\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}

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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}

%%% En-tête et pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{10 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{%
	\decofourleft~Baccalauréat Centres Étrangers -- 10 juin 2026~\decofourright\\[7pt]%
	Corrigé du sujet 1\\[7pt]%
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
	ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\section*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item L'arbre de probabilité représentant la situation est :
	\begin{center}
	%:-+-+-+- Engendré par : http://math.et.info.free.fr/TikZ/Arbre/
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
		% Styles (MODIFIABLES)
		\tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
		\tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt]
		\tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt]
		% Dimensions (MODIFIABLES)
		\def\DistanceInterNiveaux{3}
		\def\DistanceInterFeuilles{0.7}
		% Dimensions calculées (NON MODIFIABLES)
		\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux}
		\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
		% Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles)
		\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(2.5)*\InterFeuilles}) {};
		\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A$};
		\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$T$};
		\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$};
		\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$B$};
		\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$T$};
		\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$};
		\node[noeud] (Rc) at ({\NiveauB},{(4.5)*\InterFeuilles}) {$C$};
		\node[feuille] (Rca) at ({\NiveauC},{(4)*\InterFeuilles}) {$T$};
		\node[feuille] (Rcb) at ({\NiveauC},{(5)*\InterFeuilles}) {$\overline{T}$};
		% Arcs (MODIFIABLES : Styles)
		\draw (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$0,6$};
		\draw (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$0,9$};
		\draw (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$0,1$};
		\draw (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$0,12$};
		\draw (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$0,95$};
		\draw (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$0,05$};
		\draw (R.east)--(Rc.west) node[etiquette] {$0,28$};
		\draw (Rc.east)--(Rca.west) node[etiquette] {$0,85$};
		\draw (Rc.east)--(Rcb.west) node[etiquette] {$0,15$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

%%%% arbre en pstricks
%\begin{center}
%%\bigskip
%{\small
%\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm,nrot=:U}
%\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
% {\TR{}}
% {
% \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,6$}}
%	 {
%	 \TR{$T$}\naput{$0,9$}
%			 \TR{$\overline T$}\nbput{\blue $1-0,9=0,1$}
%	 }
% \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$B$}\ncput*{$0,12$}}
%	 {
%	 \TR{$T$}\naput{$0,95$}
%			 \TR{$\overline T$}\nbput{\blue $1-0,95=0,05$}
%	 }
% \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$C$}\nbput{\blue $1-0,6-0,12=0,28$}}
%	 {
%	 \TR{$T$}\naput{$0,85$}
%			 \TR{$\overline T$}\nbput{\blue $1-0,85=0,15$}
%	 }
% }
%}% fin du \small
%%\bigskip
%\end{center}

\item $P(A \cap \overline{T}) = P(A) \times P_A(\overline{T}) = 0,6 \times 0,1 = 0,06$

 Dans le contexte de l'exercice, la probabilité que la lame provienne du fournisseur A et ne soit pas conforme est égale à 0,06.
\item Les événements $A$, $B$ et $C$ forment une partition de l'univers, donc d'après la loi des probabilités totales on a :

$\begin{aligned}
	P(T) &= P(A \cap T) + P(B \cap T) + P(C \cap T) \\
	&= 0,6 \times 0,9 + 0,12 \times 0,95 + 0,28 \times 0,85 \\
	&= 0,892
\end{aligned}$

La probabilité que la lame testée soit conforme est donc bien égale à 0,892.

\item Déterminer la probabilité qu'une lame provienne du fournisseur B sachant qu'elle n'est pas con-forme revient à calculer $P_{\overline{T}}(B)$.

$P_{\overline{T}}(B) =\dfrac{ P(B\cap \overline{T}) }{P(\overline{T})} = \dfrac{0,12 \times 0,05 }{1-0,892} = \dfrac{0,006}{0,108}\approx \np{ 0,055556} $

 La probabilité,arrondie au millième, que la lame provienne du fournisseur $B$ sachant que la lame testée n'est pas conforme est égale à $0,056$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}


\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale, de paramètres $n=75$ et $p=0,108$.

\emph{Remarque :} ici, on a une rédaction plus légère, car l'énoncé demande d'admettre que $X$ suit une loi binomiale. Sinon, il faudrait les trois arguments classiques :

\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
	\item On a une épreuve à deux issues, succès de probabilité $p = 0,108$ et échec;
	\item cette épreuve est répétée $n = 75$ fois, de façon identique et indépendante (car la constitution de l'échantillon est assimilé à un tirage au sort \textbf{avec} remise);
	\item $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur ces $n$ répétitions.
\end{itemize}


\item $P(X=6)= \ds \binom{75}{6} \times 0,108^6 \times (1-0,108)^{75-6} = \binom{75}{6}\times 0,108^6\times 0,892^{69} \approx \np{0,1201406} $

La probabilité que 6 lames exactement soient non conformes dans cet échantillon est égale à $0,120$, résultat arrondi au millième.

