\documentclass[10pt,a4paper,french]{article} %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} %\usepackage{fontspec}%%% Pour Xelatex \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %%% chargement des packages utiles \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage[pstricks]{tablvar} \usepackage{esvect} \usepackage{babel} \usepackage[capsit]{frenchmath} \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyvrb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{scratch3} %%% Auteurs %Tapuscrit : François Kriegk %Relecture : %%% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} %%% charge pst-plot, pst-node, pst-3d, pst-math et multido \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %%% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} %%% Définitions ou redéfinitions \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle %%% Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} %%% Formatage du pdf \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale générale, spécialité}, pdftitle = {Baccalauréat -- Session 2026 -- Spécialité Mathématiques}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} %%% Redéfinitions \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \providecommand{\up}{\textsuperscript} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %%% En-tête et pied de page \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 1} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{9 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{% \decofourleft~Baccalauréat Asie -- 9 juin 2026~\decofourright\\[7pt]% Sujet 1\\[7pt]% \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}} \end{center} \section*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points} Un tireur à l'arc s'entraîne sur une cible dans le but d'atteindre son centre. On modélise la situation de la façon suivante : \begin{itemize}[label={\textbullet~}] \item au premier tir, il atteint le centre de la cible avec une probabilité de $\dfrac{1}{2}$; \item pour les tirs suivants : \begin{itemize}[label={\textbullet~}] \item lorsqu'il a atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne à nouveau le centre de la cible est $\dfrac{4}{5}$; \item lorsqu'il n'a pas atteint le centre de la cible au tir précédent, la probabilité qu'il atteigne le centre de la cible est $\dfrac{1}{3}$. \end{itemize} \end{itemize} Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère l'événement $T_{n}:$ \og Le tireur atteint le centre de la cible au $n$-ième tir \fg{}. On note $p_{n}=P\left(T_{n}\right)$ la probabilité que l'évènement $T_{n}$ se réalise. \begin{enumerate} \item Donner la valeur de $p_{1}$ et montrer que $p_{2}=\dfrac{17}{30}$. \item Recopier sur la copie l'arbre de probabilité suivant et compléter les pointillés avec les probabilités qui conviennent : \begin{center} \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}] % Styles (MODIFIABLES) \tikzstyle{fleche}=[thick] \tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] \tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] \tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt] % Dimensions (MODIFIABLES) \def\DistanceInterNiveaux{3} \def\DistanceInterFeuilles{1} % Dimensions calculées (NON MODIFIABLES) \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles} % Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles) \node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {}; \node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$T_n$}; \node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$T_{n+1}$}; \node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{T_{n+1}}$}; \node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{T_{n}}$}; \node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$T_{n+1}$}; \node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{T_{n+1}}$}; % Arcs (MODIFIABLES : Styles) \draw[fleche](R.east)--(Ra.west) node[etiquette]{$p_n$}; \draw[fleche](Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette]{$\dfrac{4}{5}$}; \draw[fleche](Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette]{$\dots$}; \draw[fleche](R.east)--(Rb.west) node[etiquette]{$\dots$}; \draw[fleche](Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette]{$\dots$}; \draw[fleche](Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette]{$\dots$}; \end{tikzpicture} \end{center} \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : \[p_{n+1}=\dfrac{7}{15} p_{n}+\dfrac{1}{3}\] \item On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : \[u_{n}=p_{n}-\dfrac{5}{8}\] \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{7}{15}$. \item Déterminer une expression de $u_{n}$ en fonction de $n$. \item En déduire une expression de $p_{n}$ en fonction de $n$. \end{enumerate} \item Déterminer la limite de la suite $(p_{n})$ et interpréter cette limite dans le contexte de l'exercice. \newpage \item On considère ci-dessous une fonction \texttt{seuil}, incomplète, écrite en langage Python. Recopier cette fonction sur la copie en complétant les pointillés afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $p_{n}$ soit supérieur ou égal à 0,6. \begin{center} \begin{tblr}{vlines,hline{1,Z}={solid},column{1}={4cm,font=\ttfamily}} def seuil():\\ \quad n = 1\\ \quad p = 0.5\\ \quad while .........:\\ \quad \quad n = .........