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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{18 juin 2013}}

\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 
18 juin 2013~\decofourright}}} \end{center}

\vspace{0,25cm}

Dans l'ensemble du sujet, et pour chaque question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, les probabilités\index{probabilité} seront arrondies au centième.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80\,\% de ses boîtes chez le fournisseur A et 20\,\% chez le fournisseur B.

\medskip

10\,\% des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20\,\% de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides.

On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item évènement $A$ : \og la boîte provient du fournisseur A \fg{} ;
\item évènement $B$ : \og la boîte provient du fournisseur B \fg{} ;
\item évènement $S$ : \og la boîte présente des traces de pesticides \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Traduire l'énoncé sous forme d'un arbre pondéré.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité de l'évènement $B \cap \overline{S}$ ? 
		\item Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à $0,88$.
	\end{enumerate} 
\item On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides.

Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le gérant d'un salon de thé achète $10$~boîtes chez le grossiste précédent. On suppose que le stock de ce dernier est suffisamment important pour modéliser cette situation par un tirage aléatoire de $10$~boîtes avec remise.

On considère la variable aléatoire $X$ qui associe à ce prélèvement de $10$~boîtes, le nombre de boîtes sans trace de pesticides.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale\index{loi binomiale} dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que les 10 boîtes soient sans trace de pesticides.
\item Calculer la probabilité qu'au moins $8$~boîtes ne présentent aucune trace de pesticides.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

À des fins publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes: \og 88\,\% de notre thé est garanti sans trace de pesticides \fg.

Un inspecteur de la brigade de répression des fraudes souhaite étudier la validité de l'affirmation. À cette fin, il prélève $50$~boîtes au hasard dans le stock du grossiste et en trouve $12$ avec des traces de pesticides.

\medskip

On suppose que, dans le stock du grossiste, la proportion de boîtes sans trace de pesticides est bien égale à $0,88$.

On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $50$~boîtes, associe la fréquence des boîtes ne contenant aucune trace de pesticides.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F$ au seuil de 95\,\%. 
\item L'inspecteur de la brigade de répression peut-il décider, au seuil de 95\,\%, que la publicité est mensongère ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies pour tout réel $x$ par :

\[f(x) = \text{e}^x \quad  \text{et}\quad  g(x) = 1 - \text{e}^{- x}.\]

Les courbes représentatives de ces fonctions dans un repère orthogonal du plan, notées respectivement $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$, sont fournies en annexe.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Ces courbes semblent admettre deux tangentes communes. Tracer aux mieux ces tangentes sur la figure de l'annexe.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet l'existence de ces tangentes communes.

On note $\mathcal{D}$ l'une d'entre elles. Cette droite est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A d'abscisse $a$ et tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B d'abscisse $b$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer en fonction de $a$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A.
		\item Exprimer en fonction de $b$ le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point B.
		\item En déduire que $b = - a$.
	\end{enumerate}
\item Démontrer que le réel $a$ est solution de l'équation

\[2( x - 1)\text{e}^x + 1 = 0.\]

\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par

\[\varphi(x) = 2(x - 1)\text{e}^x + 1.\]\index{fonction exponentielle}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les limites de la fonction $\varphi$ en $- \infty$ et $+ \infty$.
		\item Calculer la dérivée de la fonction $\varphi$, puis étudier son signe.
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $\varphi$ sur $\R$. Préciser la valeur de $\varphi(0)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet exactement deux solutions dans $\R$.
		\item On note $\alpha$ la solution négative de l'équation $\varphi(x) = 0$ et $\beta$ la solution positive de cette équation.

À l'aide d'une calculatrice, donner les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ arrondies au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

Dans cette partie, on démontre l'existence de ces tangentes communes, que l'on a admise dans la partie B.

On note E le point de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ d'abscisse $\alpha$ et F le point de la courbe $\mathcal{C}_{g}$ d'abscisse $- \alpha$ ($\alpha$ est le nombre réel défini dans la partie C).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la droite (EF) est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point E.
\item Démontrer que (EF) est tangente à $\mathcal{C}_{g}$ au point F.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.\\
Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si chacune d'elles est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.}

\medskip

Dans les questions 1. et 2., le plan est rapporté au repère orthonormé direct \Ouv.\index{complexes} 

On considère les points A, B, C, D et E d'affixes respectives :

\[a = 2 + 2\text{i},\quad  b = - \sqrt{3} + \text{i},\quad c = 1 + \text{i}\sqrt{3},\quad d = - 1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\quad \text{et}\quad e = - 1 + \left(2 + \sqrt{3} \right)\text{i}.\]

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 1} : les points A, B et C sont alignés.
\item \textbf{Affirmation 2} : les points B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E.
\item Dans cette question, l'espace est muni d'un repère \Oijk.