\item $P(X >8) = P(X \geqslant 9) \approx 0,422$

Or $0,42 <0,5$ donc l'équipementier a raison : la probabilité qu'il y ait strictement plus de 8 lames non conformes dans cet échantillon est inférieure à $50 \%$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C}


\begin{enumerate}
\item $M_n$ est la variable aléatoire moyenne d'un échantillon de taille $n$ de la variable aléatoire $X$ on a donc :

$\begin{aligned} E\left(M_{n}\right) &= E(X) = np\\
	& = 75 \times 0,108 \text{ car } X \text{ suit une loi binomiale de paramètres 75 et 0,108}\\
	&= 8,1
	\end{aligned} $

et $\begin{aligned}[t] V\left(M_{n}\right) &= \dfrac{1}{n} V(X)\\
	& = \dfrac{75 \times 0,108 \times (1-0,108)}{n} \text{ car } X \text{ suit une loi binomiale de paramètres 75 et 0,108}\\
	&= \dfrac{7,2252}{n}
\end{aligned} $

\item D'après l'inégalité de concentration, pour tout entier $n$ non nul :

 $\forall t \in \R^{*+}, \quad P\Big(\big|M_n - E(X)\big| \geqslant t\Big) \leqslant \dfrac{V(X)}{nt^2 } $.

Avec $t= 2$ on a : $P\Big(\big|M_n - 8,1\big| \geqslant 2\Big) \leqslant \dfrac{7,2252}{n\times 2^2 } $.

Soit : $P\left(\left|M_{n}-8,1\right| \geqslant 2\right) \leqslant \dfrac{1,8063}{n}$ qui est l'inégalité demandée.

\item $ \begin{aligned}[t]
P\left(\left|M_{n}-8,1\right|<2\right) \geqslant 0,95
& \iff 1- P\left(\left|M_{n}-8,1\right|<2\right) \leqslant 1- 0,95 \\
	&\iff P\left(\left|M_{n}-8,1\right| \geqslant 2\right) \leqslant 0,05
	\end{aligned} $.

Or $P\left(\left|M_{n}-8,1\right| \geqslant 2\right) \leq \dfrac{1,8063}{n}$ donc nous recherchons des entiers $n$ tels que $\dfrac{1,8063}{n} \leqslant 0,05$

$\begin{aligned}
\dfrac{1,8063}{n} \leqslant 0,05 &\iff \dfrac{1,8063}{0,05}\leqslant n\\
	&\Longrightarrow 36,126 \leqslant n\\
	&\Longrightarrow 37\leqslant n
	\end{aligned} $.

 donc à partir de 37, on a $P\left(\left|M_{n}-8,1\right|<2\right) \geqslant 0,95 $

Dans le contexte de l'exercice, si l'équipementier est présent à au moins 37 compétitions, on peut affirmer, au risque de 5\%, que la moyenne observée des lames non conformes sera comprise entre $6,1$ et $10,1$ soit entre 7 et 10.
\end{enumerate}

\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\begin{enumerate}[itemsep=5mm]
	\item \textbf{L'affirmation 1 est vraie }

	Pour tout réel $x$, $f'(x) = -4\e^{x} -\sin(x) +\cos(x)$

	Donc pour tout réel $x$, $f'(x) +f(x) = -4\e^{x} -\sin(x) +\cos(x) + 4 \e^{-x}+\cos (x)+\sin (x)= 2\cos(x)$

	donc la fonction $f$ définie sur $\R$ par
	\quad $f(x)=4 \e^{-x}+\cos (x)+\sin (x)$\quad
	est solution de l'équation différentielle $ y'+y=2 \cos (x)$.

	\item \textbf{L'affirmation 2 est vraie }

	On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par \quad $f(x)=2 x$ \quad et \quad $g(x)=\sin (x)$.

	Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)=f(x)-g(x)= 2x - \sin (x)$.

	On aura $f(x) =g(x)$ si et seulement si $h(x)=0$.

	$h$ est dérivable sur $\R$ comme somme de fonctions dérivables sur $\R$, et pour tout réel $x$ on a \\
	$h'(x) =2 -\cos(x)$.

	Or pour tout réel $x$, $\cos(x) \leqslant 1$ donc $h'(x) >0$.

	On en déduit que la fonction $h$ est strictement croissante sur $\R$

%	Pour tout réel $x$ on a : $\begin{aligned}[t] -1 \leq \sin(x) \leq 1 &\implies 1 \geq - \sin(x) \geq -1 \\
%		&\implies 2x+1 \geq 2x -\sin(x) \geq 2x-1
%		\end{aligned}$.
%
%	Or $\lim\limits_{x \to +\infty} (2x-1) = + \infty$ donc, par comparaison, $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)= + \infty$
%
%	et $\lim\limits_{x \to -\infty} (2x+1) = - \infty$ donc, par comparaison, $\lim\limits_{x \to -\infty} h(x)=- \infty$
%
%	$h$ est donc une fonction continue (car dérivable) sur $\R$, strictement monotone.
%
%	0 est une valeur intermédiaire entre $\lim\limits_{x \to -\infty} h(x)$ et
%	 $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x)$
%
%	 donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $h(x) =0$ admet une unique solution.

	De plus $h(0) = 2\times 0 -\sin (0) = 0 -0 =0$ donc l'équation $h(x)=0$ admet une solution qui sera unique d'après la stricte monotonie.. %cette solution est 0.

	Les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ ont un seul point d'intersection, le point d'abscisse 0.

