\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{makeidx}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{fancybox}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Kriegk
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pst-text}
\usepackage{pst-eucl,pst-3dplot,pstricks-add}
\usepackage{tikz}
\usepackage{esvect}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\headheight15 mm
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\text{e}}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité},
pdftitle = {Asie Sujet 1 10 juin 2024},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\renewcommand\arraystretch{1.3}
\frenchsetup{StandardLists=true}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{11 juin 2025}}
\pagestyle{fancy}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 11 juin 2025~\decofourright\\[7pt] Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\section*{Exercice 1 \hfill 5 points}

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère :

\begin{itemize}
\item $\alpha$ un réel quelconque ;
\item les points A(1~;~1~;~0), B(2~;~1~;~0) et C$(\alpha~;~3~;~\alpha)$ ;
\item $(d)$ la droite dont une représentation paramétrique est :

\[
\left\{
\begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = \phantom{11} 2t\\
z = \phantom{1}- t
\end{array}
\right., \quad t \in \mathbb{R}
\]
\end{itemize}

Pour chacune des affirmations suivantes, préciser si elle est vraie ou fausse, puis justifier la réponse donnée. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte.

\textbf{Affirmation 1 :} Pour toutes les valeurs de $\alpha$, les points $A$, $B$ et $C$ définissent un plan et un vecteur normal à ce plan est $\vect{\jmath}\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$.

\textbf{Affirmation 2 :} Il existe exactement une valeur de $\alpha$ telle que les droites $(AC)$ et $(d)$ soient parallèles.

\textbf{Affirmation 3 :} Une mesure de l'angle $\widehat{\text{OAB}}$ est $135\degres$.

\textbf{Affirmation 4 :} Le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$ est le point H(1~;~2~;~2).

\textbf{Affirmation 5 :} La sphère de centre O et de rayon 1 rencontre la droite $(d)$ en deux points distincts.

On rappelle que la sphère de centre $\Omega$
et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à une distance $r$ de $\Omega$.


\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

Une entreprise qui fabrique des jouets doit effectuer des contrôles de conformité avant leur commercialisation. Dans cet exercice, on s'intéresse à deux tests effectués par l'entreprise de jouets : un test \emph{de fabrication} et un test \emph{de sécurité}.

\medskip

À la suite d'un grand nombre de vérifications, l'entreprise affirme que:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 95\,\% des jouets réussissent le test de fabrication ;
\item Parmi les jouets qui réussissent le test de fabrication, 98\,\% réussissent le test de sécurité ;
\item 1\,\% des jouets ne réussissent aucun des deux tests.
\end{itemize}

On choisit au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $F$ l'évènement : \og le jouet réussit le test de fabrication \fg{} ;
\item $S$ l'évènement : \og le jouet réussit le test de sécurité \fg.
\end{itemize}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item À partir des données de l'énoncé, donner les probabilités $P(F)$ et $P_F(S)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré qui illustre la situation avec les données disponibles dans l'énoncé.
		\item Montrer que $P_{\overline{F}}\left(\overline{S}\right) = 0,2$.
\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le jouet choisi réussisse les deux tests.
\item Montrer que la probabilité que le jouet réussisse le test de sécurité vaut 0,97 arrondi au centième.
\item Lorsque le jouet a réussi le test de sécurité, quelle est la probabilité qu'il réussisse le test de fabrication? Donner une valeur approchée du résultat au centième.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

On prélève au hasard dans la production de l'entreprise un lot de $n$ jouets, où $n$ est un entier strictement positif. On suppose que ce prélèvement se fait sur une quantité suffisamment grande de jouets pour être assimilé à une succession de $n$ tirages indépendants avec remise.

On rappelle que la probabilité qu'un jouet réussisse le test de fabrication est égale à $0,95$.

