%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm,right=3.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Baccalauréat S}, pdftitle = {Asie - 20 juin 2012}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \thispagestyle{empty} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{20 juin 2012}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 20 juin 2012~\decofourright}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Les cinq questions sont indépendantes. \emph{Pour chaque question, une affirmation est proposée. Indiquer si cette affirmation est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse correcte et justifiée rapporte $1$ point.} \medskip \begin{enumerate} \item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère la droite $\mathcal{D}$ dont on donne une représentation paramétrique, et le plan $\mathcal{P}$ dont on donne une équation cartésienne : \[\mathcal{D} \left\{\begin{array}{l c r} x&=&1 - 2t\\ y&=&t\\ z &=&- 5- 4t \end{array}\right. (t \in \R)\quad \text{et}\quad \mathcal{P} : \quad 3x + 2y -z -5 = 0.\] \medskip \textbf{Affirmation 1} : la droite $\mathcal{D}$ est strictement parallèle au plan $\mathcal{P}$. \item Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk, on considère le point A(1~;~9~;~0) et le plan $\mathcal{P}$ d'équation cartésienne : $4x - y - z + 3 = 0$. \textbf{Affirmation 2} : la distance du point A au plan $\mathcal{P}$ est égale à $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. \item Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par : $f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}$. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan. \textbf{Affirmation 3} : la courbe $\mathcal{C}$ admet deux asymptotes parallèles à l'axe des abscisses. \item Pour tout réel $x$, on pose $F(x) = \displaystyle\int_{1}^x (2 - t)\text{e}^{- t}\:\text{d}t$. \textbf{Affirmation 4} : $F(x)$ est négatif ou nul quelle que soit la valeur du réel $x$ supérieur à 1. \item On considère l'intégrale $I = \displaystyle\int_{1}^{\text{e}} t^2 \ln t\:\text{d}t$. \textbf{Affirmation 5} : la valeur exacte de l'intégrale $I$ est : $\dfrac{2\text{e}^3 + 1}{9}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{\pi}{6}$. On considère le point A, d'affixe $z_{\text{A}} = - \sqrt{3}+ \text{i}$, le point A$_{1}$ d'affixe $z_{\text{A}_{1}} = \overline{z_{\text{A}}}$ où $\overline{z_{\text{A}}}$ désigne le conjugué de $z_{\text{A}}$. On note enfin B image du point A$_{1}$ par la rotation $r$ et $z_{\text{B}}$ l'affixe du point 8. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire le nombre complexe $z_{\text{A}}$ sous forme exponentielle, puis placer les points A et A$_{1}$, dans le repère. On prendra 2~cm comme unité graphique. \item Vérifier que $z_{\text{B}} = 2\text{e}^{- \frac{2\text{i}\pi}{3}}$ sous forme exponentielle, puis écrire le nombre complexe $z_{\text{B}}$ sous forme algébrique. Placer alors le point B dans le même repère. \end{enumerate} \item On considère le vecteur unitaire $\vect{w}$, tel que $\left(\vect{u},~\vect{w}\right) = \dfrac{\pi}{12}$, et la droite $\Delta$ passant par O et de vecteur directeur $\vect{w}$. \begin{enumerate} \item Démontrer que le triangle OAB est rectangle isocèle en O. \item Tracer la droite $\Delta$, puis démontrer que $\Delta$ est la bissectrice de l'angle $\left(\vect{\text{OA}},~ \vect{\text{OB}}\right)$. En déduire que les points A et B sont symétriques par rapport à la droite $\Delta$. \end{enumerate} \item On note B$_{1}$ le symétrique de B par rapport à l'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$ et B$'$ l'image de B$_{1}$ par la rotation $r$. Démontrer que B$'$ = A. \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} \medskip Soit C le point d'affixe $\sqrt{2}(1 + \text{i})$ et D le symétrique de C par rapport à la droite $\Delta$. Construire les points C et D, puis calculer l'affixe du point D. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. \medskip \textbf{Partie A - Détermination d'une similitude directe} \medskip On considère les points A et B d'affixes respectives : \[z_{\text{A}} = -\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\quad \text{et}\quad z_{\text{B}} = - \sqrt{3} + \text{i}.\] \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. \item Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1~cm comme unité graphique. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer l'écriture complexe de la similitude directe $f$ de centre 0 qui transforme le point A en B. \item Préciser les éléments caractéristiques de la similitude $f$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B. Étude d'une transformation} \medskip Le but de cette partie est d'étudier la transformation $g = s \circ f$, où $f$ désigne la similitude définie dans la partie A et $s$ la réflexion d'axe $\left(\text{O}~;~\vect{u}\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item Soit $M$ un point quelconque du plan. On désigne par $M'$ l'image du point $M$ par la transformation $g$. On note $z$ et $z'$ les affixes respectives des points $M$ et $M'$, et $\overline{z}$ celle du conjugué de $z$. \begin{enumerate} \item Démontrer l'égalité : $z'= 2 \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}\overline{z}$. \item On pose C = $g$(A) et D = $g$(C). Calculer les affixes respectives des points C et D, puis placer les points C et D sur la figure. \item Quelle est la nature du triangle OAC ? \item Démontrer que les vecteurs $\vect{\text{OA}}$ et $\vect{\text{OD}}$ sont colinéaires. \end{enumerate} \item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même non aboutie, sera prise en compte dans l'évaluation.