	\item \textbf{L'affirmation 3 est fausse }

	On considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par :
	\[v_{n}=\dfrac{2 n+\sin (n)}{n+1}\]

	Pour tout entier $n$ :

	 $\begin{aligned}
	 -1 \leqslant \sin(n) \leqslant 1 &\implies 2n-1 \leqslant 2n + \sin(n) \leqslant 2n+1 \\
	 	&\implies \dfrac{2n-1}{n+1} \leqslant \dfrac{2n+\sin(n) } {n+1} \leqslant \dfrac{2n+1}{n+1} \quad \text{ car } n+1 >0 \\
	 	&\implies \dfrac{2n+2 -3}{n+1} \leqslant \dfrac{2n+\sin(n) } {n+1} \leqslant \dfrac{2n+2-1}{n+1}\\
	 	 &\implies 2 - 3\times \dfrac{1}{n+1} \leqslant v_n \leqslant 2 - \dfrac{1}{n+1}\\
	 	 \end{aligned} $


	 	 Or $\lim\limits_{n\to +\infty }\dfrac{1}{n+1}=0$
	 	donc, par somme et produit, $\lim\limits_{n\to +\infty }2 - 3\times \dfrac{1}{n+1}=2 $ et $\lim\limits_{n\to +\infty }2 - \dfrac{1}{n+1}=2 $

	 	 D'après le théorème des gendarmes, on a donc : $\lim\limits_{n \to +\infty} v_n =2$


	 La suite $\left(v_{n}\right)$ converge vers 2.

	\item \textbf{L'affirmation 4 est vraie }

		Pour tout entier naturel non nul $n$, posons $P_n$ l'affirmation :\quad \og $u_{n}=n^{2}$\fg{}.

	Démontrons par récurrence que les affirmations $P_n$ sont toutes vraies.

	\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
		\item \textbf{Initialisation :} On a d'une part : \quad $u_1 = 1$;

		et d'autre part :\quad $1^2 = 1$.

		On constate donc que l'affirmation $P_1$ est vraie.

		\item \textbf{Hérédité :} Soit $n$ un entier naturel non nul. On suppose que l'affirmation $P_n$ est vraie.

		$\begin{aligned}
			P_n \text{ est vraie}
			&\implies u_n = n^2\\
			&\implies u_n + 2n + 1 = n^2 + 2n + 1\\
			&\implies u_{n+1} = n^2 + 2n+1\quad \text{ en utilisant la relation de récurrence de }(u_n)\\
			&\implies u_{n+1} = (n+1)^2\\
			&\implies P_{n+1}\text{ est vraie.}
		\end{aligned}$
		\item \textbf{Conclusion :} On a montré que l'affirmation $P_1$ est vraie, et que pour un $n$ entier naturel non nul, si $P_n$ est vraie, alors $P_{n+1}$ est vraie.

		En vertu du principe de récurrence, on en déduit que, pour tout entier naturel non nul $n$, l'affirmation est vraie, et donc on a établi une expression explicite du terme général de la suite $(u_n)$ :
		\[\forall n \in \N^*,\quad u_n = n^2\]
	\end{itemize}

\emph{Autre démonstration}%%% due à Denis Vergès

Soit $(v_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ non nul par: $v_n=n^2$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_1=1^2=1$
\item $v_{n+1} = (n+1)^2=n^2+2n+1= v_n + 2n+1$
\end{list}

Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ont le même premier terme $u_1=v_1=1$, et verifient la même relation de récurrence, donc elles sont identiques. On en déduit que pour tout $n\geqslant 1$, on a: $u_n=n^2$.

 \newpage

	\item \textbf{L'affirmation 5 est vraie }

	Pour tout entier naturel $n$, par $u_{n}=\e^{-n} = {\left(\dfrac{1}{\e}\right)}^n$, donc la suite $u$ est une suite géométrique de raison $q= \dfrac{1}{\e} =\e^{-1}$ et de premier terme $u_0=1$.

	$S_n$ est donc la somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique.

	On a donc, pour tout entier $n$, $S_n = u_0 \times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q} = 1 \times \dfrac{1- {\left(\e^{-1}\right)}^{n+1} }{1-\e^{-1}} = \dfrac{\e}{\e -1} \times \left( 1- {\left(\e^{-1}\right)}^{n+1}\right) $

	Or $0 < \e^{-1} <1 $ donc $\lim\limits_{n\to +\infty } {\left(\e^{-1}\right)}^{n+1}=0$

	donc, par somme et produit, $\lim\limits_{n \to +\infty} S_{n}=\dfrac{\e}{\e-1}$
\end{enumerate}


\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

%\begin{center}
%	\begin{tikzpicture}[x=(-14:30mm),y=(18:23mm),z=(90:36mm)]
%		\draw (0,0,0)node[below left]{A}--
%		(1,0,0)node[below right]{B}--
%		(1,1,0)node[right]{C}--
%		(1,1,1)node[right]{G}--
%		(0,1,1)node[above]{H}--
%		(0,0,1)node[above left]{E}-- cycle
%		(0,0,1) --(1,0,1)node[below right]{F}--(1,0,0)
%		(1,0,1) -- (1,1,1);
%		\draw[dashed] (0,1,0)node[below]{D}--(0,0,0)
%		(0,1,0)--(0,1,1) (0,1,0)--(1,1,0);
%		\foreach \coord/\lettre/\pos in {{(0.5,0,1)}/I/{below},{(0,0.5,1)}/J/{above left},{(0,0,0.5)}/K/{left}}
%		{\draw[shift={\coord}] (2pt,2pt)--(-2pt,-2pt) (2pt,-2pt)--(-2pt,2pt) (0,0)node[\pos]{\lettre} ;}
%	\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{enumerate}
	\item ABCDEFGH est un cube donc, dans le repère $\left(\mathrm{A};\vectt{AB},\vectt{AD},\vectt{AE}\right)$, on a :


A$(0;0;0)$ \, ; \, E$(0;0;1)$ \,\;\, F$(1;0;1)$ \, et \, H$(0;1;1)$.

