% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : François Kriegk
% relecture : Valérie Tamboise
% figures TikZ : François Kriegk
% figures pstricks : François Hache
% modifications :
% Remerciements :

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% Définitions
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%Enumérations
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%	pdfauthor = {APMEP},
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%	pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité -- Session 2026 -- générale},
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%}
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\begin{document}
% Réglage entête, pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


\begin{center}
	{\Large \textbf{
		\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité ~\decofourright\\[7pt]
		Sujet 1\\[7pt]
		Voie générale -- Métropole -- 16 juin 2026 }}
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\end{center}

\section*{Exercice 1 (5 points)}
	Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée.

	Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule.

	\subsection*{Partie A}

	Parmi l'ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que $30\,\%$ réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, $80\,\%$ réservent une cabine.

	On sait par ailleurs que $75\,\%$ des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

	\medskip

	On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les évènements suivants :

	\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
		\item $V$ : \og  la famille réserve un emplacement pour un véhicule \fg{};

		\item $C$ : \og  la famille réserve une cabine \fg{} .
	\end{itemize}

	Pour un évènement quelconque $E$, on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

	\begin{enumerate}
		\item \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
			\begin{enumerate}
			\item Donner $P(C)$.

			\item Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés.
		\end{enumerate}
		\end{minipage}
		\hfill
		%%Figure en tikz
		\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(Raa.base)}]
			% Styles (MODIFIABLES)
			\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
			\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
			\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
			% Dimensions (MODIFIABLES)
			\def\DistanceInterNiveaux{2.5}
			\def\DistanceInterFeuilles{0.7}
			% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
			\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
			\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
			% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
			\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {};
			\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$V$};
			\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$C$};
			\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{C}$};
			\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{V}$};
			\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$C$};
			\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{C}$};
			% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
			\draw (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\dots$};
			\draw (Rb.east)--(Rba.west);% node[etiquette] {$$};
			\draw (Rb.east)--(Rbb.west);% node[etiquette] {$$};
		\end{tikzpicture}
%		%%Figure en pstricks
%			\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,levelsep=2cm,treesep=1cm]{\TR{}}
%			{
%				\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$V$}\naput{$\cdots$}}
%				{
%					\TR{$C$}\naput{$\cdots$}
%					\TR{$\overline{C}$}\nbput{$\cdots$}
%				}
%				\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{V}$}\nbput{$\cdots$}}
%				{
%					\TR{$C$}\naput{}
%					\TR{$\overline{C}$}\nbput{}
%				}
%			}
		\hfill~

		\item Calculer la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.

		\item Une famille a réservé une cabine.

		Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule.

		\item Déterminer $P_{\overline{V}}(C)$.

		On arrondira le résultat à $10^{-2}$.

		Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}

	\subsection*{Partie B}
	Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.

	Ces suppléments sont d'un montant de :

	\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
		\item 100~\euro{} pour une cabine ;
		\item 70~\euro{} pour l'emplacement d'un véhicule.
	\end{itemize}

	On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.

	À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).

	On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments.

	On donne ci-dessous la loi de probabilité de $X$.

	\medskip

	\begin{tblr}{colspec={c *{4}{X[c]}},hlines, vlines}
	$x_{i}$ & 0 & 70 & 100 & 170 \\
	$P\left(X=x_{i}\right)$ & 0,19 & 0,06 & 0,51 & 0,24 \\
	\end{tblr}

	\medskip

	On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras.

	On admet que la variable aléatoire $Y$ a pour espérance $\mathrm{E}(Y)=104$ et pour variance $\mathrm{V}(Y)=\np{1686}$.

	\medskip

	On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que \quad $\mathrm{E}(X)=96$ \quad et que \quad $\mathrm{V}(X)=\np{3114}$.

		\item À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de $40\,\%$ sur les suppléments et les extras.

