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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat S Asie  juin 2001~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Pour rejoindre le sommet S d'une montagne des Alpes à partir d'un point de
 départ D, les randonneurs ont la possibilité d'emprunter plusieurs parcours.
La course n'étant pas faisable en une journée, ils doivent passer une nuit dans l'un des deux refuges se trouvant à la même altitude de \np{1400}~mètres sur les parcours existants ; les deux refuges ne sont pas situés au même endroit. On les appelle R$_{1}$ et R$_{2}$.

Le lendemain matin, pour atteindre le sommet qui se trouve à \np{2500}~mètres d'altitude, ils ont deux possibilités : ils peuvent atteindre le sommet en faisant une halte au refuge R$_{3}$, ou atteindre le sommet directement.

\medskip

\parbox[c]{0.55\textwidth}{La probabilité que les randonneurs choisissent de passer par R$_1$ est 
égale à $\dfrac{1}{3}$.\\
La probabilité de monter directement au sommet en partant de R$_1$ est égale à 
$\dfrac{3}{4}$.\\
La probabilité de monter directement au sommet en partant de 
R$_2$ est égale à $\dfrac{2}{3}$.\\}
\parbox[c]{0.35\textwidth}{
\begin{pspicture}(4.5,5)
\pscurve(0.4,1)(0.7,1.7)(1,2)(1.3,2.5)(1.5,2.7)(2,3.2)(2.5,3.6)(3,4.3)(3.4,4.7)
\pscurve(3,0.4)(2.5,0.5)(2.1,1)(2,1.2)(1.7,1.5)(1.5,1.6)(1.4,1.7)(1.4,1.9)(1.5,2.2)
(2,2.7)(2.3,3)(2.5,3.1)(2.7,3.3)(2.8,3.7)(2.9,4)(3,4)(3.3,4.4)(3.4,4.7)
\pscurve(3,0.4)(3.4,1)(3.6,1.1)(3.7,1.5)(3.9,1.8)(4,2)(3.7,2.5)(3.5,3)(3.4,3.5)
(3.3,4)(3.3,4.4)
\pscurve(1.4,1.9)(1.5,2)(1.7,2.1)(2,2.3)(2.4,2.5)(3,2.7)(3.1,3)(3.2,3.8)(3.3,4.4)
\pscurve(3.9,1.8)(3.8,2)(3.6,2.2)(3,2.7)
\pscurve(5,0.7)(4.7,1.3)(4.6,1.8)(4.2,2)(4,3)(3.8,4)(3.4,4.7)
\rput(2.5,3.5){5,5} \rput(3,3.5){2} \rput(3.5,3.5){6}
\rput(2.1,2.1){4} \rput(3.2,2){4,5} \rput(1.5,1.1){5}
\rput(3.9,1.1){4}
\rput(3.6,4.7){S} \rput(3,2.4){R$_{3}$} \rput(1.2,1.7){R$_{1}$}
\rput(4.2,1.7){R$_{2}$} \rput(3,0.2){D}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Tracer un arbre pondéré représentant tous les trajets possibles du
 départ D jusqu'au sommet S.
\item Déterminer la probabilité de chacun des évènements suivants :

E$_1$ : \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ sachant qu'ils ont
passé la nuit au refuge R$_1$ \fg{} ;

E$_2$ \og Les randonneurs ont fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ;

E$_3$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_1$ sachant qu'ils ont
fait une halte au refuge R$_3$ \fg{} ;

E$_4$ \og Les randonneurs ont passé la nuit au refuge R$_2$ sachant que, le
deuxième jour, ils sont montés directement au sommet S \fg.
\item On note $d(M,~ N)$ la distance, en km, à parcourir pour se rendre
du point $M$ au point $N$.

On donne $d$(D, R$_1$) = 5 ;~$d$(D, R$_2$) = 4 ;~$d$(R$_1$,~ R$_3$) = 
4 ;~$d$(R$_2$,~R$_3$) = 4,5 ;

$d$(R$_3$, S) = 2 ;~$d$(R$_1$,~S) = 
5,5 ;~ $d$(R$_2$,~S) = 6.

Soit $X$ la variable aléatoire qui représente la distance parcourue par les
randonneurs pour aller du départ D au sommet S.
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
		\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

On appelle $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z~ (z \neq -~1)$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{-\text{i}z - 2}{z + 1}.\]

Soient A, B et C les points d'affixes respectives $a = - 1,~b = 2\text{i}$ et 
$c = - \text{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit C$'$ l'image du point C par $f$. Donner l'affixe $c'$ du point 
C$'$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
\item Calculer l'affixe $d$ du point D ayant pour image par f le point D$'$
d'affixe 

$d' = \dfrac{1}{2}$.
\item Pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on note $p$ le 
module de $z + 1$ (c'est-à-dire $|z + 1| =  p$) et $p'$ le module de $z' + \text{i}$
 (c'est-à-dire $\left|z' + \text{i}\right| = p'$).
	\begin{enumerate} 
		\item Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on a : 
		