	I est le milieu du segment [EF] donc $x_I= \dfrac{x_E+x_F}{2}= \dfrac{0+1}{2}=\dfrac{1}{2}$ \; , \; $y_I= \dfrac{x_E+x_F}{2}= \dfrac{0+0}{2}=0$ \; et \; $z_I= \dfrac{z_E+z_F}{2}= \dfrac{1+1}{2}=\dfrac{2}{2}=1$

	Donc I a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2} ; 0 ; 1\right)$

	Par le même raisonnement on a :
	 J $\left(0 ; \dfrac{1}{2} ; 1\right)$ et K $\left(0;0;\dfrac{1}{2}\right)$

	\item \begin{enumerate}
		\item
	On a :\quad $\vectt{AI}
	\begin{pmatrix}
		x_\mathrm{I} - x_\mathrm{A}\\
		y_\mathrm{I} - y_\mathrm{A}\\
		z_\mathrm{I} - z_\mathrm{A}\\
	\end{pmatrix}$ \quad soit \quad
	$\vectt{AI}
	\begin{pmatrix}
		\dfrac{1}{2}- 0\\
		0-0\\
		1-0
	\end{pmatrix}$
	\quad et donc, finalement :\quad
	$\vectt{AI}
	\begin{pmatrix}
		\dfrac{1}{2}\\
		0\\
		0\\
	\end{pmatrix}$.

	De même :\quad $\vectt{AJ}
	\begin{pmatrix}
		x_\mathrm{J} - x_\mathrm{A}\\
		y_\mathrm{J} - y_\mathrm{A}\\
		z_\mathrm{J} - z_\mathrm{A}\\
	\end{pmatrix}$ \quad soit \quad
	$\vectt{AJ}
	\begin{pmatrix}
		0 - 0\\
		\dfrac{1}{2}- 0\\
		1-0
	\end{pmatrix}$
	\quad et donc, finalement :\quad
	$\vectt{AJ}
	\begin{pmatrix}
		0\\
		\dfrac{1}{2}\\
		1\\
	\end{pmatrix}$.

	 Comme le repère est orthonormé, le produit scalaire peut se calculer avec la formule analytique :
	\quad $\vectt{AI}\cdot\vectt{AJ} = \dfrac{1}{2} \times 0 + 0 \times \dfrac{1}{2} + 1 \times 1 = 1$.

		\item
		Comme on est dans un repère orthonormé :

		$\mathrm{AI}=\sqrt{ {x_{\vectt{AI}}}^2 + {y_{\vectt{AI}}}^2 +{z_{\vectt{AI}}}^2 } = \sqrt{ \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+ 0^2+1^2}= \sqrt{\dfrac{1}{4}+0+1 }= \sqrt{\dfrac{5}{4}}= \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

		et de même : $\mathrm{AJ}=\sqrt{ 0^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2+1^2}= \sqrt{0\dfrac{1}{4}+1 }= \sqrt{\dfrac{5}{4}}= \dfrac{\sqrt{5}}{2}$.

		L'expression trigonométrique du produit scalaire donne :

		$\begin{aligned}
			\vectt{AI}\cdot\vectt{AJ}
			&= \mathrm{AI} \times \mathrm{AJ} \times \cos\left(\widehat{\mathrm{IAJ}}\right)
		\end{aligned}$

		donc, avec les valeurs connues :\quad $\begin{aligned}[t]
			\vectt{AI}\cdot\vectt{AJ}
			&= \dfrac{\sqrt{5}}{2}\times \dfrac{\sqrt{5}}{2} \times \cos\left(\widehat{\mathrm{IAJ}}\right)\\
			&= \dfrac{5}{4} \cos\left(\widehat{\mathrm{IAJ}}\right)
		\end{aligned}$

	On a donc deux expressions du même produit scalaire, ce qui donne :

		$ 1= \dfrac{5}{4} \cos\left(\widehat{\mathrm{IAJ}}\right) \iff \cos\left(\widehat{\mathrm{AIJ}}\right) = \dfrac{4}{5} $

		 D'où : $\widehat{\mathrm{AIJ}} \approx 36,9 ^\circ$ au dixième de degré près.
	\end{enumerate}

	\item \begin{enumerate}
		\item
		 On a : $\vectt{AI}
		\begin{pmatrix}
			\dfrac{1}{2}\\
			0\\
			0\\
		\end{pmatrix}$ et $\vectt{AJ}
		\begin{pmatrix}
		0\\
		\dfrac{1}{2}\\
		1\\
		\end{pmatrix}$.

		Ces coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires.

		On a :\quad $\vectt{KC}
		\begin{pmatrix}
			x_\mathrm{C} - x_\mathrm{K}\\
			y_\mathrm{C} - y_\mathrm{K}\\
			z_\mathrm{C} - z_\mathrm{K}\\
		\end{pmatrix}$ \quad soit \quad
		$\vectt{KC}
		\begin{pmatrix}
			 1-0\\
			1-0\\
			0-\dfrac{1}{2}
		\end{pmatrix}$
		\quad et donc, finalement :\quad
		$\vectt{KC}
		\begin{pmatrix}
			1\\
			1\\
			-\dfrac{1}{2}
		\end{pmatrix}$.