		On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.

		\begin{enumerate}
			\item Justifier que \quad $Z = 0,6(X + Y)$.
			\item En déduire que \quad $\mathrm{E}(Z)=120$ \quad et que \quad $\mathrm{V}(Z)=\np{1728}$,

			où $\mathrm{E}(Z)$ est l'espérance de la variable aléatoire $Z$ et $\mathrm{V}(Z)$ sa variance.
		\end{enumerate}

		\item On note $n$ un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de $n$ familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question \textbf{2.}

		On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.

		On désigne par $Z_{1}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, $Z_{2}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, $Z_{n}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la $n$-ième famille.

		On considère la variable aléatoire \quad $M_{n}=\dfrac{Z_{1}+Z_{2}+\ldots+Z_{n}}{n}$ \quad donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.

		On admet que les variables $Z_{1}$\,, $Z_{2}$\,, \ldots, $Z_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $Z$.

		\begin{enumerate}
			\item Montrer que l'espérance $\mathrm{E}\big(M_{n}\big)$ de la variable $M_{n}$ est égale à 120, et que sa variance $\mathrm{V}\big(M_{n}\big)$ est égale à $\dfrac{\np{1728}}{n}$.

			\item Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que \[\mathrm{P}\big(114<M_{n}<126\big) \geqslant 0,85.\]

			Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 2 (4 points)}
	Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

	\begin{enumerate}[itemsep=1cm]
		\item L'espace est muni d'un repère orthonormé \Oijk{}.

		On considère :

		\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
			\item la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :
		\end{itemize}
		\[\begin{cases}
				x=t \\
			y=-1,5-t \\
			z=2-2 t
		\end{cases}\text { où } t \in \R; \]
		\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
			\item les points A$(3 ; 0 ; 2)$ et B$(2 ; 1 ;-3)$;

			\item le plan $(\mathcal{P})$ d'équation : \quad $-x+y-5 z-0,5=0$.
		\end{itemize}

		\begin{enumerate}[itemsep=5mm]
			\item \textbf{Affirmation 1 :}

			Le plan $(\mathcal{P})$ est orthogonal à la droite (AB), et passe par le milieu du segment [AB].

			\item \textbf{Affirmation 2 :}

			Les droites $(d)$ et (AB) sont sécantes.

			\item On considère le point C de coordonnées $(1,5 ; -3 ; -1)$.

			\textbf{Affirmation 3 :}

			La mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ACB}}$, arrondie à $10^{-1}$, est égale à $70,5$\,\textdegree.
		\end{enumerate}

		\item Titouan et Clotilde participent à un escape game. Ils se retrouvent dans une salle possédant deux portes de sortie, A et B, chacune protégée par un digicode équipé de 8 touches portant des symboles différents :

		\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
			\item le digicode de la porte A utilise un code de 3 symboles différents devant être saisis dans l'ordre;
			\item celui de la porte B utilise un code de 4 symboles différents qui peuvent être saisis dans n'importe quel ordre.
		\end{itemize}

		N'étant pas parvenus à obtenir d'indices, ils décident de procéder au hasard à la saisie des codes.

		Clotilde choisit un code pour la porte A, et Titouan choisit un code pour la porte B.

		On considère que les choix des codes sont équiprobables.

		\textbf{Affirmation 4 :}

		Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde.
	\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 (6 points)}
On étudie le fonctionnement d'un système de chauffage installé dans une pièce.

Ce système se déclenche automatiquement dès que la température de la pièce est inférieure ou égale à 18\,\textdegree{}C (degrés Celsius), et s'éteint lorsqu'elle atteint 20\,\textdegree{}C.

	\subsection*{Partie A : Phase de chauffage}
		Pour une température de la pièce variant de 18\,\textdegree{}C à 20\,\textdegree{}C, le système de chauffage fonctionne en continu. La température de la pièce augmente progressivement.

		Dans cette partie, on modélise la température de la pièce, en degré Celsius, à l'instant $t$, exprimé en dizaines de minutes, par une fonction $T$ définie sur $[0 ;+\infty[$.

