%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{18 juin 2008}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 18 juin 2008~\decofourright}} \end{center} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{A -Vrai ou faux ?} \emph{Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d'une proposition fausse la démonstration consistera à proposer un contre-exemple ; une figure pourra constituer ce contre-exempte.} \medskip \emph{Rappel des notations : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2}$ désigne l'ensemble des points communs aux plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$. \item[$\bullet~$] L'écriture $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} = \emptyset$ signifie que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ n'ont aucun point commun. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm}} \medskip \begin{enumerate} \item Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{3}$ vérifient : $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset.$ \item Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} = \emptyset\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3} $ sont tels que : $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2}= \emptyset$ et $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3}= \emptyset$. \item Si $\mathcal{P}_{1},~\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3}$ sont trois plans distincts de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{3} = \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{2}$ et $\mathcal{P}_{3}$ vérifient : $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3} \neq \emptyset.$ \item Si $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont deux plans distincts et $\mathcal{D}$ une droite de l'espace vérifiant : \[\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset~~\text{et}~~ \mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} = \emptyset,\] alors on peut conclure que $\mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{D} \neq \emptyset$ \end{enumerate} \medskip \textbf{B - Intersection de trois plans donnés} \medskip Dans un repère orthonormal de l'espace on considère les trois plans suivants : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{1}$ d'équation $x + y -z = 0$ \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{2}$ d'équation $2x + y + z - 3 = 0$, \item[$\bullet~$] $\mathcal{P}_{3}$ d'équation $x + 2y - 4z + 3 = 0$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants puis déterminer une représentation paramétrique de leur droite d'intersection, notée $\Delta$. \item En déduire la nature de l'intersection $\mathcal{P}_{1} \cap \mathcal{P}_{2} \cap \mathcal{P}_{3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} \medskip On considère plusieurs sacs de billes S$_{1}$, S$_{2}$, \ldots , S$_{n}$, \ldots tels que : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item le premier, S$_{1}$, contient 3 billes jaunes et 2 vertes; \item chacun des suivants, S$_{2}$,~ S$_{3}$, \ldots , S$_{n}$, \ldots contient 2 billes jaunes et 2 vertes. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier l'évolution des tirages successifs d'une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item on tire au hasard une bille dans S$_{1}$ ; \item on place la bille tirée de S$_{1}$ dans S$_{2}$, puis on tire au hasard une bille dans S$_{2}$ ; \item on place la bille tirée de S$_{2}$ dans S$_{3}$, puis on tire au hasard une bille dans S$_{3}$; \item etc. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \medskip Pour tout entier $n \geqslant 1$, on note $E_{n}$ l'évènement : \og la bille tirée dans S$_{n}$ est verte \fg{} et on note $p\left(E_{n}\right)$ sa probabilité. \medskip \begin{enumerate} \item Mise en évidence d'une relation de récurrence \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé, donner les valeurs de $p\left(E_{1}\right),~ p_{E_{1}}\left(E_{2}\right),~ p_{\overline{E_{1}}}\left(E_{2}\right)$. En déduire la valeur de $p\left(E_{2}\right)$. \item À l'aide d'un arbre pondéré, exprimer $p\left(E_{n+1}\right)$ en fonction de $p\left(E_{n}\right)$. \end{enumerate} \item Étude d'une suite On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : \renewcommand{\arraystretch}{2} $\left\{\begin{array}{l c l} u_{1}&=&\phantom{\dfrac{1}{5}u_{n} + }\dfrac{2}{5}\\ u_{n+1}&=&\dfrac{1}{5}u_{n} + \dfrac{2}{5}~~\text{pour tout }~n \geqslant 1.\\ \end{array}\right.