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%Tapuscrit : François Hache
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\begin{document}

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\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S -- Asie 23 juin 2016~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

Un maraîcher est spécialisé dans la production de fraises.

Cet exercice envisage dans la partie A la production de fraises, et dans la partie B leur conditionnement.

\begin{center}
\textbf{\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\subsubsection*{Partie A : production de fraises}

Le maraîcher produit ses fraises dans deux serres notées A et B ; 55\,\% des fleurs de fraisier se trouvent dans la serre A, et 45\,\% dans la serre B.
Dans la serre A, la probabilité pour chaque fleur de donner un fruit est égale à 0,88 ; dans la serre B, elle est égale à 0,84.

\medskip

\emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.}

\medskip

\textbf{Proposition 1:}

La probabilité qu'une fleur de fraisier, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit est égale à 0,862.

\smallskip

\textbf{Proposition 2 :}

On constate qu'une fleur, choisie au hasard dans cette exploitation, donne un fruit.

La probabilité qu'elle soit située dans la serre A, arrondie au millième, est égale à 0,439.

\subsubsection*{Partie B : conditionnement des fraises}

Les fraises sont conditionnées en barquettes. La masse (exprimée en gramme) d'une barquette peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=250$ et d'écart-type $\sigma$.

La représentation graphique de la fonction densité de la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est donnée ci-après:

\begin{center}
\psset{xunit=0.1cm, yunit=50cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {195}   \def\xmax {305}
\def\ymin {-0.008} \def\ymax {0.04}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)

\def\m{250}% moyenne 
\def\s{12}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}

\def\inf{\xmin} \def\sup{237}
\pscustom[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\psplot{\sup}{\inf}{0}
\closepath % indispensable !
}

\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\psline(\xmin,0)(\xmax,0)

%\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
%
\multido{\i=200+10}{11}
{
\uput[d](\i,0){\small \i}
\psline(\i,0.001)(\i,-0.001)
}

\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On donne $P(X \pp 237)=0,14$. Calculer la probabilité de l'évènement \og la masse de la barquette est comprise entre 237 et 263 grammes \fg.

\item On note $Y$ la variable aléatoire définie par: $Y=\dfrac{X-250}{\sigma}$.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de la variable aléatoire $Y$?

\item Démontrer que $P\left ( Y \pp - \dfrac{13}{\sigma}\right ) = 0,14$.

\item En déduire la valeur de $\sigma$ arrondie à l'entier.

\end{enumerate}

\item Dans cette question, on admet que $\sigma$ vaut 12. On désigne par $n$ et $m$ deux nombres entiers.

\begin{enumerate}
\item Une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme, se trouve dans l'intervalle $\cd 250-n~;~250+n \cg$. Déterminer la plus petite valeur de $n$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95\,\%.

\item On considère dans cette question qu'une barquette est conforme si sa masse, exprimée en gramme,se trouve dans l'intervalle $\cd 230~;~m\cg$. Déterminer la plus petite valeur de $m$ pour qu'une barquette soit conforme, avec une probabilité supérieure ou égale à 95\,\%.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 3 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Soit $a$ un nombre réel compris entre 0 et 1. On note $f_a$ la fonction définie sur $\R$ par:

\[f_a(x) = a \e^{ax} + a.\]

On note $I(a)$ l'intégrale de la fonction $f_a$ entre 0 et 1:

\[I(a)=\ds\int_0^1 f_a(x) \d x.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item On pose dans cette question $a=0$. Déterminer $I(0)$.

\item On pose dans cette question $a=1$. 

On étudie donc la fonction $f_1$ définie sur $\R$ par:

\[f_1(x)=\e^{x} +1.\]

\begin{enumerate}
\item Sans étude, représenter graphiquement sur la copie la fonction $f_1$ dans un repère orthogonal et faire apparaître le nombre $I(1)$.

\item Calculer la valeur exacte de $I(1)$, puis arrondir au dixième.  
\end{enumerate}

\item Existe-il une valeur de $a$ pour laquelle $I(a)$ est égale à 2?

Si oui, en donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$.


\end{enumerate}


\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Une société produit des bactéries pour l'industrie.
En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries, mesurée en grammes, augmente de 20\,\% en un jour.

La société met en place le dispositif industriel suivant.

Dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement 1~kg de bactéries. Ensuite, chaque jour, à heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. Durant cette opération, 100~g de bactéries sont perdus.