Soit $S_n$ la variable aléatoire qui compte le nombre de jouets ayant réussi le test de fabrication. On
admet que $S_n$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,95$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Exprimer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $S_n$ en fonction de $n$.
\item Dans cette question, on pose $n = 150$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P\left(S_{150} = 145\right)$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
		\item Déterminer la probabilité qu'au moins 94\,\% des jouets de ce lot réussissent le test de
fabrication. Donner une valeur approchée du résultat à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, l'entier naturel non nul $n$ n'est plus fixé.

Soit $F_n$ la variable aléatoire définie par : $F_n = \dfrac{S_n}{n}$. La variable aléatoire $F_n$ représente la proportion des jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets prélevés.

On note $E(F_n)$ l'espérance et $V(F_n)$ la variance de la variable aléatoire $F_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $E(F_n) = 0,95$ et que $V(F_n) = \dfrac{\np{0,0475}}{n}$.
		\item On s'intéresse à l'évènement $I$ suivant: \og la proportion de jouets qui réussissent le test de fabrication dans un lot de $n$ jouets est strictement comprise entre 93\,\% et 97\,\% \fg.

En utilisant l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, déterminer une valeur $n$ de la taille du lot
de jouets à prélever, à partir de laquelle la probabilité de l'évènement $I$ est supérieure ou égale à $0,96$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 5 points}

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de $2$ ml d'un médicament.

On introduit la suite $\left(u_n\right)$
telle que le terme $u_n$ représente la quantité de médicament, exprimée en ml présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises de médicament.

On a $u_1 = 2$ et 

\begin{center}pour tout entier naturel $n$ strictement positif : $u_{n+1} = 2 + 0,8u_n$.\end{center}

\subsection*{Partie A}

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 mL.

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur $u_2$.
\item Montrer par récurrence que :
\[u_n = 10 - 8 \times 0{,}8^{n-1} \,\text{pour tout entier naturel} \:n \:\text{strictement
positif.}\]

\item Déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ et et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Soit $N$ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $u_N \geqslant 10$ admet-elle des solutions? 

Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à $9$~mL. Justifier votre démarche.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du malade au cours du temps.

On définit pour cela la suite $\left(S_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par

\[S_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n}.\]

On admet que la suite $\left(S_n\right)$ est croissante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $S_2$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif,

\[u_1 + u_2 + \dots + u_n = 10n - 40 + 40 \times 0{,}8^n.\]

\item Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n$.
\item On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python :

\begin{center}
\begin{tabular}{c|l|}\cline{2-2}
1&def mystere(k):\\
2&\quad n = 1\\
3&\quad s = 2\\
4&\quad while s < k:\\
5&\quad\qquad n = n + 1\\
6&\quad\qquad s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n\\
7&\quad return n\\ \cline{2-2}
\end{tabular}
\end{center}

Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie \texttt{mystere(9)} ? 
\item Justifier que cette valeur est strictement supérieure à $10$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par

\[f(x) = \frac{\e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}\]

et on appelle $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On définit la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ par $g(x) = \e^{\sqrt{x}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $g'(x) = f(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
		\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$, calculer $f'(x)$ et montrer que:

\[f'(x) = \dfrac{\e^{\sqrt{x}}\left(\sqrt x - 1\right)}{4x\sqrt x}.\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$.
		\item Interpréter graphiquement ce résultat.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+ \infty[$.

Dresser le tableau de variations de la fonction $f$ en y faisant figurer les limites aux bornes de l'intervalle de définition.
		\item Montrer que l'équation $f(x) = 2$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ et donner une valeur approchée à $10^{-1}$ près de cette solution.
	\end{enumerate}
\item On pose  $I = \displaystyle\int_1^2 f(x)\, \text{d}x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $I$.
		\item Interpréter graphiquement le résultat.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$ et que:

\[f"(x) = \dfrac{\e^{\sqrt{x}}\left(x - 3\sqrt x + 3\right)}{8x^2\sqrt x}.\]

	\begin{enumerate}
		\item En posant $X = \sqrt x$, montrer que $x - 3\sqrt x + 3 > 0$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
		\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ + \infty[$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}