
Pour la suite de l'exercice, on suppose $n \geqslant  2$. 
		\item Vérifier que : $\left(n^2 - 2n + 2\right)\left(n^2 + 2n + 2\right) = n^4 + 4$. 
		\item Démontrer que, quel que soit le nombre entier naturel $n \geqslant 2,\, n^4 + 4$ n'est pas premier. 
		\item En déduire que le nombre de points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{n}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs est supérieur ou égal à 8. 
		\item Déterminer les points d'intersection de $\Gamma$ et du plan $P_{5}$ dont les coordonnées sont des nombres entiers relatifs.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}


\textbf{Annexe 1 (exercice 1)}

\vspace{1cm}

\vspace{3cm}
\psset{xunit=0.45cm,yunit=9cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(22,0.7)
\multido{\n=0+5}{5}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](\n,-0.5)(\n,0.7)}
\multido{\n=-0.5+0.1}{13}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=orange](0,\n)(22,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.1,comma=true]{->}(0,0)(-1,-0.5)(22,0.7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.1,comma=true](0,0)(-1,-0.51)(22,0.71)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.703}{22}{x ln x div}
\uput[d](7.5,0.27){\blue$\mathcal{C}_{f}$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\begin{center}


\textbf{Annexe 2 (exercice 2)}

\vspace{3cm}

\psset{unit=0.7cm}

\begin{pspicture}(-7,-7)(9,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,labels=none]{->}(0,0)(-7,-7)(9,9)
\pspolygon(-2,0)(0,5)(-5,6.9)(-7,1.9)%ABIJ
\pspolygon(4,0)(8.9,4)(4.9,8.9)(0,5)%CMNB
\pspolygon(-2,0)(-2,-6)(4,-6)(4,0)%AKLC
\uput[dl](-2,0){A} \uput[ul](0,5){B} \uput[dr](4,0){C} 
\uput[u](-5,6.9){I} \uput[dl](-7,1.9){J} \uput[dl](-2,-6){K} 
\uput[dr](4,-6){L} \uput[ur](8.9,4){M} \uput[u](4.9,8.9){N}
\uput[ur](-3.5,3.45){S}\uput[ur](1,-3){T}\uput[ur](4.45,4.5){U}
\psdots(-3.5,3.45)(4.45,4.5)(1,-3) 
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}