L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30~kg de bactéries.

\smallskip

\hfill \textbf{\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}\hfill{}

\smallskip

\subsubsection*{Partie A: premier modèle -- avec une suite}

On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie de la façon suivante:

\hfill
$u_0=\np{1000}$ et, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=1,2 u_n - 100$.
\hfill{}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Expliquer en quoi ce modèle correspond à la situation de l'énoncé.

On précisera en particulier ce que représente $u_n$.

\item L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30~kg. À l'aide de la calculatrice, donner la réponse à ce problème.

\item On peut également utiliser l'algorithme suivant pour répondre au problème posé dans la question précédente.

Recopier et compléter cet algorithme.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\textbf{Variables} & $u$ et $n$ sont des nombres\\
\hline
 & \\[-5pt]
 & $u$ prend la valeur \np{1000}\\
 & $n$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement \hspace*{0.5cm}} & Tant que ................ faire\\
 & \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur ..........  \hspace*{1cm}\\
 & \hspace*{1cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\
 & Fin Tant que\\
 & \\[-5pt]
\hline
\textbf{Sortie} & Afficher ..........\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \pg \np{1000}$.

\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. 
\end{enumerate}

\item 
On définit la suite $\left(v_n\right)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.
		\item Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B: second modèle -- avec une fonction}

On constate qu'en pratique, la masse de bactéries dans la cuve ne dépassera jamais 50~kg. Cela conduit à étudier un second modèle dans lequel la masse de bactéries est modélisée par la fonction $f$ définie sur $\cd 0~;~+\infty\cd$ par :

\[ f(t)= \dfrac{50}{1 + 49 \e^{-0,2 t}}\] 

où $t$ représente le temps exprimé en jours et où $f(t)$ représente la masse, exprimée en kg, de bactéries au temps $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f(0)$.
		\item Démontrer que, pour tout réel $t\pg 0$, $f(t) < 50$.
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. 
	\end{enumerate}

\item Interpréter les résultats de la question 1 par rapport au contexte.

\item En utilisant ce modèle, on cherche à savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30~kg.

Résoudre l'inéquation d'inconnue $t$: $f(t) > 30$.

En déduire la réponse au problème.

\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie C: un contrôle de qualité}

Les bactéries peuvent être de deux types: le type A, qui produit effectivement une protéine utile à l'industrie, et le type B, qui ne la produit pas et qui est donc inutile d'un point de vue commercial.

\smallskip

L'entreprise affirme que 80\,\% des bactéries produites sont de type A.

\smallskip

Pour vérifier cette affirmation, un laboratoire analyse un échantillon aléatoire de 200 bactéries en fin de production.

L'analyse montre que 146 d'entre elles sont de type A.

L'affirmation de l'entreprise doit-elle être remise en cause ?

\medskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un catadioptre est un dispositif optique formé de trois miroirs en forme de \og coin de cube\fg, les faces réfléchissantes tournées vers l'intérieur. On en trouve dans les réflecteurs de certains véhicules ainsi que dans les appareils de topographie.  

Les points O, A, B et C sont des sommets d'un cube, de telle sorte que le repère $\left (\text{O}\,;\,\vect{\text{OA}},\,\vect{\text{OB}},\,\vect{\text{OC}} \right )$ soit un repère orthonormé. 

On utilisera ce repère dans tout l'exercice.

Les trois miroirs du catadioptre sont représentés par les plans (OAB), (OBC) et (OAC). Les rayons lumineux sont modélisés par des droites.

\medskip

\textbf{Règles de réflexion d'un rayon lumineux (admises):}   

\begin{list}{\textbullet}{}

\item lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAB), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}\,(a~;~b~;~- c)$;

\item lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OBC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}\,(-a~;~b~;~c)$ ;

\item lorsqu'un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi par le plan (OAC), un vecteur directeur du rayon réfléchi est $\vect{v}\,(a~;~- b~;~c)$ ;
\end{list}