		Comme le repère est orthonormal, on va utiliser la formule analytique pour calculer les produits scalaires :

		\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
			\item $\vectt{KC} \cdot \vectt{AI } = 1 \times \dfrac{1}{2} +1 \times 0 - \dfrac{1}{2} \times 1 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$.\quad $\vectt{KC}$ et $\vectt{AI}$ sont orthogonaux;
			\item $\vectt{KC} \cdot \vectt{AJ} = 1 \times 0 +1 \times \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} \times (-1) = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 0$\quad $\vectt{KC}$ et $\vectt{AJ}$ sont orthogonaux.
		\end{itemize}

		$\vectt{KC}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires qui forment une base du plan (AIJ), donc il est normal au plan (AIJ).

		\item
		Par propriété, on en déduit qu'une équation cartésienne du plan (AIJ) est de la forme \\
		$1 \times x + 1 \times y - \dfrac{1}{2} \times z+d=0$ avec $d \in \R$.

		A étant un point du plan (AIJ ), ses coordonnées doivent vérifier l'équation du plan.

		$\begin{aligned}
			\mathrm{A} \in (\mathrm{AIJ})
			&\iff 1 \times 0 + 1\times 0 - \dfrac{1}{2} \times 0 + d = 0\\
			&\iff 0+ d = 0\\
			&\iff d = 0
		\end{aligned}$

		Une équation cartésienne du plan est donc bien \quad$x + y - \dfrac{1}{2} z = 0$.
	\end{enumerate}

	\item
	\begin{enumerate}
		\item
		Le vecteur $\vectt{KC}$ est un vecteur normal au plan (AIJ) donc la droite (KC) est orthogonale au plan (AIJ).

		Le point L, projeté orthogonal du point C sur le plan (AIJ) sera donc l'intersection du plan (AIJ) et de la droite (KC).

		La droite (KC) a pour vecteur directeur le vecteur $\vectt{KC}$ et passe par le point C donc une représentation paramétrique de la droite (KC) est :

			\[\begin{cases}
			x=1 + 1 \times t\\
			y=1 + 1 \times t \\
			z=0 -\dfrac{1}{2} t
		\end{cases} \quad \text{avec } t \in \R\]

		L est un point de la droite (KC) donc ses coordonnées sont donc de la forme $\left(1+t ; 1+ t ; -\dfrac{1}{2}t\right)$ avec un $t$ réel.

		Comme c'est aussi un point du plan (AIJ), ces coordonnées doivent vérifier l'équation du plan :

		$\begin{aligned}
			x_\mathrm{L} + y _{\mathrm{L}}-\dfrac{1}{2} z_\mathrm{L} = 0 &\iff (1+ t) + (1 + t) - \dfrac{1}{2} \times \left( -\dfrac{1}{2}t \right) = 0\\
			&\iff 2t + \dfrac{1}{4} t = -2\\
			&\iff \dfrac{9}{4} t = -2 \\
			& \iff t = - \dfrac{8}{9}
		\end{aligned}$

		L a donc pour coordonnées : \quad $\left( 1 - \dfrac{8}{9} ; 1 - \dfrac{8}{9} ; -\dfrac{1}{2} \times \dfrac{-8}{9} \right) $\quad soit \quad $\left( \dfrac{1}{9} ; \dfrac{1}{9} ; \dfrac{4}{9} \right)$.

		\item
		L est le projeté orthogonal du point C sur le plan (AIJ) donc la distance du point C au plan (AIJ) est égale à CL.

			Comme on est dans un repère orthonormal :

		$\begin{aligned}
		\mathrm{CL}
		& =\sqrt{ \left( x_{\mathrm{L}} - x_\mathrm{C} \right) ^2 + \left( y_{\mathrm{L}} - y_\mathrm{C} \right) ^2 + \left( z_{\mathrm{L}} - z_\mathrm{C} \right)^2 }
			 = \sqrt{ \left( \dfrac{1}{9}- 1 \right) ^2 + \left( \dfrac{1}{9}-1\right) ^2 + \left( \dfrac{4}{9} - 0 \right)^2 } \\
			& = \sqrt{ \left( - \dfrac{8}{9} \right) ^2 + \left( - \dfrac{8}{9}\right) ^2 + \left( \dfrac{4}{9} \right)^2 }
			 = \sqrt{ \dfrac{64}{81} + \dfrac{64}{81} + \dfrac{16}{81} }
			= \sqrt{\dfrac{ 144}{81}}
			= \dfrac{12}{9}
			= \dfrac{4}{3}
			\end{aligned} $

	\end{enumerate}

	\item
	\begin{enumerate}
		\item On a :\quad $\vectt{IM}
		\begin{pmatrix}
			x_\mathrm{M} - x_\mathrm{I}\\
			y_\mathrm{M} - y_\mathrm{I}\\
			z_\mathrm{M} - z_\mathrm{I}\\
		\end{pmatrix}$ \quad soit \quad
		$\vectt{IM}
		\begin{pmatrix}
			1-\dfrac{1}{2}\\
			m-0\\
			1-1
		\end{pmatrix}$
		\quad et donc, finalement :\quad
		$\vectt{IM}
		\begin{pmatrix}
			\dfrac{1}{2}\\
			m\\
			0
		\end{pmatrix}$.


