%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \usepackage{diagbox} \usepackage{lscape} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \usepackage[dvips]{color} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \thispagestyle{empty} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat S} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small juin 2005} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie juin 2005~\decofourright }}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \Oijk. On appelle $\mathcal{D}$ la droite d'équations paramétriques : $\left\{\begin{array}{l c r} x &= &1+2t\\ y &= &2- t\\ z &= &-3-t \\ \end{array}\right.$ et $\mathcal{P}$ le plan d'équation cartésienne $x+2y - 3z - 1 = 0$. \emph{Dans chacune des lignes du tableau ci-dessous, une seule affirmation est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la ligne et la lettre correspondant à l'affirmation choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point ; une réponse inexacte enlève $0,25$ point ; l'absence de réponse est comptée $0$ point. Si le total est négatif, la note est ramenée à} $0$. \vspace{0,4cm} {\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Numéro & & & \\ de la& Affirmation A& Affirmation B& Affirmation C\\ ligne& & & \\ \hline \textbf{1.}&Le point M de coordonnées $(-1~;~ 3~;~2)$ appartient à $\mathcal{D}$& Le point N de coordonnées $(2~;~-1~;~-1)$ appartient à $\mathcal{D}$& Le point R de coordonnées $(3~;~1~;~- 4)$ appartient à $\mathcal{D}$\\\hline \textbf{2.}&Le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées $(1~;~2~;~-3)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$& Le vecteur $\vect{v}$ de coordonnées $(-2~;~1~;~1)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$& Le vecteur $\vect{w}$ de coordonnées $(3~;~1~;~-4)$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$\\ \hline \textbf{3.} & $\mathcal{D}$ est incluse dans $\mathcal{P}$& $\mathcal{D}$ est strictement parallèle à $\mathcal{P}$&$\mathcal{D}$ est sécante à $\mathcal{P}$\\\hline \textbf{4.} &Le point G de coordonnées $(1~;~3~;~-2)$ appartient à $\mathcal{P}$& Le point G de coordonnées (1~;~3~;~2) appartient à $\mathcal{P}$& Le point G de coordonnées $(1~;~3~;~- 1)$ appartient à $\mathcal{P}$\\\hline \textbf{5.} &Le plan Q$_{1}$ d'équation cartésienne $x+2y-3z+1=0$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$& Le plan Q$_{2}$ d'équation cartésienne $4x - 5y -2z + 3 = 0$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$& Le plan Q$_{3}$ d'équation cartésienne $-3x + 2y - z - 1 = 0$ est perpendiculaire à $\mathcal{P}$\\ \hline \textbf{6.}&La distance du point T de coordonnées $(-1~;~-3~;~2)$ au plan $\mathcal{P}$ est : $\sqrt{14}$& La distance du point T de coordonnées $(- 1~;~- 3~;~2)$ au plan $\mathcal{P}$ est : 14& La distance du point T de coordonnées $(-1~;~-3~;~2)$ est : $2\sqrt{3}$\\ \hline \end{tabularx}} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip Une association organise une loterie pour laquelle une participation $m$ exprimée en euros est demandée. Un joueur doit tirer simultanément au hasard, deux boules dans une urne contenant 2~boules vertes et 3~boules jaunes. Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu. Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation $m$. Si le joueur obtient 2~boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item[$\bullet~$] sur $\dfrac{1}{8}$ de la roue le gain est de 100~\euro, \item[$\bullet~$] sur $\dfrac{1}{4}$ de la roue le gain est de 20~\euro, \item[$\bullet~$] sur le reste le joueur est remboursé de sa participation $m$. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} On appelle $V$ l'évènement \og le joueur a obtenu 2 boules vertes \fg. On appelle $J$ l'évènement \og le joueur a obtenu 2 boules jaunes \fg. On appelle $R$ l'évènement \og le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Quelques calculs. \begin{enumerate} \item Calculer les probabilités $P(V)$ et $P$(J) des évènements respectifs $V$ et $J$. \item On note $P_{V}(R)$ la probabilité pour le joueur d'être remboursé sachant qu'il a obtenu deux boules vertes. Déterminer $P_{V}(R)$ puis $P(R \cap V)$. \item Calculer $P(R)$. \item Calculer la probabilité de gagner les 100~\euro, puis la probabilité de gagner les 20~\euro~ de la roue. \end{enumerate} \item On appelle $X$ la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur c'est- à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale $m$. \begin{enumerate} \item Donner les valeurs prises par la variable aléatoire $X$. \item Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ et vérifier que $p(X= - m)$ est 0,6. \item Démontrer que l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est E$(X) = \dfrac{140 - 51m}{80}$. \item L'organisateur veut fixer la participation $m$ à une valeur entière en euro. Quelle valeur minimale faut-il donner à $m$ pour que l'organisateur puisse espérer ne pas perdre d'argent ? \end{enumerate} \item Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats obtenus. Calculer la probabilité qu'il perde au moins une fois sa mise. \item On voudrait qu'un joueur ait plus d'une chance sur deux d'être remboursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois. On note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l'urne mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle $n$ le nombre de boules jaunes, on suppose $n \geqslant 1$. Calculer la valeur minimale de $n$ pour que la condition précédente soit vérifiée. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique 1~cm). On considère dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation (E) d'inconnue $z$ suivante : \[z^3 + (-8 + \text{i})z^2 + (17 - 8\text{i})z + 17\text{i} = 0.