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{8cm}|}
\hline
Vue en perspective cavalière de la réflexion d'un rayon lumineux sur le plan (OAB)\\
\hline
\psset{unit=1cm,arrowscale=1.5,dash=2pt 2pt}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {7}
\def\ymin {-2}   \def\ymax {3}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid
\psline(0,0)(\xmax,0) \psline(0,0)(-2,-2) 
\psline{->}(0,0)(1.5,0) \uput[d](1.5,0){B}
\psline{->}(0,0)(0,1.5) \uput[ul](0,1.5){C}
\psline{->}(0,0)(-0.7,-0.7)  \uput[dr](-0.7,-0.7){A}
 \uput[dr](0,0){O}
\psline[linestyle=dashed]{->}(1.9,0)(1.9,1.5)
\psline{->}(3.7,-0.5)(3.7,1)
\psline[linestyle=dashed]{<-}(5.5,-1)(5.5,0.5)
\psline[linestyle=dashed]{->}(5.5,-1)(3.7,-0.5)
\psline[linestyle=dashed]{->}(3.7,-0.5)(1.9,0)
\psline[ArrowInside=-v,veearrowangle=60,arrowscale=0.7,ArrowInsidePos=0.25](7.3,1.5)(3.7,-0.5)
\psline[ArrowInside=-v,veearrowangle=60,arrowscale=0.7,ArrowInsidePos=0.75](3.7,-0.5)(0.1,3.5)
\psline(\xmin,-1.5)(6,-1.5)(7.5,0)
\uput[r](3.7,0.8){\small $\vect{n}\,(0\,;\,0\,;\,1)$}
\end{pspicture*}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item \emph{Propriété des catadioptres}

En utilisant les règles précédentes, démontrer que si un rayon lumineux de vecteur directeur $\vect{v}\,(a~;~b~;~c)$ est réfléchi successivement par les plans (OAB), (OBC) et (OAC), le rayon final est parallèle au rayon initial.

\end{enumerate}

Pour la suite, on considère un rayon lumineux modélisé par une droite $d_1$ de vecteur directeur $\vect{v_1}\,(-2~;~-1~;~-1)$ qui vient frapper le plan (OAB) au point I$_1\,(2~;~3~;~0)$. Le rayon réfléchi est modélisé par la droite $d_2$ de vecteur directeur $\vect{v_2}\,(-2~;~-1~;~1)$ et passant par le point I$_1$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item \emph{Réflexion de $d_2$ sur le plan \emph{(OBC)}}

\begin{enumerate}
\item Donner une représentation paramétrique de la droite $d_2$.
\item Donner, sans justification, un vecteur normal au plan (OBC) et une équation cartésienne de ce plan.
\item Soit I$_2$ le point de coordonnées $(0~;~2~;~1)$.

Vérifier que le plan (OBC) et la droite $d_2$ sont sécants en I$_2$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

On note $d_3$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OBC). $d_3$ est donc la droite de vecteur directeur $\vect{v_3}\,(2~;~-1~;~1)$ passant par le point I$_2\,(0~;~2~;~1)$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item \emph{Réflexion de $d_3$ sur le plan \emph{(OAC)}}

Calculer les coordonnées du point d'intersection I$_3$ de la droite $d_3$ avec le plan (OAC).

On note $d_4$ la droite qui représente le rayon lumineux après réflexion sur le plan (OAC). Elle est donc parallèle à la droite $d_1$.

\item \emph{\'Etude du trajet de la lumière}

On donne le vecteur $\vect{u}\,(1~;~-2~;~0)$, et on note $\mathcal P$ le plan défini par les droites $d_1$ et $d_2$.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le vecteur $\vect u$ est un vecteur normal au plan $\mathcal P$.
		\item Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ sont-elles situées dans un même plan?
		\item Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_4$ sont-elles situées dans un même plan?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip

L'objet du problème est l'étude d'une méthode de cryptage, dite \og chiffrement de Hill \fg, dans un cas particulier. Cette méthode nécessite une matrice de la forme $\begin{pmatrix}a&b\\c&s\end{pmatrix}$, dont les coefficients sont des nombres entiers choisis entre 0 et 25, et tels que $ad -bc$ soit premier avec $26$. 

Cette matrice est connue seulement de l'émetteur et du destinataire. 

\begin{center}\textbf{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center} 

\textbf{Partie A : quelques résultats}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère l'équation $(E) : \: 9d - 26m = 1$, où $d$ et $m$ désignent deux entiers relatifs. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une solution simple de cette équation, de sorte que $d$ et $m$ soient des nombres entiers compris entre $0$ et $3$. 
		\item Démontrer que le couple $(d,\: m)$ est solution de l'équation $(E)$ si et seulement si : 

\[9 (d - 3) = 26 ( m - 1).\]
 
		\item En déduire que les solutions de l'équation $(E)$ sont les nombres entiers relatifs de la forme : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
d &=&26k+3\\ 
m&=&9k+1 
\end{array}\right. ,\:\quad \text{avec }\:k \in  \Z.\]
 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n$ un nombre entier. Démontrer que si $n = 26 k - 1$, avec $k$ entier relatif, alors $n$ et $26$ sont premiers entre eux. 
		\item En déduire que les nombres $9d - 28$, avec $d = 26k + 3$ et $k \in  \Z$, sont premiers avec $26$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : cryptage et décryptage}

\medskip

 On considère la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$.