			La droite (IM) a pour vecteur directeur le vecteur $\vectt{IM}$ et passe par le point I donc une représentation paramétrique de la droite (IM) est :

		\[\begin{cases}
			x=\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times s \\
			y=0 + m \times s \\
			z=1 + 0\times s
		\end{cases} \quad \text{avec } s \in \R\qquad
		\text{~~soit~~}
		\begin{cases}
			x=\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} \times s \\
			y=m s \\
			z=1
		\end{cases} \quad \text{avec } s \in \R\]

		\item
		Un vecteur directeur de la droite (KC) est : $\vectt{KC}
		\begin{pmatrix}
			1\\
			1\\
			-\dfrac{1}{2}
		\end{pmatrix}$
	et un vecteur directeur de la droite (IM) est : $\vectt{IM}
		\begin{pmatrix}
			\dfrac{1}{2}\\
			m\\
			0
		\end{pmatrix}$.

		Ces vecteurs ne sont pas colinéaires donc les droites (IM) et (KC) ne sont pas parallèles.

		Recherchons un point d'intersection éventuel.

		Les droites (IM) et (KC) sont sécantes si et seulement si le système (S): $\begin{cases}
		1 +t = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} s \\
		1 +t =m s \\
		-\dfrac{1}{2} t =1
		\end{cases}$ admet une solution.

\medskip

		$ \begin{aligned} \begin{cases}
				1 +t = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} s \\
				1 +t =m s \\
				-\dfrac{1}{2} t =1
			\end{cases}
			 & \iff \begin{cases}
			2 +2t = 1 +s \\
			1 +t =m s \\
			t = -2
			\end{cases}
			 \iff \begin{cases}
				2-4-1 = s \\
				1-2 = ms \\
				t = - 2
			\end{cases}
				 \iff \begin{cases}
				s = -3 \\
				m = \dfrac{1}{3} \\
				t = - 2
			\end{cases} \\
			\end{aligned} $

			Le système (S) admet donc une unique solution pour $m= \dfrac{1}{3}$ et pas de solution sinon.

		Les droites (IM) et (KC) sont donc coplanaires uniquement pour $m=\dfrac{1}{3}$.

		Donc les droites (IM) et (KC) ne sont pas coplanaires quelle que soit la valeur de $m$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item
		\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
			\item Limite en $0^+$ :

			$\begin{cases}
				\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty \\
					\lim\limits_{x \to 0^+} x^2 = 0^+
			\end{cases} $ donc, par quotient, $ \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = - \infty $.

			\item Limite en $+\infty$ :

			Par croissances comparées $\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} = 0$
			\end{itemize}

		\item
		$ \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = - \infty $

		donc la droite d'équation $x=0$, c'est à dire l'axe des ordonnées, est asymptote verticale à $\mathcal{C}_{f}$.

		$\lim\limits_{x \to +\infty } \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} = 0$

		donc la droite d'équation $y=0$, c'est à dire l'axe des abscisses, est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_{f}$ au voisinage de $+\infty$.

	\end{enumerate}

	\item
	Pour tout réel strictement positif $x$, $f(x) = \ln(x) \times x^{-2}$ .

	$f$ est de la forme $u\times v$ avec $\begin{cases} u(x) = \ln(x) \\ v(x) = x^{-2} \end{cases}$.

	On a : $\begin{cases} u'(x) = \dfrac{1}{x} \\ v'(x) = -2 x^{-3} \end{cases}$.

	$f'= u'v +v' u$ donc pour tout réel strictement positif $x$ :

	$\begin{aligned}
	f'(x) & = \dfrac{1}{x} \times x^{-2} + \ln(x) \times (-2 x^{-3}) \\
	 & = \dfrac{1}{x} \times {1 }{x^2} - \ln(x) \times \dfrac{2}{x^3}\\
	 & = \dfrac{1}{x^3} -\dfrac{2\ln(x)}{x^3} \\
	 & = \dfrac{1-2\ln(x)}{x^3}
	\end{aligned} $

	\item
	 $x$ est strictement positif donc $x^3$ aussi donc $f'(x)$ est du signe de $1-2\ln(x)$.

	$\begin{aligned} 1- 2\ln(x) >0 & \iff 1 > 2 \ln(x) \\
		& \iff 1 > \ln(x^2) \\
		& \iff \e > x^2 \\
		&\iff \sqrt{\e} > x \quad \text{ car } x>0\\
	\end{aligned}$

	$f(\sqrt{\e})= \dfrac{\ln(\sqrt{\e})}{{\sqrt{\e}}^2} = \dfrac{\frac{1}{2} \ln (\e)}{\e}= \dfrac{1}{2 \e}$.

		Le tableau de variations est donc :

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/0.6, signe de $f'(x)$/0.6, variations de $f$/1.5}
			{$0$,$\sqrt{\e}$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{d,+,z,-,}
			\tkzTabVar{D-/$-\infty$,+/$\dfrac{1}{2\e}$,-/$0$}
		\end{tikzpicture}
\end{center}

%%%% tableau en pstricks
%\begin{center}
%\[\begin{tablvar*}[intervalwidth=6em,stretch=1.2]{2}
%\hline
%x & 0 && \sqrt{\e} && +\infty\\
%\hline
%\text{signe de } f'(x) & \bb & + & \barre[0] & - & \\
%\hline
%\variations{\mil{\text{variations de }f} &\bb \bas{-\infty} && \haut{\frac{1}{2\e}} && \bas{0}}
%\hline
%\end{tablvar*}\]
%\end{center}

	\item L'équation réduite de la droite $\Delta$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse $a$ est \\
	$y = f'(a) (x-a) +f(a)$.

