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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat Spécialité},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{23 mars 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Asie 23 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 1\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ définie par $u_0 = 400$ et pour tout entier naturel $n$ : 
\[u_{n+1} = 0,9u_n + 60.\]

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$
	\end{enumerate}	
\item Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a l'inégalité 
\[0  \leqslant u_n  \leqslant u_{n+1} \leqslant  600.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$ est convergente.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$. Justifier.
	\end{enumerate}
\item On donne une fonction écrite en langage Python :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{def} mystere(seuil):\\
\qquad n=0\\
\qquad u=400\\
\qquad \textbf{while} u <= seuil :\\
\qquad \qquad n = n+1\\
\qquad \qquad u = 0.9*u+60\\
\qquad \textbf{return} n\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Quelle valeur obtient-on en tapant dans la console de Python: mystere (500) ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un arboriculteur possède un verger dans lequel il a la place de cultiver au maximum $500$~arbres.

Chaque année il vend 10\,\% des arbres de son verger et puis il replante $60$ nouveaux arbres.

Le verger compte $400$ arbres en 2023.

L'arboriculteur pense qu'il pourra continuer à vendre et à planter les arbres au même rythme pendant les années à venir.

Va-t-il être confronté à un problème de place dans son verger ? Expliquer votre réponse.

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

On considère le cube ABCDEFGH qui est représenté en ANNEXE.

Dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\text{AB}}~;~\vect{\text{AD}}~;~\vect{\text{AE}}\right)$, on considère les points M, N et P de coordonnées :
\begin{center}M$\left(1~;~1~;~\dfrac34\right)$, \qquad N$\left(0~;~\dfrac12~;~1\right)$, \qquad P$\left(1~;~0~;~-\dfrac54\right)$\end{center}

Dans cet exercice, on se propose de calculer le volume du tétraèdre FMNP.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{MN}}$ et $\vect{\text{MP}}$.
\item Placer les points M, N et P sur la figure donnée en ANNEXE qui sera à rendre avec la copie.
\item Justifier que les points M, N et P ne sont pas alignés. 

Dès lors les trois points définissent le plan (MNP).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit scalaire $\vect{\text{MN}} \cdot \vect{\text{MP}}$, puis en déduire la nature du triangle MNP.
		\item Calculer l'aire du triangle MNP.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le vecteur $\vect{n}(5~;~-8~;~4)$ est un vecteur normal au plan (MNP).
		\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (MNP) est $5x - 8y + 4z = 0$.
	\end{enumerate}	
\item On rappelle que le point F a pour coordonnées F(1~;~0~;~1). 

Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$ orthogonale au plan (MNP) et passant par le point F.
\item On note L le projeté orthogonal du point F sur le plan (MNP). 

Montrer que les coordonnées du point L sont: L$\left(\dfrac47~;~\dfrac{24}{35}~;~\dfrac{23}{35}\right)$.
\item Montrer que FL $= \dfrac{3\sqrt{105}}{35}$ puis calculer le volume du tétraèdre FMNP. 

On rappelle que le volume V d'un tétraèdre est donné par la formule :

\begin{center}$V = \dfrac13 \times  \text{aire d'une base} \times \text{hauteur associée à cette base}$.\end{center}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip

Soit $k$ un réel strictement positif.

Le but de cet exercice est de déterminer le nombre de solutions de l'équation 
\[\ln (x) = kx\]
 de paramètre $k$.
 
\smallskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Conjectures graphiques :}

\medskip

On a représenté, ci-dessous, dans un repère orthogonal, la courbe d'équation $y = \ln (x)$, la droite d'équation $y = x$ ainsi que la droite d'équation $y = 0,2x$ :

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1.2)(16.5,9)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-1)(16.5,9)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{16.5}{x ln}\uput[d](15,2.3){\red $y = \ln x$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16.5}{x 0.2 mul}\uput[4](14,3.3){\blue $y = 0,2 x$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{16.5}{x}\uput[ul](8.5,8.5){$y = x$}
\end{pspicture*}
\end{center}

À partir du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l'équation $\ln (x) = kx$ pour $k = 1$ puis pour $k = 0,2$.
\item Étude du cas $k = 1$ :

On considère la fonction $f$, définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, par: 
\[f(x) = \ln (x) - x.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$.
		\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ en y faisant figurer la valeur exacte des extremums s'il y en a.

Les limites aux bornes de l'intervalle de définition ne sont pas attendues.
		\item En déduire le nombre de solutions de l'équation $\ln (x) = x$.
	\end{enumerate}	
\item Étude du cas général :

$k$ est un nombre réel strictement positif.