} Déterminer la nature de la transformation $g \circ g$ et préciser ses éléments géométriques. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Soit $k$ un entier naturel supérieur ou égal à 2. Une urne contient $k$ boules noires et 3 boules blanches. Ces $k + 3$ boules sont indiscernables au toucher. Une partie consiste à prélever au hasard successivement et avec remise deux boules dans cette urne. On établit la règle de jeu suivante : \setlength\parindent{6mm} \begin{itemize} \item un joueur perd 9 euros si les deux boules tirées sont de couleur blanche ; \item un joueur perd 1 euro si les deux boules tirées sont de couleur noire ; \item un joueur gagne 5 euros si les deux boules tirées sont de couleurs différentes ; on dit dans ce cas là qu'il gagne la partie. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \textbf{Partie A} \medskip Dans la partie A, on pose $k = 7$. Ainsi l'urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires indiscernables au toucher. \medskip \begin{enumerate} \item Un joueur joue une partie. On note $p$ la probabilité que le joueur gagne la partie, c'est-à-dire la probabilité qu'il ail tiré deux boules de couleurs différentes. Démontrer que $p = 0,42$. \item Soit $n$ un entier tel que $n > 2$. Un joueur joue $n$ parties identiques et indépendantes. On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise nombre de parties gagnées par le joueur, et $p_{n}$ la probabilité que le joueur gagne au moins une fois au cours des $n$ parties. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi la variable $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. \item Exprimer $p_{n}$ en fonction de $n$, puis calculer $p_{10}$ en arrondissant au millième. \item Déterminer le nombre minimal de parties que le joueur doit jouer afin que la probabilité de gagner au moins une fois soit supérieure à 99\,\%. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Dans la partie B, le nombre $k$ est un entier naturel supérieur ou égal à 2. Un joueur joue une partie. On note $Y_{k}$ la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier l'égalité : $p\left(Y_{k} = 5\right) = \dfrac{6k}{(k + 3)^2}$. \item Écrire la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y_{k}$ \end{enumerate} \item On note E$\left(Y_{k}\right)$ l'espérance mathématique de la variable aléatoire $Y_{k}$. On dit que le jeu est favorable au joueur lorsque l'espérance E$\left(Y_{k}\right)$ est strictement positive. Déterminer les valeurs de $k$ pour lesquelles ce jeu est favorable au joueur. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \begin{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|p{8cm}|}\hline &Saisir un réel strictement positif non nul $a$\\ \textbf{Entrée}& Saisir un réel strictement positif non nul $b\: (b > a)$\\ &Saisir un entier naturel non nul $N$\\ \hline &Affecter à $u$ la valeur $a$\\ \textbf{Initialisation}& Affecter à $v$ la valeur $b$\\ &Affecter à $n$ la valeur $0$\\\hline &TANT QUE $n < N$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $u$ la valeur $\dfrac{a + b}{2}$\\ \textbf{Traitement}&\hspace{1cm} Affecter à $v$ la valeur $\sqrt{\dfrac{a^2 + b^2}{2}}$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $a$ la valeur $u$\\ &\hspace{1cm}Affecter à $b$ la valeur $v$\\ \hline \textbf{Sortie}& Afficher $u$, afficher $v$\\ \hline \end{tabularx} \medskip Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pour $a = 4,\: b = 9$ et $N = 2$. Les valeurs successives de $u$ et $v$ seront arrondies au millième. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $n$& $a$&$b$ &$u$&$v$\\ \hline 0 &4 &9&&\\ \hline 1&&&&\\ \hline 2&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip Dans la suite, $a$ et $b$ sont deux réels tels que $0 < a < b$. On considère les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ définies par : $u_{~0} = a, v_{0} = b$ et, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = \dfrac{u_{n}+ v_{n}}{2}\quad \text{et}\quad v_{n+1} = \sqrt{\dfrac{u_{n}^2 + v_{n}^2}{2}}\] \item \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} > 0$ et $v_{n} > 0$. \item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : \[v^2_{n+1} - u^2_{n+1} = \left(\dfrac{u_{n} - v_{n}}{2}\right)^2.\] En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n} \leqslant v_{n}$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante. \item Comparer $v^2_{n+1}$ et $v^2_{n}$. En déduire le sens de variation de la suite $\left(v_{n}\right)$. \end{enumerate} \item Démontrer que les suites $\left(u_{n}\right)$ et $\left(v_{n}\right)$ sont convergentes. \end{enumerate} \end{document}