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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat S juin 2004}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small juin 2004}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie 
juin 2004}~\decofourright}}
\\[7pt]
$\bullet~$ \textbf{L'utilisation d'une calculatrice n'est pas 
autorisée}

\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

À chacune des trois affirmations suivantes, répondre par \og VRAI \fg{} ou par \og~FAUX~\fg.

Aucune justification n'est demandée.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5.9cm}| p{5.9cm}| X|}\hline
Données & Affirmations & Réponses\\ \hline
$f$ est la fonction définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par : $f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^x}$,~ $\mathcal{C}$ est la courbe représentative de $f$ dans un repère du plan. & La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0 est parallèle à la droite d'équation $y = - \dfrac{1}{4}x$. & \\ \hline
G est le barycentre du système de points
pondérés $\{(\text{A}~;~-1),~ (\text{B}~;~1),~ (\text{C}~;~4)\}$ &
L'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ associe
le point $M'$ tel que $\vect{MM'} = -\vect{M\text{A}} +
 \vect{M\text{B}} + 4\vect{M\text{C}}$, est une
homothétie de rapport $-3$. & \\ \hline
$f(x) = x \sin 3x$ & Les solutions de l'équation

$f(x) = \dfrac{1}{2}x$ sont :
$0~;~\dfrac{\pi}{18} +2k\dfrac{\pi}{3}$ ou $\dfrac{5\pi}{18} 
+ 2k'\dfrac{\pi}{3}$,~ $k$ et $k'$ sont des entiers relatifs.& \\ \hline
\end{tabularx} \end{center}

Le barème est le suivant :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] Réponse exacte : 1 point.
\item[$\bullet~$] Réponse fausse : $- 0,5$ point.
\item[$\bullet~$] Absence de réponse : 0 point.
\item[$\bullet~$] La note attribuée à l'exercice ne peut être négative.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapporté au repère orthonormal direct 
$\left(\text{O}~;~\vect{\text{e}_1},~\vect{\text{e}_2}\right)$,~
unité graphique 1 cm.

Soit A le point d'affixe 3i. On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, distinct de $A$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :

\[z' = \dfrac{3\text{i}z - 7}{z - 3\text{i}}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recherche des points invariants par $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Développer $(z - 7\text{i}) (z + \text{i})$.
		\item Montrer que $f$ admet deux points invariants B et C dont on précisera les affixes et qu'on placera sur un dessin.
	\end{enumerate}
\item On appelle $\Sigma$ le cercle de diamètre [BC]. Soit $M$ un
 point quelconque de $\Sigma$, distinct de B et de C, soit $M'$ son image par $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'affixe $z$ de $M$ vérifie : $z = 3\text{i} + 4 
\text{e}^{\text{i}\theta}$ où $\theta$ est un nombre réel.
		\item Exprimer l'affixe $z'$ de $M'$ en fonction de $\theta$ et en déduire que  $M'$ appartient aussi à $\Sigma$.
		\item Démontrer que $z' = - \overline{z}$ et en déduire, en la justifiant, une construction géométrique de $M'$.
	\end{enumerate}
\item On considère un cercle de centre A, de rayon $r > 0$.
 Déterminer l'image de ce cercle par $f$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On appelle (E) l'ensemble des entiers naturels qui peuvent s'écrire sous 
la forme $9 + a^2$ où $a$ est un entier naturel non nul ; par exemple $10 = 9 +  1^2~;~ 13 = 9 + 2^2$ etc.