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par:
\[g(x) = \ln (x) - kx.\]

On admet que le tableau des variations de la fonction $g$ est le suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.5,2.5)
\psframe(7.5,2.5)\psline(0,1.5)(7.5,1.5)
\psline(1.5,0)(1.5,2.5)
\uput[u](0.75,1.4){$x$} \uput[u](1.65,1.4){$0$} \uput[u](4.5,1.4){$\dfrac 1k$} 
\uput[u](7,1.4){$+ \infty$}
\rput(0.75,0.75){$g(x)$}\uput[u](2,0){$- \infty$}\uput[d](4.5,1.5){$g\left(\frac 1k\right)$}
\uput[u](7,0){$- \infty$}
\psline{->}(2,0.5)(4,1)\psline{->}(5,1)(7,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Donner, en fonction du signe de $g\left(\dfrac 1k\right)$ le nombre de solutions de l'équation $g(x) = 0$.
		\item Calculer $g\left(\dfrac 1k\right)$ en fonction du réel $k$.
		\item Montrer que $g\left(\dfrac 1k\right) > 0$ équivaut à $\ln (k) < - 1$.
		\item Déterminer l'ensemble des valeurs de $k$ pour lesquelles l'équation $\ln (x) = kx$ possède exactement deux solutions.
		\item Donner, selon les valeurs de $k$, le nombre de solutions de l'équation $\ln (x) = kx$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Pour chacune des cinq questions de cet exercice, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\
 Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.}

\bigskip

Une urne contient 15 billes indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 15. 

La bille numérotée 1 est rouge.

Les billes numérotées 2 à 5 sont bleues.

Les autres billes sont vertes.

\medskip

On choisit une bille au hasard dans l'urne.

On note $R$ (respectivement $B$ et $V$) l'évènement : \og La bille tirée est rouge \fg{} (respectivement bleue et verte).

\medskip

\textbf{Question 1 :}

\medskip

Quelle est la probabilité que la bille tirée soit bleue ou numérotée d'un nombre pair ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{9}{15}$&$\dfrac{11}{10}$&\small Aucune des
affirmations précédentes n'est juste.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2 :}

\medskip

Sachant que la bille tirée est verte, quelle est la probabilité qu'elle soit numérotée 7?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{1}{15}$&$\dfrac{7}{15}$&$\dfrac{1}{10}$&\small Aucune des
affirmations précédentes n'est juste.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Un jeu est mis en place. Pour pouvoir jouer, le joueur paie la somme de $10$ euros appelée la mise.

Ce jeu consiste à tirer une bille au hasard dans l'urne.
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]Si la bille tirée est bleue, le joueur remporte, en euro, trois fois le numéro de la bille. 
\item[$\bullet~~$]Si la bille tirée est verte, le joueur remporte, en euro, le numéro de la bille.
\item[$\bullet~~$]Si la bille tirée est rouge, le joueur ne remporte rien.
\end{itemize}
\smallskip

On note $G$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique du joueur, c'est-à-dire la différence entre ce qu'il remporte et sa mise de départ. 

Par exemple, si le joueur tire la bille bleue numérotée 3, alors son gain algébrique est $-1$ euro.

\medskip

\textbf{Question 3 :}

\medskip

Que vaut P(G = 5)?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{1}{15}$&$\dfrac{2}{15}$&$\dfrac{1}{3}$&\small Aucune des
affirmations précédentes n'est juste.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4 :}

\medskip

Quelle est la valeur de $P_R(G = 0)$ ?

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D\\
$0$&$\dfrac{1}{15}$&$1$&\small Aucune des
affirmations précédentes n'est juste.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 5 :}

\medskip

Que vaut $P_{(G = - 4)}(V)$ ? 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Réponse A&Réponse B&Réponse C&Réponse D\\
$\dfrac{1}{15}$&$\dfrac{4}{15}$&$\dfrac{1}{2}$&\small Aucune des
affirmations précédentes n'est juste.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9.3,9)
\pspolygon(0.5,1.3)(5.5,0.6)(5.5,6.3)(0.5,7)%ABFE
\uput[dl](0.5,1.3){A} \uput[d](5.5,0.6){B} \uput[u](5.5,6.3){F} \uput[l](0.5,7){E} 
\psline(5.5,0.6)(8.2,1.7)(8.2,7.4)(5.5,6.3)%BCGF
\uput[r](8.2,1.7){C} \uput[ur](8.2,7.4){G} 
\psline(8.2,7.4)(3.7,8.1)(0.5,7)%GHE
\uput[u](3.7,8.1){H}
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.3)(3.7,2.4)(3.7,8.1)%ADH
\psline[linestyle=dashed](3.7,2.4)(8.2,1.7)%DC
\uput[d](3.7,2.4){D}
\end{pspicture}

\end{center}







\end{document}