		On admet que la fonction $T$ est :
		\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
			\item dérivable sur $[0 ;+\infty[$;
			\item solution de l'équation différentielle
			\[(E): \quad y'=-0,035 y+0,91\]
			où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $[0 ;+\infty[$.
		\end{itemize}

		On note $T'$ la fonction dérivée de la fonction $T$.

		On suppose qu'au début de l'étude, la température de la pièce est de 18\,\textdegree{}C.

		Ainsi \quad $T(0)=18$.

		\begin{enumerate}
			\item Donner les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur $[0 ; +\infty[$.

			\item En déduire que, pour tout nombre réel $t$ appartenant à l'intervalle $[0 ;+\infty[$, on a :
			\[ T(t)=26-8 \e^{-0,035 t}.\]

			\item Selon ce modèle, déterminer au bout de combien de temps la pièce atteindra la température de 20\,\textdegree{}C.

			On exprimera le résultat en heures et minutes arrondi à la minute.

			\item Si une panne du système de chauffage l'empêche de s'éteindre lorsque la température de la pièce atteint 20\,\textdegree{}C, la température de la pièce pourra-t-elle dépasser 28\,\textdegree{}C selon ce modèle ?

			Justifier.
		\end{enumerate}

	\subsection*{Partie B: Phase de refroidissement}
		Lorsque la pièce atteint la température de 20\,\textdegree{}C, le système de chauffage s'éteint et la pièce refroidit.

		On modélise la température de la pièce par la suite $(u_{n})$ définie par $u_{0}=20$ et pour tout entier naturel~$n$ :
		\[u_{n+1}=0,965 u_{n}+0,35+0,07 \e^{-0,1 n}\,,\]
		où $n$ est un nombre entier exprimant le temps écoulé en dizaines de minutes.

		\begin{enumerate}
			\item Montrer que \quad $u_{1}=19,72$.

			\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a
			\[u_{n}>10.\]
		\end{enumerate}

		On admet que la suite $(u_{n})$ est décroissante.

		\begin{enumerate}[resume]
			\item En déduire que la suite $(u_{n})$ est convergente.

			\item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$.

			\begin{enumerate}
				\item Justifier que cette limite est solution de l'équation
				\[x=0,965 x+0,35.\]

				\item Déterminer $\ell$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
			\end{enumerate}

			\item On rappelle que le système de chauffage se met en marche automatiquement dès que la température de la pièce, est inférieure ou égale à 18\,\textdegree{}C.
			\begin{enumerate}
				\item Recopier et compléter les lignes 4,5 et 6 du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie le nombre de dizaines de minutes à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.
				\begin{center}
					\begin{tblr}{vline{1,3}={solid}, hline{1,Z}={solid},colspec={X[r,3mm] X[4cm,font=\ttfamily]},rowsep=0pt,column{1}={bg=gray9}}
						1.& def marche() :\\
						2.& \quad n = 0\\
						3.& \quad u = 20\\
						4.& \quad while \dots :\\
						5.& \quad \quad u = \dots\\
						6.& \quad \quad n = \dots\\
						7.& \quad return n\\
					\end{tblr}
				\end{center}

				\item Déterminer le temps, en dizaines de minutes, à partir duquel le système de chauffage se remettra en marche.
			\end{enumerate}
		\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 4 (5 points)}
	On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]-1 ;+\infty[$ par :
	\[f(x)=a+\dfrac{b \ln (x+1)}{x+1}.\]
	où $a$ et $b$ sont des réels, et ln désigne la fonction logarithme népérien.

	On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]-1 ; +\infty [$.

	On note $f'$ sa fonction dérivée et $f''$ sa fonction dérivée seconde.