	Pour $a=1$ :

	$f'(1) = \dfrac{1- 2 \ln(1)}{1^3}= \dfrac{1-2 \times 0}{1} = 1$ \quad et \quad $f(1) = \dfrac{\ln(1)}{1^2}= \dfrac{0}{1}=0$.

	Donc : $y= 1 (x-1) +0$ soit $y = x-1$.

	L'équation réduite de la droite $\Delta$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point A est : $y=x-1$.

	\item
	Pour tout réel strictement positif $x$, $f'(x) = \left( 1- 2\ln(x)\right) \times x^{-3}$ .

	$f'$ est de la forme $g\times h$ avec $\begin{cases} g(x) =1- 2 \ln(x) \\ h(x) = x^{-3} \end{cases}$.

	On a : $\begin{cases} g'(x) = 0 -2 \times \dfrac{1}{x} \\ h'(x) = -3 x^{-4} \end{cases}$.

	$f''= g'h +h' g$ donc pour tout réel strictement positif $x$ :

	$\begin{aligned}
		f''(x) & = \dfrac{-2}{x} \times x^{-3} + \left( 1- 2\ln(x)\right) \times (-3 x^{-4})
		 = \dfrac{-2}{x} \times {1 }{x^3} - \left(1- 2\ln(x)\right) \times \dfrac{3}{x^4}\\
		& = \dfrac{-2}{x^4} -\dfrac{3 \left( 1-2\ln(x)\right) }{x^4}
		 = \dfrac{-2-3 +6\ln(x)}{x^4}
		= \dfrac{-5 +6\ln(x)}{x^4}
	\end{aligned} $

On a bien, pour tout réel strictement positif $x$, $f''(x) = \dfrac{-5+6 \ln (x)}{x^{4}}$.

	\item \begin{enumerate}
		\item
		Pour étudier la convexité de la fonction $f$, il faut étudier le signe de la dérivée seconde.

		Sur $]0;+\infty[$ , $x^4 >0$ donc $f''(x)$ est du signe de $-5 + 6 \ln(x)$.

		$\begin{aligned} -5+6 \ln(x) >0 & \iff 6 \ln(x) >5 \\
			& \iff \ln(x) > \dfrac{5}{6} \\
			& \iff x > \e ^{\frac{5}{6}} \\
		\end{aligned}$

		On a donc :

		$f''(x)$ est négatif sur $\left ]0 ; \e ^{\frac{5}{6}}\right ]$ et positif sur $\left [\e ^{\frac{5}{6}}; +\infty\right [$.

		donc $f$ est concave sur $\left ]0 ; \e ^{\frac{5}{6}}\right ]$ et convexe sur $\left [\e ^{\frac{5}{6}}; +\infty\right [$.

		$f''$ s'annule en changeant de signe en $\e ^{\frac{5}{6}}$
		et $f \left(\e ^{\frac{5}{6}}\right) = \dfrac{ \ln \left(\e ^{\frac{5}{6}}\right)}{{\e ^{\frac{5}{6}}}^2} = \dfrac{\frac{5}{6}}{ \e ^{\frac{10}{6}}}= \dfrac{5}{6 \e ^{\frac{5}{3}}}$

		Donc le point $\left( \e ^{\frac{5}{6}}; \dfrac{5}{6 \e ^{\frac{5}{3}}} \right) $ est un point d'inflexion pour $f$.

		\item
		$f$ est concave sur $\left ]0 ; \e ^{\frac{5}{6}}\right ]$ donc, sur cet intervalle, la courbe $\mathcal{C}_{f}$ est en dessous de ces tangentes, en particulier, en dessous de la tangente au point A (car $0 < 1 < \e^{\frac{5}{6}}$).

		Donc pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0 ; \e^{\frac{5}{6}}\right]$ :

		 $f(x) \leqslant x-1 \iff \dfrac{\ln(x)}{x^2} \leqslant x-1$
	\end{enumerate}

	\item
	Donc pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0 ; \e^{\frac{5}{6}}\right]$ :
	 \begin{itemize}[label={\textbullet~}]
	 \item Pour tout réel $x$ appartenant à $\left]0 ; \e^{\frac{5}{6}}\right]$ : $ f(x) \leqslant x-1$ et donc, en particulier, $ f\left(\e^{\frac{5}{6}}\right)\leqslant \e^{\frac{5}{6}}-1$ .
	 \item $\e^{\frac{5}{6}} > \e^{\frac{1}{2}}$ et $f$ est décroissante sur $\left [\sqrt{e} ; +\infty \right [$
	 	 donc pour tout $x \geqslant \e^{\frac{5}{6}}$, $f(x) \leqslant f\left(\e^{\frac{5}{6}}\right)$

	 \item Pour tout $x \geqslant \e^{\frac{5}{6}}$, $x-1 \geqslant \e^{\frac{5}{6}}-1$
	 \end{itemize}

	 Pour tout $x \geqslant \e^{\frac{5}{6}}$, on a donc :
	 	 $ x-1 \geqslant \e^{\frac{5}{6}}-1 \geqslant f\left(\e^{\frac{5}{6}}\right) \geqslant f(x)$


	 Soit $ x-1 \geqslant \dfrac{\ln (x)}{x^{2}}$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item
	Pour tout entier naturel non nul $n$ :
\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
	\item $1 \leqslant n$
	\item Sur l'intervalle $[1; n]$ ,\quad $\ln(x) \geqslant 0$ et $x^2 \geqslant 1$ donc $f(x) \geqslant 0$
\end{itemize}

	donc $I_{n}$ est égale à l'aire, en unité d'aire, de la surface délimitée par :
	\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
		\item la courbe $\mathcal{C}_{f}$ ;
		\item l'axe des abscisses ;
		\item les droites d'équations $x=1$ et $x=n$.
	\end{itemize}

	\item
	Soit $n$ un entier naturel non nul.