On se propose dans cet exercice d'étudier l'existence d'éléments de (E) 
qui sont des puissances de 2, 3 ou 5.

\begin{enumerate}
\item Étude de l'équation d'inconnue $a \quad :\quad a^2 + 9 = 2^n$ où $a 
\in \N,~n \in \N,~n \geqslant 4$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $a$ existe, $a$ est impair.
		\item En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.
	\end{enumerate}
\item Étude de l'équation d'inconnue $a\quad :\quad a^2+9 = 3^n$ où $a \in 
\N,~n \in \N,~n \geqslant 3$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que si $n \geqslant 3,~ 3^n$ est congru à 1 ou à 3 
modulo 4.
		\item Montrer que si $a$ existe, il est pair et en déduire
 que nécessairement $n$ est pair.
		\item On pose $n = 2p$ où $p$ est un entier naturel, $p \geqslant 2$. Déduire d'une factorisation de $3^n - a^2$, que l'équation proposée n'a pas de solution.
	\end{enumerate}
\item Étude de l'équation d'inconnue $a\quad :\quad  a^2 + 9 = 5^n$ où $a \in \N,~n \in \N,~n \geqslant 2$.
	\begin{enumerate}
		\item En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation n'a pas de 
solution si $n$ est impair.
		\item On pose $n = 2p$, en s'inspirant de \textbf{2 c} démontrer qu'il existe un unique entier naturel $a$ tel que $a^2 + 9$ soit une puissance entière de 5.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

L'espace $\mathcal{E}$ est rapporté au repère orthonormal \Oijk.

On appelle $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x - y + 5 = 0$ et 
$\mathcal{Q}$ le plan d'équation $3x + y - z = 0$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ sont sécants en une droite  $\mathcal{D}$ dont une représentation paramétrique est :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x& = & \phantom{2}\alpha\\
y&= &2\alpha+5\\
z&= &5\alpha + 5\\
\end{array}\right. \quad \text{où}~\alpha~\text{est un nombre réel.}\]

\item Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier 
précisément vos réponses :

$\bullet~$ Affirmation 1 : $\mathcal{D}$ est parallèle au plan $\mathcal{R}$ d'équation : 
$- 5x + 5y - z = 0$.

Soit $\mathcal{D}'$ la droite de l'espace de représentation paramétrique :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&-3\beta\\
y&=&1+ \beta\\
z&=&2 +2\beta\\
\end{array}\right. \quad \text{où}~\beta~\text{est un nombre réel.}\]

$\bullet~$ Affirmation 2 : $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{I : Première partie étude d'une fonction}~\boldmath $f$ 
\unboldmath

\medskip

On appelle $f$ la fonction définie sur l'intervalle I = $\left] - 
\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ par

\[f(x) = \ln (1 + 2x).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $f$ est strictement croissante sur l'intervalle I.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\dfrac{1}{2}$.
\item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle I par $g(x) = 
f(x) - x$.
	\begin{enumerate}
		\item étudier les variations de $g$ sur l'intervalle I.
		\item Justifier que l'équation $g(x) = 0$ admet deux solutions : 0 et une autre, notée $\beta$, appartenant à l'intervalle [1~;~2].
		\item En déduire le signe de $g(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle I.
	\end{enumerate}

\item Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0~;~\beta[,~f(x)$ appartient aussi à $]0~;~\beta[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{II : Deuxième partie étude d'une suite récurrente}

\medskip

On appelle $\left(u_n\right)_{\geqslant 0}$ la suite définie par 
$u_{n+1} = f(u_n)$ et $u_0 = 1$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n,~ u_n$ appartient à $]0~;~\beta[$.
\item Démontrer par récurrence que la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}$ est croissante.
\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)_{n\geqslant 0}$ est convergente.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{III : Troisième partie Recherche de la limite de la 
suite}~\boldmath $\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $x \geqslant 1,~f'(x) \leqslant \dfrac{2}{3}$.
\item Recherche de la limite de la suite $\left(u_n\right)_{\geqslant 0}$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout entier naturel 
$n,~\displaystyle\int_{u_n}^{\beta} f'(t)\:\text{d}t \leqslant 
\dfrac{2}{3}\left(\beta - u_n\right)$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n, ~\beta - u_{n+1} \leqslant \dfrac{2}{3}\left(\beta - u_n\right)$, puis à  l'aide d'un raisonnement par récurrence que $0 \leqslant \beta - u_n \leqslant \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n \geqslant 0}$ ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}