\] \textbf{I.} Résolution de l'équation (E). \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $- \text{i}$ est solution de (E). \item Déterminer les nombres réels $a,~ b,~ c$ tels que : \[z^3 + (- 8 + \text{i})z^2 + (17 - 8\text{i})z + 17\text{i} = (z+\text{i})\left(az^2 + bz + c\right).\] \item Résoudre l'équation (E) dans l'ensemble des nombres complexes. \end{enumerate} \textbf{II.} On appelle A, B et C les points d'affixes respectives $4 +\text{i},\:4 - \text{i},\: - \text{i}$. \medskip \begin{enumerate} \item Placer les points sur une figure que l'on complétera dans la suite de l'exercice. \item Le point $\Omega$ est le point d'affixe 2. On appelle S l'image de A par la rotation de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. Calculer l'affixe de S. \item Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle $\mathcal{C}$ dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer $\mathcal{C}$. \item À tout point $M$ d'affixe $z \neq 2$, on associe le point $M'$ d'affixe $z'=\dfrac{\text{i}z+10 - 2\text{i}}{z - 2}$. \begin{enumerate} \item Déterminer les affixes des points $A',~B',~C'$ associés respectivement aux points A, B et C. \item Vérifier que $A',\:B',\:C'$ appartiennent à un cercle $\mathcal{C}'$ de centre P, d'affixe i. Déterminer son rayon et tracer $\mathcal{C}'$. \item Pour tout nombre complexe $z \neq 2$, exprimer $|z' - \text{i}|$ en fonction de $z$. \item Soit $M$ un point d'affixe $z$ appartenant au cercle $\mathcal{C}$. Démontrer que $\left|z' - \text{i}\right| = 2\sqrt{5}$. \item En déduire à quel ensemble appartiennent les points $M'$ associés aux points $M$ du cercle $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} \textbf{Réservé aux candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité} \medskip Le but de cet exercice est d'étudier les similitudes directes qui transforment l'ensemble $S_{1}$ des sommets d'un carré $\mathcal{C}_{1}$ donné en l'ensemble $S_{2}$ des sommets d'un carré $\mathcal{C}_{2}$ donné. Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal direct $\mathcal{R} = $ \Ouv, unité graphique 2 cm. On considère les points A, B, C, D, E, F, G, H d'affixes respectives \[- \dfrac{\text{i}}{2},\quad 1 - \dfrac{\text{i}}{2},\quad 1 + \dfrac{\text{i}}{2},\quad \dfrac{\text{i}}{2},\quad 1 - \text{i},\quad 3 - \text{i},\quad 3 + \text{i},\quad 1 + \text{i}.\] $\mathcal{C}_{1}$ est le carré de sommets A, B, C, D et de centre O$_{1}$,~$\mathcal{C}_{2}$ est le carré de sommet E, F G, H de centre O$_{2}$. $S_{1}$ est donc l'ensemble \{A, B, C, D\} et $S_{2}$ l'ensemble \{E, F, G, H\}. \medskip \begin{enumerate} \item Placer tous les points dans le repère $\mathcal{R}$, construire les carrés $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. \item Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega$ d'affixe $- 1$ et de rapport 2. Donner l'écriture complexe de $h$ et prouver que $h$ transforme $S_{1}$ en $S_{2}$. \item Soit $s$ une similitude directe qui transforme $S_{1}$ en $S_{2}$ et soit $g$ la transformation ~$g = h^{-1} \circ s$. \begin{enumerate} \item Quel est le rapport de la similitude $s$ ? \item Prouver que $g$ est une isométrie qui laisse $S_{1}$ globalement invariant. \item Démontrer que $g(\text{O}_{1}) = \text{O}_{1}$. \item En déduire que $g$ est l'une des transformations suivantes : l'identité, la rotation $r_{1}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$, la rotation $r_{2}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $\pi$, la rotation $r_{3}$ de centre O$_{1}$ et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. \item En déduire les quatre similitudes directes qui transforment $S_{1}$ en $S_{2}$. \end{enumerate} \item Étude des centres de ces similitudes. \begin{enumerate} \item Déterminer les écritures complexes de $h \circ r_{1},~ h \circ r_{2},~h \circ r_{3}$. \item En déduire les centres $\Omega_{1},~\Omega_{2},~\Omega_{3}$ de ces similitudes et les placer sur le dessin. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points} \textbf{Commun à tous les candidats} \medskip On s'intéresse dans cet exercice à une suite de nombres rationnels qui converge vers~$\text{e}^2$. On définit, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, l'intégrale \[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^2 \dfrac{1}{n!}(2 - x)^n\text{e}^x\,\text{d}x.\] \begin{enumerate} \item Calculer I$_{1}$. \item Établir que pour tout entier naturel $n \geqslant 1,~0 \leqslant I_{n} \leqslant \dfrac{2^n}{n!}\left(\text{e}^2 - 1\right).$ \item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1,~I_{n+1} = I_{n} - \dfrac{2^{n+1}}{(n + 1)!}$. \item Démontrer par récurrence que $\text{e}^2 = 1 + \dfrac{2}{1!} + \dfrac{2^2}{2!} +\cdots + \dfrac{2^n}{n!} + I_{n}$. \item On pose, pour tout entier naturel $n\geqslant 1,~ u_{n} = \dfrac{2^n}{n!}$. \begin{enumerate} \item Calculer $\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}$ et prouver que pour tout entier naturel $n \geqslant 3,~u_{n+1} \leqslant \dfrac{1}{2}u_{n}$. \item En déduire que pour tout entier naturel $n \geqslant 3,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{3}\left(\dfrac{ 1}{2}\right)^{n-3}.$ \end{enumerate} \item En déduire la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$ puis celle de la suite $\left(I_{n}\right)$. \item Justifier enfin que : \[\text{e}^2 = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(1 + \dfrac{2}{1!} + \dfrac{2^2}{2!} +\cdots + \dfrac{2^n}{n!}\right).\] \end{enumerate} \end{document}