$ \begin{enumerate} \item Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée par $\dfrac{1}{2}$. \item Démontrer que $\left(u_{n}\right)$ est croissante. \item Justifier que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et préciser sa limite. \end{enumerate} \item Évolution des probabilités $p\left(E_{n}\right)$ \begin{enumerate} \item À l'aide des résultats précédents, déterminer l'évolution des probabilités $p\left(E_{n}\right)$. \item Pour quelles valeurs de l'entier $n$ a-t-on : $\np{0,49999} \leqslant p\left(E_{n}\right) \leqslant 0,5$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} \medskip Soit $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls ; on appelle \og réseau \fg{} associé aux entiers $a$ et $b$ l'ensemble des points du plan, muni d'un repère orthonormal, dont les coordonnées $(x~;~y)$ sont des entiers vérifiant les conditions : $0 \leqslant x\leqslant a$ et $0 \leqslant y \leqslant b$. On note $R_{a,~b}$ ce réseau. Le but de l'exercice est de relier certaines propriétés arithmétiques des entiers $x$ et $y$ à des propriétés géométriques des points correspondants du réseau. \medskip \textbf{A - Représentation graphique de quelques ensembles} \medskip Dans cette question, les réponses sont attendues sans explication, sous la forme d'un graphique qui sera dûment complété sur la feuille annexe \no 1 à rendre avec la copie. Représenter graphiquement les points $M(x~;~y)$ du réseau $R_{8,8}$ vérifiant : \medskip \begin{enumerate} \item $x \equiv 2\quad (\text{modulo}~ 3)$ et $ y \equiv 1 \quad (\text{modulo}~ 3)$, sur le graphique 1 de la feuille annexe \item $x+y \equiv 1\quad$ (modulo 3), sur le graphique 2 de la feuille annexe ; \item $x \equiv y \quad$ (modulo 3), sur le graphique 3 de la feuille annexe. \end{enumerate} \medskip \textbf{B - Résolution d'une équation} \medskip On considère l'équation (E) : $7x - 4y =1$, où les inconnues $x$ et $y$ sont des entiers relatifs. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer un couple d'entiers relatifs $\left(x_{0}~;~y_{0}\right)$ solution de l'équation (E). \item Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E). \item Démontrer que l'équation (E) admet une unique solution $(x~;~y)$ pour laquelle le point $M(x~;~y)$ correspondant appartient au réseau $R_{4, 7}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{C - Une propriété des points situés sur la diagonale du réseau.} \medskip Si $a$ et $b$ sont deux entiers naturels non nuls, on considère la diagonale [O$A$] du réseau $R_{a,~b}$, avec O(0~;~0) et $A(a~;~b)$. \medskip \begin{enumerate} \item Démontrer que les points du segment [O$A$] sont caractérisés par les conditions : \[0 \leqslant x \leqslant a~;~0 \leqslant y \leqslant b~;~ay = bx.\] \item Démontrer que si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors les points O et $A$ sont les seuls points du segment [O$A$] appartenant au réseau $R_{a,~b}$. \item Démontrer que si $a$ et $b$ ne sont pas premiers entre eux, alors le segment [O$A$] contient au moins un autre point du réseau. (On pourra considérer le pgcd $d$ des nombres $a$ et $b$ et poser $a = da'$ et $b = db'$.) \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour le dessin : $\left\|\vect{u}\right\| = 4$~cm. $M$ est un point d'affixe $z$ non nul. On désigne par $M'$ le point d'affixe $z'$ telle que \[z'= -\dfrac{1}{\overline{z}}.\] où $\overline{z}$ désigne le conjugué du nombre complexe $z$. \medskip \textbf{A - Quelques propriétés} \medskip \begin{enumerate} \item Soit $z$ un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de $z$ et $z'$ puis une relation entre les arguments de $z$ et $z'$. \item Démontrer que les points O, $M$ et $M'$ sont alignés. \item Démontrer que pour tout nombre complexe $z$ non nul on a l'égalité : $\overline{z' + 1} =\dfrac{1}{z}(z - 1)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{B - Construction de l'image d'un point} \medskip On désigne par A et B les deux points d'affixes respectives 1 et $-1$. On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des points $M$ du plan dont l'affixe $z$ vérifie : $|z - 1| = 1$. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de l'ensemble $\mathcal{C}$ ? \item Soit $M$ un point de $\mathcal{C}$ d'affixe $z$, distinct du point O. \begin{enumerate} \item Démontrer que $\left|z '+ 1\right| = \left|z'\right|$. Interpréter géométriquement cette égalité. \item Est-il vrai que si $z'$ vérifie l'égalité : $\left|z '+ 1\right| = \left|z'\right|$, alors $z$ vérifie l'égalité : $|z - 1| = 1$ ? \end{enumerate} \item Tracer l'ensemble $\mathcal{C}$ sur une figure. Si $M$ est un point de $\mathcal{C}$, décrire et réaliser la construction du point $M'$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip \textbf{A - Restitution organisée de connaissances} \medskip On suppose connu le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = +\infty$. Démontrer que : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x\text{e}^{-x} = 0.