On utilisera le tableau suivant pour la correspondance entre les lettres et les nombres. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash \small}X|}}\hline
A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H	&I	&J	&K	&L	&M\\ \hline
0	&1	&2	&3	&4	&5	&6	&7	&8	&9	&10	&11	&12\\ \hline\hline
N	&O	&P	&Q	&R	&S	&T	&U	&V	&W	&X	&Y	&Z\\ \hline   
13	&14	&15	&16&17	&18	&19	&20	&21	&22	&23	&24 &25\\ \hline   
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{1}{|>{\centering \arraybackslash}m{6cm}|}{\textbf{Méthode de cryptage (pour un mot comportant un nombre pair de lettres)}}&\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Exemple : avec le mot MATH}}\\ \hline   
 \textbf{1.}  On regroupe les lettres par paires. &\multicolumn{2}{|c|}{MA\quad TH}\\ \hline   
\textbf{2.} On remplace les lettres par les valeurs  
associées à l'aide du tableau précédent, et on  place les couples de nombres obtenus dans   des matrices colonne. &$C_1 = \begin{pmatrix}12\\0\end{pmatrix}$&$C_2 = \begin{pmatrix}19\\7\end{pmatrix}$\\ \hline          
\textbf{3.} On multiplie les matrices colonne par la gauche par la matrice $A = \begin{pmatrix}9&4\\7&3\end{pmatrix}$ &  $AC_1 = \begin{pmatrix} 108\\84\end{pmatrix}$&   $AC_2  = \begin{pmatrix}
199\\ 154\end{pmatrix}$\\ \hline    
\textbf{4.} On remplace chaque coefficient des  
matrices colonne obtenues par leur reste dans
la division euclidienne par 26.&$108 = 4\times 26 + 4$ 

$84= 3 \times 26 + 6$

On obtient :  $\begin{pmatrix} 4\\6\end{pmatrix}$&$\begin{pmatrix} 17\\24\end{pmatrix}$\\ \hline  
\textbf{5.} On utilise le tableau de correspondance   
entre lettres et nombres pour obtenir le mot   
crypté. &\multicolumn{2}{|c|}{EGRY}\\ \hline
\end{tabularx}
\psline{->}(2.5,6.8)(2.1,6.5)\psline{->}(3.9,6.8)(4.8,6.5)
\psline{->}(2.8,1.6)(3.,1.4)\psline{->}(4.5,2.3)(3.4,1.4)
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  En cryptant par cette méthode le mot \og PION \fg, on obtient \og LZWH \fg. En détaillant les étapes pour les lettres \og ES \fg, crypter le mot \og ESPION \fg. 
\item  \textbf{Méthode de décryptage}

\medskip 

\textbf{Notation :} lorsqu'on manipule des matrices de nombres entiers relatifs, on peut utiliser la notation \og $\equiv$ \fg pour parler de congruence coefficient par coefficient. Par exemple, on peut écrire : 

\[\begin{pmatrix}108\\84\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}\: \text{modulo } \\26 \text{ car }\:108 \equiv  4 \text{ modulo } 26 \text{ et }\: 84 \equiv 6 \text{ modulo } 26.\] 

Soient $a$, $b$, $x$, $y$, $x'$ et $y'$ des nombres entiers relatifs. 

On sait que si $x \equiv x'$ modulo $26$ et $y \equiv y'$  modulo $26$ alors : 

$ax + by \equiv ax' + by’$ modulo $26$. 

Ce résultat permet d'écrire que, si $A$ est une matrice $2 \times 2$, et $B$ et $C$ sont deux matrices colonne $2 \times 1$, alors: 

\[B \equiv C \text{ modulo }  26 \text{ implique  } AB \equiv AC \text{ modulo } 26. \]

	\begin{enumerate}
		\item Établir que la matrice $A$ est inversible, et déterminer son inverse. 
		\item Décrypter le mot : XQGY. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}