\\ \quad \quad p = .........\\ \quad return .........\\ \end{tblr} \end{center} \item Résoudre dans $\N$ l'inéquation \quad $p_{n} \geqslant 0,6$. \end{enumerate} \section*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points} Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en justifiant votre choix. Une réponse non argumentée ne sera pas prise en compte dans l'évaluation. \begin{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1 ;+\infty[$ par : \[f(x)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}\] \textbf{Affirmation 1 :} La fonction $f$ admet pour limite 1 en $+\infty$. \item On considère la suite $(w_{n})$ définie par \quad $w_{0}=1$ \quad et pour tout entier naturel $n$ par : \[w_{n+1}=w_{n}+2 n+3\] \textbf{Affirmation 2 :} Pour tout entier naturel $n$, \[w_{n}=(n+1)^{2}\] \item Soit $p$ un nombre réel tel que \quad $0 < p < 1$. On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres 3 et $p$. On note $P\big(X=1\big)$ la probabilité de l'évènement $(X=1)$. \textbf{Affirmation 3 :}\quad $P\big(X=1\big)=3 p-6 p^{2}+3 p^{3}$. \item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ par : \[v_{n}=\int_{0}^{1} \e^{n x} \d x\] \textbf{Affirmation 4 :} Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, \[v_{n}=\dfrac{\e^{n}}{n}\] \item On colorie en rouge, jaune ou noir chacune des 16 cases d'un quadrillage. \textbf{Affirmation 5 :} On peut réaliser $\ds \binom{16}{3}$ coloriages différents. \end{enumerate} \section*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points} Dans l'espace muni d'un repère orthonormé \Oijk{} de l'espace, on considère les points suivants \[\mathrm{A}(0 ; 0 ; 1) ;\quad \mathrm{B}(1 ; 2 ; 3) ;\quad \mathrm{C}(3 ; 3 ; 1) ;\quad \mathrm{E}(2 ;-2 ; 2) ;\quad \mathrm{F}(3 ; 0 ; 4) \quad \text{et} \quad \mathrm{G}(5 ; 1 ; 2)\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que les points B, C et E ne sont pas alignés. \item Justifier que le vecteur $\vectt{AF}$ est normal au plan (BCE). \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (BCE) est \quad $x+z-4=0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que le point G n'appartient pas au plan (BCE). \item Montrer que les vecteurs $\vectt{BE}$, $\vectt{BC}$ et $\vectt{AG}$ ne sont pas coplanaires. \item En déduire que la droite (AG) et le plan (BCE) sont sécants. \end{enumerate} \end{enumerate} Pour la suite de l'exercice, on appellera P le point d'intersection de la droite (AG) et du plan (BCE). \begin{enumerate}[resume] \item \begin{enumerate} \item Montrer qu'une représentation paramétrique de la droite (AG) est : \[\begin{cases} x=5 t \\ y=t \\ z=1+t \end{cases} t \in \R\] \item En déduire les coordonnées du point P. \item Montrer que le point P est le milieu du segment [EC]. \end{enumerate} \item Déterminer l'intersection des plans (BCE) et (ACG). \end{enumerate} \section*{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points} \begin{enumerate} \item On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$ par : \[g(x)=x \cos (x)-\sin (x)\] On admet que la fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$ et on note $g'$ sa dérivée. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$, on a : \[g'(x)=-x \sin (x)\] \item On donne le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$ ci-dessous. Justifier chacun des éléments qui figurent dans ce tableau de variations. \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$/0.7, $g$/2} {$0$,$\pi$,$2\pi$} \tkzTabVar{+/$0$,-/$-\pi$,+/$2\pi$} \end{tikzpicture} \end{center} \item Montrer qu'il existe une unique valeur réelle $\alpha$ dans l'intervalle $[\pi ; 2 \pi]$ telle que $g(\alpha)=0$. \item En déduire le tableau de signes de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0 ; 2 \pi]$. \end{enumerate} \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$ par : \[f(x)=\dfrac{\sin (x)}{x}\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$ et on note $f'$ sa dérivée. \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$ on a : \[f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^{2}}\] \item Étudier le signe de la fonction $f'$ sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ; 2 \pi]$. \item Déterminer la limite de $f$ en 0. On pourra utiliser le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0. \end{enumerate} \item On considère deux nombres réels $r$ et $s$ qui vérifient l'inégalité : \quad $0