$pp' = \sqrt{5}$. 
		\item Si le point $M$ appartient au cercle ($\Gamma$) de centre A et de rayon 2, montrer qu'alors $M' = f(M)$ appartient à un cercle ($\Gamma '$), dont on précisera le centre et le rayon.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout nombre complexe $z$ différent de $- 1$, on considère 
le nombre complexe $\omega = \dfrac{z - 2\text{i}}{ z + 1}$.
	\begin{enumerate} 
		\item Interpréter géométriquement l'argument du 
nombre complexe $\omega$.
		\item Montrer que $z' = - \text{i}\omega$.
		\item Déterminer l'ensemble (F) des points $M$ d'affixe $z$ telle que $z'$ soit un réel non nul.
		\item Vérifier que le point D appartient aux ensembles ($\Gamma$) et (F).
	\end{enumerate}
\item Représenter les ensembles ($\Gamma$), (F) et ($\Gamma'$) en
 prenant 4~cm pour unité graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On se place dans le plan, rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\begin{enumerate} 
\item On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe 
$z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
\[z' = \left(\dfrac{1}{2} + 
\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z}.\]
	\begin{enumerate} 
		\item Exprimer $(f \circ f)(z)$ en fonction de $z$.
		\item Montrer que $f = \text{R} \circ \text{S}$, où R est une rotation et S une symétrie axiale (on déterminera les éléments caractéristiques de ces deux applications R et S).
		\item Décomposer R à l'aide de deux symétries axiales et en déduire que $f$ est une réflexion, dont on donnera l'axe (D$_1$).

Réaliser une figure, en y représentant l'axe (D$_1$) (unité graphique 2~
cm).
	\end{enumerate}
\item On considère l'application $g$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$
 associe le point $M''$ d'affixe $z''$ telle que : 
\[z'' = \left(\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\overline{z} - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]
	\begin{enumerate} 
		\item Déterminer une équation de l'ensemble des points invariants de $g$.
		\item Montrer que $g = \text{T} \circ f$ où T est une translation (on
 précisera l'affixe du vecteur de la translation T).
		\item Décomposer la translation T à l'aide de deux symétries axiales et
 en déduire que $g$ est une réflexion, d'axe noté (D$_2$).
		\item Quelle est l'image par $g$ du point A d'affixe $\dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$

En déduire une construction de la droite (D$_2$), qui n'utilise pas son équation, et l'illustrer en complétant la figure précédente.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Problème} \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$, définie sur l'intervalle	$]- 1~;~+~\infty[$ 
par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{(1 + x)^2}.\]

On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté à un repère orthonormal \Oij.

\bigskip

$\star~${\textbf{I.~~} Étude de la fonction~ $f$~ et tracé de  $(\mathcal{C})$} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate} 
		\item Calculer la limite de cette fonction lorsque $x$ tend vers $+ \infty$.
		\item Calculer la limite de cette fonction lorsque $x$ tend vers $- 1$.

Que peut-on en déduire pour la courbe ($\mathcal{C}$) ?
	\end{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que son signe est celui de 
$\dfrac{x - 1}{x + 1}$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$), les droites d'équations
 respectives $x = - 1$ et $y = 1$, ainsi que la tangente à cette courbe en
 son point d'abscisse $0$ (unité graphique : 4~cm).
\item Montrer que l'équation $f(x) = 1$ admet une unique solution, notée 
$\alpha$, dans l'intervalle [1 ; 10].\\
 Utiliser le graphique précédent pour donner deux nombres
 entiers consécutifs $a$ et $b$ tels que $\alpha$ appartient à l'intervalle 
 $[a~;~b]$.
\end{enumerate}

$\star~${\textbf{II.~~} Calcul d'une aire}

\medskip

\begin{enumerate} 
\item Soit $g$ la fonction définie sur $]- 1~;~+~\infty[$
par $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{1 + x}.$
	\begin{enumerate} 
		\item Étudier le sens de variation de $g$ dans l'intervalle [1~;~2].
		\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à [1~;~2], on 
a : $1 \leqslant  g(x) \leqslant 2,5$.
		\item En déduire un encadrement de A$_1 = \displaystyle\int_1^2  g(x)\:\text{d}x$.
	\end{enumerate}
\item Soit A$_2$ l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par les
 droites d'équations respectives $x$ = 1 et $x$ = 2, la courbe ($\mathcal{C}$) et l'axe des abscisses.

À l'aide d'une intégration par parties, exprimer A$_2$ en fonction de 
 A$_1$, et en déduire un encadrement de A$_2$.
\end{enumerate} 

\bigskip

$\star~$ {\textbf{III.~~} Approximation d'un nombre à l'aide d'une suite}

\medskip

Pour cette partie, on utilisera sans justification le fait que l'équation
 $f(x) = x$ a une unique solution $\beta$ et que celle-ci est élément de
l'intervalle  $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$.
  
Soit $h$ la fonction définie sur $]- 1~;~+\infty[$  par $h(x) =
\dfrac{\text{e}^x}{(1 + x)^3}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que, pour tout $x$ appartenant à $]- 1~;~+\infty[$ on  a :

\[f'(x) = f(x) - 2h(x).\]

		\item Calculer $h'(x)$.
		\item En utilisant la question \textbf{a}, calculer $f''(x)$.
		
En déduire le sens de variation de $f$ dans l'intervalle $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$

		\item En déduire que, pour tout $x$ appartenant à $\left[\dfrac{1}{2}~;~1\right]$ on a :
\[\left|f'(x)\right| \leqslant  \dfrac{1}{4}.\]
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $(U_n)$, pour tout nombre entier naturel $n$,
 par $U_0$ = 1 et $U_{n + 1} = f\left(U_n\right)$ pour $n \geqslant  0$.
 
On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a :
$\dfrac{1}{2} \leqslant  U_n	\leqslant 1$.

(Question hors-programme en 2002).
	\begin{enumerate} 
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a :
\[\left|U_{n+ 1} - \beta\right| \leqslant   \dfrac{1}{4} 
\left|U_n - \beta\right|.\]
		 \item Montrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel $n$,
 on a :
\[\left|U_n - \beta\right| \leqslant \left( \dfrac{1}{4}\right)^n.\]
		\item En déduire une valeur approchée numérique de $\beta$ à $10^{- 3}$ près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}