On considère les points I(1~;~0~;~0), J(0~;~1~;~0) et K(0~;~0~;~1).

\textbf{Affirmation 3} : la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique $\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&  \phantom{-}2 - \phantom{2}t\\
y &=& \phantom{-}6 - 2 t\\
z &=&-2 + \phantom{2}t
\end{array}\right.$  où $t \in \R$, coupe le plan  (IJK) au point E$\left(- \dfrac{1}{2}~;~1~;~\dfrac{1}{2} \right)$.\index{equation paramétrique@équation paramétrique}
\item Dans le cube ABCDEFGH, le point T est le milieu du segment [HF].

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,7.4)
\psline(2.1,1)(6.2,1)(5.6,5)(1.5,5)(2.6,6.9)(6.8,6.9)(5.6,5)%ABFEHGF
\psline(6.2,1)(7.4,3)(6.8,6.9)%BCG
\psline(0,5.42)(1.5,5)
\psline(7.4,3)(8.6,2.7)
\psline(2.1,1)(1.5,5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](1.5,5)(7.4,3)%EC
\psline(4.8,7.6)(4.1,6)
\psline(2.1,1)(1.8,0.4)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](4.1,6)(2.1,1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2.1,1)(3.3,3)(7.4,3)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](3.3,3)(2.6,6.9)
\uput[l](2.1,1){A} \uput[dr](6.2,1){B} \uput[ur](7.4,3){C} 
\uput[ur](3.3,3){D} \uput[ul](1.5,5){E} \uput[ul](5.6,5){F} 
\uput[ur](6.8,6.9){G} \uput[ul](2.6,6.9){H} \uput[ul](4.1,6){T} 
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Affirmation 4} : les droites (AT) et (EC) sont orthogonales.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 3u_{n}}{3 + u_{n}}.\]

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 1$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1}- u_{n} = \dfrac{\left(1 - u_{n} \right)\left(1 + u_{n} \right)}{3+ u_{n}}$.
		\item Déterminer le sens de variation de la suite $\left(u_{n}\right)$.

En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ converge. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la suite\index{suite} $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{0} = 2$ et, pour tout entier nature $n$ :

\[u_{n+1} = \dfrac{1 + 0,5u_{n}}{0,5 + u_{n}}.\]

On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c |l|}\hline
Entrée& Soit un entier naturel non nul $n$\\ \hline
Initialisation &Affecter à $u$ la valeur 2\\ \hline
\multirow{4}{1.2cm}{Traitement et sortie }&POUR $i$ allant de 1 à $n$\\
&\hspace{1cm}Affecter \`a $u$ la valeur $\dfrac{1 + 0,5u}{0,5 + u}$\\
&\hspace{1cm}Afficher $u$\\ \hline
&FIN POUR\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $n = 3$. Les valeurs de $u$ seront arrondies au millième.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&1&2& 3\\ \hline 
$u$&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item Pour $n = 12$, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$i$&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ \hline
$u$&\footnotesize\np{1,0083}&\footnotesize\np{0,9973}&\footnotesize\np{1,0009}&\footnotesize\np{0,9997}&\footnotesize\np{1,0001}&\footnotesize \np{0,99997}&\footnotesize\np{1,00001}&\footnotesize \np{0,999996}&\footnotesize \np{1,000001}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Conjecturer le comportement de la suite $\left(u_{n}\right)$ à l'infini. 
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par : $v_{n} = \dfrac{u_{n} - 1}{u_{n} + 1}$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique de raison $- \dfrac{1}{3}$.
		\item Calculer $v_{0}$ puis écrire $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $v_{n} \neq 1$.
		\item montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} = \dfrac{1 + v_{n}}{1 - v_{n}}$.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité}

Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.

Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE$'$F$'$G$'$, appelé image de OEFG.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,6.5)
\pspolygon(3.3,0.8)(7,4.8)(5.4,6.25)(1.75,2.2)
\pspolygon(3.3,0.8)(5.1,2.75)(2.1,5.6)(0.3,3.5)
\uput[dr](5.1,2.8){E} \uput[u](2.1,5.6){F} \uput[ul](0.3,3.5){G} 
\uput[d](3.3,0.8){O} \uput[dr](7,4.8){E$'$} \uput[u](5.4,6.25){F$'$} 
\uput[dl](1.75,2.2){G$'$}
\rput(3,0.12){Figure 1} 
\end{pspicture}
\end{center} 

L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \Oij.

Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2~;~2), $(-1~;~5)$ et $(-3~;~3)$.

La transformation du logiciel associe à tout point $M(x~;~y)$ du plan le point $M'(x'~;~y')$, image du point $M$ tel que:

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x'&=&\dfrac{5}{4}x + \dfrac{3}{4}y\\
y'&=&\dfrac{3}{4}x + \dfrac{5}{4}y
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(3,5.5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=1,Dy=1](0,0)(-3,-1)(3,5.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(3,5)
\pspolygon(0,0)(2,2)(-1,5)(-3,3)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ur](2,2){E} \uput[u](-1,5){F} \uput[l](-3,3){G}
\rput(-1,-1.5){Figure 2}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des points E$'$, F$'$ et G$'$, images des points E, F et G par cette transformation.
		\item Comparer les longueurs OE et OE$'$ d'une part, OG et OG$'$ d'autre part.

Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée $A$, telle que: $\begin{pmatrix}x'\\y' \end{pmatrix}= A \begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme\index{algorithme} suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.

Une erreur a été commise.

Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline 
Entrée &Saisir un entier naturel non nul $N$\\ \hline 
\multirow{2}{2cm}{Initialisation }&Affecter à $x$ la valeur $- 1$\\
&Affecter à $y$ la valeur 5\\ \hline
\multirow{6}{2cm}{Traitement}&POUR $i$ allant de 1 à $N$\\
&Affecter à $a$ la valeur $\frac{5}{4} x + \frac{3}{4}y$\\
&Affecter à $b$ la valeur $\frac{3}{4}x + \frac{5}{4}y$\\
&Affecter à $x$ la valeur $a$\\
&Affecter à $y$ la valeur $b$\\
&FIN POUR\\ \hline
Sortie &Afficher $x$, afficher $y$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item On a obtenu le tableau suivant :

\[\begin{array}{|*{8}{c|}} \hline
i &1 &2 &3 &4 &5 &10 &15\\ \hline
x &2,5 &7,25 &15,625 &\np{31,8125} &\np{63,9063} &\np{2047,9971} &\np{65535,9999}\\ \hline
y &5,5 &8,75 &16,375 &\np{32,1875} &\np{64,0938} &\np{2048,0029} &\np{65536,0001}\\ \hline
\end{array}\]

Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle OEFG. On définit la suite des points $E_{n}\left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ du plan par $E_{0} =$ E et la relation de récurrence :

\[\begin{pmatrix}x_{n+1}\\y_{n+1}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix},\]

où $\left(x_{n+1}~;~y_{n+1}\right)$ désignent les coordonnées du point $E_{n+1}$.

Ainsi $x_{0} = 2$ et $y_{0} = 2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, la matrice\index{matrice} $A^n$ peut s'écrire sous la forme : $A^{n} = \begin{pmatrix}\alpha_{n}&\beta_{n}\\\beta_{n}&\alpha_{n}\end{pmatrix}$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a :

\[\alpha_{n} = 2^{n-1} + \dfrac{1}{2^{n+1}} \quad \text{et}\quad  \beta_{n} = 2^{n-1} - \dfrac{1}{2^{n+1}}.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, le point $E_{n}$ est situé sur la droite d'équation $y = x$.

On pourra utiliser que, pour tout entier naturel $n$, les coordonnées $\left(x_{n}~;~y_{n}\right)$ du point $E_{n}$ vérifient :

\[\begin{pmatrix}x_{n}\\y_{n}\end{pmatrix} = A^n \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}.\]

		\item Démontrer que la longueur O$E_{n}$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.\hyperlink{Index}{*}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center} 
\textbf{Annexe}

\bigskip

\textbf{à rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 2}

\vspace{0,5cm}\bigskip
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture*}(-5.1,-3.5)(5.1,5.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange,arrowsize=2pt 3]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-5}{1.61}{2.71828 x exp}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{5}{1 2.71828 x neg exp sub}
\uput[dr](0,0){O}
\rput(1.5,3.5){\blue $\mathcal{C}_{f}$}
\rput(2.4,1.12){\red $\mathcal{C}_{g}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}