	$\begin{aligned} I_{n+1} - I_n &= \int_{1}^{n+1} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \d x-\int_{1}^{n} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \d x
		= \int_{1}^{n+1} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \d x +\int_{n}^{1} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \d x\\
		&= \int_{n}^{n+1} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \d x
		= \int_{n}^{n+1} f(x)\d x\\
		\end{aligned}$

		Or, sur l'intervalle $[1;+\infty[$, $f(x) \geqslant 0$ donc $\ds \int_{n}^{n+1} f(x)\d x \geqslant 0$ soit $I_{n+1} - I_n \geqslant 0$.

		 La suite $(I_{n})$ est donc croissante.

	\item
	On souhaite calculer une approximation de \quad $\ds \int_{1}^{10} f(x) \d x$ \quad en déterminant la somme des aires des rectangles tracés dans le graphique.

	Soit $i$ un entier compris entre 1 et 9.

Le $i$-ème rectangle a pour largeur 1 et pour hauteur le maximum de $f(x)$ pour $x \in [i ; 1+1]$

	Le premier rectangle a pour aire : $ 1 \times f(\sqrt{e})= \frac{1}{2 e}$

	ce qui est déjà stocké dans la variable {\ttfamily S} par la ligne : {\ttfamily S = 1 /(2 * exp(1)) }

	Pour les rectangles suivants, la fonction $f$ étant décroissante sur l'intervalle $[2;+\infty[$, la hauteur sera $f(i)$ soit $\dfrac{\ln (i)}{i^2}$

	Pour $i$ allant de 2 à 9, il faut donc rajouter à S, la valeur du $i$-ème rectangle soit $\dfrac{\ln (i)}{i^2}$.

	Remarque : en langage Python la commande log(c) renvoie la valeur de $\ln(c)$.

	Le programme complété est donc :

	\begin{center}
		\begin{tblr}{colspec={X[6cm,font=\ttfamily]},hline{1,Z}={solid}, vlines}
			from math import *\\
			\\
			S=1/(2*exp(1))\\
			for i in range (2,10):\\
			\quad S = {\blue S + log(i)/(i**2)}\\
			print(S)\\
		\end{tblr}
	\end{center}

	\item $\displaystyle I_{n}=\int_{1}^{n} \dfrac{\ln (x)}{x^{2}} \d x $

$x \longmapsto \dfrac{ \ln (x)}{x^2} $ \quad est de la forme $u v'$ avec \quad $\begin{cases}u(x)=\ln(x)\\ v'(x)= \dfrac{1}{x^2}\end{cases}$

Ce qui implique : \quad $\begin{cases}u'(x)=\dfrac{1}{x} \\v(x)=\dfrac{-1}{x} \end{cases}$

Les fonctions $u$ et $v$ sont continues et dérivables sur $\left[1;n \right]$ et les fonctions $u'$ et $v'$ sont continues sur $\left[1;n \right]$, donc, d'après la formule d'intégration par parties :

$\displaystyle \int_{a}^{b} u(x)v'(x)\, \mathrm{d}x = \Big [ u(x)v(x)\strut\Big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x) \, \mathrm{d}x$\

d'où $
\begin{aligned}[t]
	I_n & =\Big[ \dfrac{-1}{x} \times \ln(x) \Big]_1^{n}-\int_1^{n} \dfrac{1}{x}\times \dfrac{-1}{x} \, \mathrm{d}x
	 = \dfrac{-1}{n} \times \ln(n)-\dfrac{-1}{1} \times \ln(1) - \int_1^{n} \dfrac{-1}{x^2} \, \mathrm{d}x \\
	& = \dfrac{-\ln (n) }{n}- \Big[\dfrac{1}{x}\Big]_1^{n}
	 =-\dfrac{\ln(n)}{n} - \left(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{1}\right)
	= -\dfrac{\ln(n)}{n} - \dfrac{1}{n} + \dfrac{n}{n}\\
	&= \dfrac{-\ln (n)-1+n}{n}
\end{aligned}	$


pour tout entier naturel non nul $n$ on a donc bien : $I_{n}=\dfrac{n-1-\ln (n)}{n}$.

	\item $I_{n}=\dfrac{n-1-\ln (n)}{n} = 1 - \dfrac{1}{n} - \dfrac{\ln(n)}{n}$

$\begin{cases}
	\lim\limits_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0\\
	\text{Par croissances comparées,} \quad \lim\limits_{n \to +\infty} \dfrac{\ln(n)}{n}=0
\end{cases} $ donc, par somme, $\lim\limits_{n \to +\infty} I_n=1$

\end{enumerate}


\end{document}