$ \medskip \textbf{B - Étude d'une fonction} \medskip On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : \[ f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}.\] On note $(\mathcal{C})$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé \Oij{} du plan. On prendra $4$~cm pour unité graphique. \medskip \begin{enumerate} \item \emph{Cette question demande le développement d'une certaine démarche comportant plusieurs étapes. La clarté du plan d'étude, la rigueur des raisonnements ainsi que la qualité de la rédaction seront prises en compte dans la notation.} \medskip Étudier les variations de la fonction $f$ et les limites aux bornes de son ensemble de définition. Résumer ces éléments dans un tableau de variations le plus complet possible. \item Tracer la courbe $(\mathcal{C})$. On fera apparaître les résultats obtenus précédemment. \end{enumerate} \medskip \textbf{C - Étude d'une famille de fonctions} \medskip Pour tout entier relatif $k$, on note $f_{k}$ la fonction définie sur $\R$ par : \[f_{k}(x) = (x +1)\text{e}^{kx}.\] On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe représentative de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormal du plan. On remarque que le cas $k = -1$ a été traité dans la partie B, car on a $f_{-1} =f$ et $\mathcal{C}_{-1} = \mathcal{C}$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ? \item Déterminer les points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_{0}$ et $\mathcal{C}_{1}$. Vérifier que, pour tout entier $k$, ces points appartiennent à la courbe $\mathcal{C}_{k}$. \end{enumerate} \item Étudier, suivant les valeurs du réel $x$, le signe de l'expression : $(x + 1)\left(\text{e}^x - 1\right)$. En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives des courbes $\mathcal{C}_{k}$ et $\mathcal{C}_{k+1}$. \item Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout réel $x$ et pour tout entier $k$ non nul. En déduire le sens de variation de la fonction $f_{k}$ suivant les valeurs de $k$. (On distinguera les cas : $k>0$ et $ k< 0$.) \item Le graphique suivant représente quatre courbes $\mathcal{E},~ \mathcal{F},~\mathcal{H},~$ et $\mathcal{K}$, correspondant à quatre valeurs différentes du paramètre $k$, parmi les entiers $-1,\:-3,\:1$ et $2$. Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \psset{unit=1.75cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(-3,-3)(4,4) \psaxes[linewidth=1pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-3,-3)(4,3) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1) \psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul} \psplot[linecolor=green,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-3}{0.28}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul} \psplot[linecolor=red,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.61}{4}{x 1 add 2.71828 x exp div } \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.25}{4}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div} \uput[l](-1.4,-1.6){\red $\mathcal{E}$}\uput[u](3,0.2){\red $\mathcal{E}$} \uput[r](-1.2,-2){$\mathcal{F}$}\uput[u](2,0.1){$\mathcal{F}$} \uput[r](0.5,2.5){\blue $\mathcal{H}$}\uput[d](-2,-0.15){\blue $\mathcal{H}$} \uput[l](0.3,2.9){\green $\mathcal{K}$}\uput[u](-2,0){\green $\mathcal{K}$} \uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \end{pspicture} \end{center} \medskip \textbf{D - Calcul d'une aire plane} Soit $\lambda$ un réel strictement positif. La fonction $f$ est celle définie dans la partie B. \begin{enumerate} \item À l'aide d'une intégration par parties, calculer ce nombre : $\mathcal{A}(\lambda) = \displaystyle\int_{0}^{\lambda} f(t)\:\text{d}t$. \item Déterminer $\displaystyle\lim_{\lambda \to + \infty} \mathcal{A}(\lambda)$. Interpréter graphiquement le résultat. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Annexe 1 - exercice 3 (spécialité mathématique) - À rendre avec la copie} \vspace{0.5cm} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(10,9) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.9,-0.9)(10,9) \multido{\d=0+1}{9}{ \multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}} \rput(5,-1.5){Graphique 1} \end{pspicture} \vspace{0.5cm} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(10,9) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.9,-0.9)(10,9) \multido{\d=0+1}{9}{ \multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}} \rput(5,-1.5){Graphique 2} \end{pspicture} \vspace{0.5cm} \psset{unit=0.6cm} \begin{pspicture}(-1,-1)(10,9) \psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.9,-0.9)(10,9) \multido{\d=0+1}{9}{ \multido{\n=0+1}{9}{\qdisk(\n,\d){1.2pt}}} \rput(5,-1.5){Graphique 3} \end{pspicture} \end{center} \end{document}