	\subsection*{Partie A}
	L'objectif de cette partie est de déterminer les valeurs de $a$ et $b$ de sorte que la courbe représentative de la fonction $f$ sur $]-1 ;+\infty[$ %changement : dans l'énoncé, c'était écrit $[0 ; +\infty[$, mais la fonction est définie plus largement et la courbe présente des abscisses strictement négatives.
	corresponde à celle tracée dans le repère orthonormé ci-dessous :

	\begin{center}
		%%Figure en tikz
		\begin{tikzpicture}%compiler avec pgfplots
			\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,
				x={12mm}, y={12mm},
				xmin = -0.5, xmax = 7.2,
				ymin = -0.8, ymax = 5.8,
				xtick distance=1, ytick distance=1,
				xticklabels={},yticklabels={},
				minor tick num = 0,
				grid=major, axis lines =center]
				\addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= -0.5:7.2 ]{1+(4*ln(x+1))/(x+1)};
				\node[below left] at (axis cs: 0,0) {0};
				\node[below] at (axis cs: 1,0) {1};
				\node[left] at (axis cs: 0,1) {1};
				\draw[shift={(axis cs: 0,1)}] (2pt,2pt)--(-2pt,-2pt) (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt) node[below right]{A};
				\draw[dashed,line width=0.8pt] (axis cs: -1,-3)--(axis cs: 2,9) node[pos=0.55,left] {$T_{\mathrm{A}}$} ;
%				\node at(axis cs: ) {$ \mathcal{C}_f $};
			\end{axis}
		\end{tikzpicture}
%		%%Figure en pstricks
%		\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,arrowsize=2pt 3,comma}
%		\def\xmin {-0.8}   \def\xmax {7.2}
%		\def\ymin {-0.8}   \def\ymax {5.8}
%		\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)\psgrid[yunit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%			\psaxes[labelFontSize=\footnotesize,labels=none, ticksize=-2pt 2pt,]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%			%\psset{linecolor=red,fillstyle=solid,fillcolor=pink!50}
%			\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{1 4 x 1 add ln mul x 1 add div add}
%			\psplot[linecolor=red,linestyle=dashed,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{1 4 x mul add}
%			\rput(0.3,3.5){\red $T_{\text A}$}
%			\uput[-10](0,1){A} \uput*[dl](0,0){O}
%			\uput[l](0,1){1} \uput[d](1,0){1}
%		\end{pspicture*}
	\end{center}


	On précise que la droite $T_{\mathrm{A}}$ est la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point A$(0 ; 1)$.

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $a=1$.

		\item En utilisant le graphique :
		\begin{enumerate}
			\item Donner la valeur de $f'(0)$.

			Justifier.
			\item Donner le signe de $f''(1)$.

			Justifier.
		\end{enumerate}

		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à $]-1 ;+\infty[$, on a :
			\[f'(x)=\dfrac{b(1-\ln (x+1))}{(x+1)^{2}}\]

			\item En déduire la valeur de $b$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

	\newpage

	\subsection*{Partie B}
	On admet dans la suite de l'exercice que la fonction $f$ est définie sur $]-1 ;+\infty[$ par :
	\[f(x)=1+\dfrac{4 \ln (x+1)}{x+1}\]

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la droite d'équation \quad $y=1$ \quad est asymptote à la courbe représentative de la fonction~$f$.

		\item Résoudre l'inéquation \quad $1-\ln (x+1)>0$ \quad sur $]-1 ;+\infty[$.

		\item On admet que \quad $\lim\limits_{x \to -1} f(x)=-\infty$.

		Dresser le tableau de variation complet de la fonction $f$ en indiquant la valeur exacte de son extremum.

		Justifier.

		\item Montrer que l'équation \quad $f(x)=1,5$ \quad admet une unique solution dans l'intervalle $[2 ; +\infty[$.

		En donner une valeur arrondie à $10^{-1}$.

		\item \begin{enumerate}
			\item Montrer que :
			\[\int_{0}^{2} \dfrac{\ln (x+1)}{x+1} \d x=\dfrac{1}{2}\big(\ln 3\big)^{2}.\]

			\item En déduire l'aire, en unité d'aire, du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe représentative de la fonction $f$, l'axe des ordonnées et la droite d'équation \quad $x=2$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{document}