% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : F P % relecture : % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : % version 0 : 2026-06-20 % \documentclass[10pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} %\usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale, spécialité J2}, pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) -- Session 2026 -- générale}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} % Réglage entête, pied de page \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{10 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} % Titre \begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt] Corrigé\\[10pt] \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} Voie générale -- spécialité J2 -- Asie -- 10 juin 2026 }} \end{center} \section*{\textsc{Exercice 1 :\hfill 5 points}} \subsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item La fonction $f:x \mapsto \dfrac{x-2}{2x-3}$ est dérivable sur $]-\infty~;~\frac32[$ en tant que quotient de fonctions polynomiales, le dénominateur étant non nul. On a : \[\begin{array}{rcl} f'(x) &=& \dfrac{1 \times (2x - 3) - (x - 2) \times 2}{(2x - 3)^2} \\ &=& \dfrac{2x - 3 - 2x + 4}{(2x - 3)^2}\\ &=& \dfrac{1}{(2x - 3)^2} \end{array}\] Pour tout $x \in \left]-\infty~;~\frac32\right[$,\: $(2x - 3)^2 > 0$, donc $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $\left]-\infty~;~\frac32\right[$. Étudions les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition : \begin{itemize} \item Limite en $-\infty$: \[\begin{matrix} f(x) &=&\dfrac{x-2}{2x-3} \\ &=&\dfrac{x\left(1-\dfrac2{x}\right)}{x\left(2-\dfrac3{x}\right)}\\ & =&\dfrac{1-\frac2{x}}{2-\frac3{x}}, \\ \end{matrix}\] donc puisque $\displaystyle \lim_{x \to - \infty}\dfrac2{x} = \displaystyle \lim_{x \to - \infty}\dfrac3{x} = 0$, on en déduit que $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = \dfrac12$ \text{(quotient de limites)} \item Limite en $\frac{3}{2}, \: x < \frac{3}{2}$: \[ \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{\substack{x \to \frac32\\ x < \frac32}}x - 2 = -\frac12 \\ \displaystyle \lim_{\substack{x \to \frac32\\ x < \frac32}} 2x-3 = 0^- \end{array}\right\} \Rightarrow \lim_{\substack{x \to \frac32\\ x < \frac32}} f(x)= +\infty \text{ (quotient de limites)} \] \end{itemize} On en déduit donc le tableau de variations suivant: \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$ / 1 , $f'(x)$ / 1 , $f$ / 2}{$-\infty$, $\frac32$} \tkzTabLine{, +, d} \tkzTabVar{-/ $\frac12$, +D/ $+\infty$} \end{tikzpicture} \end{center} \item Sur l'intervalle $[- \infty~;~\frac32]$, donc a fortiori sur l'intervalle [0~;~1] la fonction $f$ est strictement croissante. Ainsi : \[\begin{array}{rcl} 0 \leqslant x \leqslant 1 &\implies& f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1) \\ &\implies& \dfrac{-2}{-3} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{-1}{-1} \\ &\implies& \dfrac{2}{3} \leqslant f(x) \leqslant 1 \end{array}\] Puisque $\frac{2}{3} \geqslant 0$, on en déduit que pour tout $x \in [0~;~1]$,\: $f(x) \in [0~;~1]$. \end{enumerate} \medskip \subsection*{Partie B} \begin{enumerate} \item Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. \begin{itemize} \item \textbf{Initialisation :} Pour $n = 0$, on a $u_0 = 0$ et $u_1 = f(0) = \frac{2}{3}$. On a bien $0 \leqslant 0 \leqslant \frac{2}{3} \leqslant 1$, soit $0 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 1$. La propriété est initialisée. \item \textbf{Hérédité :} Soit $n \in \N$, tel que $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$% montrons que $0\leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 1$. La fonction $f$ étant strictement croissante sur $[0~;~1]$, elle conserve l'ordre, on a donc: \[\begin{array}{rl} & 0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1 \\ \implies & f(0) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1}) \leqslant f(1) \\ \implies & \frac{2}{3} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1 \end{array} \] Comme $0 \leqslant \frac{2}{3}$, on obtient $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 1$. L'encadrement est vrai au rang $n + 1$. \item \textbf{Conclusion :} L'encadrement est vrai au rang 0 et s'il est vrai à un rang supérieur ou égal à 0, il l'est aussi au rang suivant : par le principe de récurrence : Pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 1$. \end{itemize} \item Le résultat précédent montre : -- que $u_n \leqslant u_{n+1}$ donc que la suite $(u_n)$ est croissante et -- majorée par 1 puisque tous ses termes le sont. D'après le théorème de convergence monotone, la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $\ell$ vérifiant $0 \leqslant \ell \leqslant 1$. \item La fonction $f$ étant continue, la limite $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$. \[\begin{array}{rcl} \dfrac{x - 2}{2x - 3} = x &\iff& x - 2 = x(2x - 3) \\ &\iff& x - 2 = 2x^2 - 3x \\ &\iff& 2x^2 - 4x + 2 = 0 \\ &\iff& 2(x - 1)^2 = 0 \\ &\iff& (x - 1)^2 = 0\\ &\iff& (x - 1) = 0\\ &\iff& x = 1\\ \end{array}\] On en déduit que $\ell = 1$ et donc que la suite $(u_n)$ converge vers 1. \item La fonction \texttt{seuil(0.0001)} renvoie la plus petite valeur de l'entier $n$ telle que $u_n \geqslant 1 - \np{0,0001}$, c'est-à-dire $u_n \geqslant \np{0,9999}$. La valeur \np{5000} signifie que c'est à partir du rang $n = \np{5000}$ que les termes de la suite dépassent \np{0,9999}. \item \begin{enumerate} \item Les premiers termes sont : \[\begin{array}{rcl} u_0 &=& 0 \\ u_1 &=& \frac{2}{3} \\ u_2 &=& \frac{\frac{2}{3} - 2}{2\left(\frac{2}{3}\right) - 3} = \frac{-\frac{4}{3}}{-\frac{5}{3}} = \frac{4}{5} \\ u_3 &=& \frac{\frac{4}{5} - 2}{2\left(\frac{4}{5}\right) - 3} = \frac{-\frac{6}{5}}{-\frac{7}{5}} = \frac{6}{7} \end{array}\] \item On peut conjecturer que $u_n = \dfrac{2n}{2n + 1}$. Démontrons-le par récurrence : \begin{itemize} \item \textbf{Initialisation :} Pour $n = 0$, $\frac{2 \times 0}{2 \times0 + 1} = \frac01 = 0 = u_0$. La propriété est vraie au rang 0. \item \textbf{Hérédité :} Soit $n \in \N$, tel que $u_n = \frac{2n}{2n + 1}$. \[\begin{array}{rcl} u_{n+1} &=& f(u_n) = \frac{\frac{2n}{2n+1} - 2}{2\left(\frac{2n}{2n+1}\right) - 3} \\ &=& \frac{\frac{2n - 2(2n+1)}{2n+1}}{\frac{4n - 3(2n+1)}{2n+1}} \\ &=& \frac{2n - 4n - 2}{4n - 6n - 3} \\ &=& \frac{-2n- 2}{-2n - 3} \\&=& \frac{2n+2}{2n+3}\\ &=& \frac{2n+2}{2n+2 + 1}\\ u_{n+1} &=&\dfrac{2(n+1)}{2(n+1) + 1}\\ \end{array}\] La relation est vraie au rang $n + 1$. \item La relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n \geqslant 0$, elle l'est aussi au rang $n + 1$. Par le principe de récurrence on a donc montré que: \[\text{quel que soit}\: n \in \N,\enskip u_n=\frac{2n}{2n+1}\] \end{itemize} \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}} \subsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item L'épreuve consiste en la répétition de $n = 16$ lancers francs identiques et indépendants. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli avec deux issues : succès (probabilité $p = 0,492$) ou échec. La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n = 16$ et $p = 0,492$, notée $\mathcal{B}(16~;~0,492)$. \item L'espérance est donnée par : \[\begin{array}{rcl} E(X) &=& n \times p \\ &=& 16 \times 0,492 \\ &=& 7,872 \end{array}\] En moyenne, sur \np{16000} tirs, le joueur réussira environ \np{7872} lancers francs . \item Calcul de la probabilité d'avoir exactement 5 succès : \[ \begin{array}{rcl} P(X = 5) &=& \binom{16}{5} \times (0,492)^5 \times (1 - 0,492)^{16 - 5} \\ P(X = 5)&\approx& 0,073 \end{array} \] \item Probabilité de réussir au moins 6 lancers francs : \[ \begin{array}{rcl} P(X \geqslant 6) &=& 1 - P(X \leqslant 5) \\ &\approx& 1 - 0,117 \\ P(X \geqslant 6)&\approx& 0,883 \end{array} \] \end{enumerate} \subsection*{Partie B} \begin{enumerate} \item Le joueur effectue 3 lancers francs. La variable $Y$ peut donc prendre les valeurs $0, 1, 2, 3$. \item $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3~;~p)$. \[ \begin{array}{rcl} P(Y = 2) &=& \binom{3}{2} p^2 (1 - p)^1 \\ &=& 3p^2(1 - p) \\ &=& 3p^2 - 3p^3 \end{array} \] \item Loi de probabilité de $Y$ : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline $y_i$ & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline $P(Y = y_i)$ & $(1 - p)^3$ & $3p(1 - p)^2$ & $3p^2(1 - p)$ & $p^3$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \item Calcul de $P(Y \geqslant 2)$ : \[ \begin{array}{rcl} P(Y \geqslant 2) &=& P(Y = 2) + P(Y = 3) \\ &=& (3p^2 - 3p^3) + p^3 \\ &=& -2p^3 + 3p^2 \end{array} \] \item \begin{enumerate} \item Étude de $f(x) = -2x^3 + 3x^2$ sur $[0~;~1]$. \[\begin{array}{rcl} f'(x) &=& -6x^2 + 6x \\ &=& 6x(1 - x) \end{array}\] Sur $[0~;~1]$, $6x \geqslant 0$, $f'(x)$ est donc du signe de $1 - x $. Or \[1 - x > 0 \iff 1 >x.\] On a donc pour $x \in [0~;~1[$,\: $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0~;~1]$. \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit{$x$ / 1 , $f'(x)$ / 1 , $f$ / 2}{$0$, $1$} \tkzTabLine{, +, z} \tkzTabVar{-/ $0$, +/ $1$} \end{tikzpicture} \end{center} \item Sur l'intervalle $[0~;~1]$, la fonction $f$ est continue et strictement croissante. De plus, $f(0) = 0$ et $f(1) = 1$. Puisque $0,9 \in [0~;~1]$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0,9$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[0~;~1]$. \item À l'aide de la calculatrice : \[ \begin{array}{rcl} f(0,80) &=& 0,896\\ f(0,81) &=& 0,905 \end{array} \implies f(0,80) < 0,9 < f(0,81) \] L'encadrement est donc $0,80 \leqslant \alpha \leqslant 0,81$. \item La valeur $\alpha$ représente la probabilité de réussite minimale qu'un joueur doit avoir sur un lancer franc pour que sa probabilité de réussir au moins 2 lancers sur 3 soit égale à $90\,\%$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Exercice 3 \hfill 5 points} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Les vecteurs $\overrightarrow{\text{AB}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ ont pour coordonnées : \[ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{\text{AB}} && \begin{pmatrix} -1 - 1 \\ 3 - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \\ \overrightarrow{\text{AC}} && \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 1 - 2 \\ 6 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{array} \] Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points A, B et C ne sont pas alignés et définissent donc un plan. \item Calculons les produits scalaires : \[ \begin{array}{rcl} \vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} &=& 1 \times (-2) + 4 \times 1 + 1 \times (-2) = -2 + 4 - 2 = 0 \\ \vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} &=& 1 \times 1 + 4 \times (-1) + 1 \times 3 = 1 - 4 + 3 = 0 \end{array} \] Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), il est donc normal à ce plan. \item Une équation du plan (ABC) est de la forme $x + 4 y + z + d = 0$. Le point A$(1~;~2~;~3)$ appartient au plan, donc : \[ \begin{array}{rcl} 1 + 4\times 2+ 3 + d &=& 0 \iff 12 + d = 0 \iff d = -12 \end{array} \] Une équation cartésienne est : $x + 4y + z - 12 = 0$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La droite $(d)$ est dirigée par le vecteur normal $\vect{n}(1~;~4~;~1)$ et passe par D$(3~;~-2~;~-1)$. Une représentation paramétrique est : \[ \left\{ \begin{array}{rcr} x &=& 3 + \phantom{4}t \\ y &=& -2 + 4t \\ z &=& -1 + \phantom{4}t \end{array} \right. , t \in \mathbb{R} \] \item Le point H appartient à $(d)$, il existe donc $t \in \mathbb{R}$ tel que $\begin{cases} x_{\text{H}}=3+\phantom{4}t \\y_{\text{H}}= -2+4t \\ z_{\text{H}}= -1+\phantom{4}t\end{cases}$ De plus H appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan (ABC): $x_{\text{H}}+4y_{\text{H}}+z_{\text{H}}- 12 = 0$. On en déduit que $t$ est solution de : \[ \begin{array}{rcl} (3 + t) + 4(-2 + 4t) + (-1 + t) - 12 &=& 0 \\ 3 + t - 8 + 16t - 1 + t - 12 &=& 0 \\ 18t - 18 &=& 0 \\ t &=& 1 \end{array} \] Les coordonnées de H sont donc $x_{\text{H}} = 3 + 1 = 4$, $y_{\text{H}} = -2 + 4(1) = 2$, $z_{\text{H}} = -1 + 1 = 0$. Soit H$(4~;~2~;~0)$. \item La distance de D au plan (ABC) correspond à la longueur DH : \[ \begin{array}{rcl} \text{DH} &=& \sqrt{(4 - 3)^2 + (2 - (-2))^2 + (0 - (-1))^2} \\ &=& \sqrt{1^2 + 4^2 + 1^2} \\ &=& \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \end{array} \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On sait que $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}} = \text{AB} \times \text{AC} \times \cos(\widehat{\text{BAC}})$. \[ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{\text{AB}} \cdot \overrightarrow{\text{AC}} &=& -2(1) + 1(-1) - 2(3) = -9 \\ \text{AB} &=& \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3 \\ \text{AC} &=& \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{11} \\ \end{array} \] D'où : \[ \begin{array}{rcl} -9 &=& 3 \times \sqrt{11} \times \cos(\widehat{\text{BAC}}) \\ \cos(\widehat{\text{BAC}}) &=& \dfrac{-9}{3\sqrt{11}} = \dfrac{-3}{\sqrt{11}} = \dfrac{-3\sqrt{11}}{11} \end{array} \] \item Sachant que $\cos^2(\widehat{\text{BAC}}) + \sin^2(\widehat{\text{BAC}}) = 1$ : \[ \begin{array}{rcl} \sin^2(\widehat{\text{BAC}}) &=& 1 - \left(-\frac{3}{\sqrt{11}}\right)^2 \\ &=& 1 - \frac{9}{11} = \dfrac{2}{11} \end{array} \] L'angle $\widehat{\text{BAC}}$ étant dans $[0~;~\pi]$, son sinus est positif : $\sin(\widehat{\text{BAC}}) = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}$. \item L'aire du triangle ABC est donnée par : \[ \begin{array}{rcl} \mathcal{A} &=& \frac{1}{2} \times \text{AB} \times \text{AC} \times \sin(\widehat{\text{BAC}}) \\ &=& \frac{1}{2} \times 3 \times \sqrt{11} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}} \\ &=& \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \end{array} \] \end{enumerate} \item Le volume du tétraèdre ABCD est : \[ \begin{array}{rcl} \mathcal{V} &=& \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{ABC}} \times \text{DH} \\ &=& \frac{1}{3} \times \dfrac{3\sqrt{2}}{2} \times 3\sqrt{2} \\ &=& \frac{1}{3} \times \dfrac{18}{2} \\ &=& 3 \end{array} \] \end{enumerate} \section*{Exercice 4 \hfill 5 points} \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1 : Fausse.} Calculons la dérivée seconde de $f(x) = (-0,5x + 3)^5$. (on rappelle que $(u^n)'=nu^{n-1}u'$) \[ \begin{array}{rcl} f'(x) &=& 5 \times (-0,5) \times (-0,5x + 3)^4 = -2.5(-0,5x + 3)^4 \\ f''(x) &=& -2,5 \times 4 \times (-0,5) \times (-0,5x + 3)^3 = 5(-0,5x + 3)^3 \end{array} \] Pour $x = 10$, on a $f''(10) = 5(-5 + 3)^3 = 5(-8) = -40 < 0$. La dérivée seconde n'est pas positive sur tout $\mathbb{R}$, la fonction n'est donc pas convexe sur $\mathbb{R}$. \item \textbf{Affirmation 2 : Vraie.} Il y a 4 multiples de 8 parmi les 32 jetons $\{8, 16, 24, 32\}$. Le nombre de tirages contenant au moins un multiple de 8 est le nombre total de tirages moins le nombre de tirages ne contenant aucun multiple de 8 (tirage parmi les 28 autres jetons). \[ \begin{array}{rcl} \text{Nombre total} &=& \binom{32}{5} = 201376 \\ \text{Sans multiple de 8} &=& \binom{28}{5} = \np{98280} \\ \text{Au moins un} &=& \np{201376} - \np{98280} = \np{103096} \end{array} \] \item \textbf{Affirmation 3 : Fausse.} Complétons l'arbre fourni par l'énoncé. \begin{center} \begin{tikzpicture}[ grow=right, level distance=4cm, level 1/.style={sibling distance=4cm}, level 2/.style={sibling distance=1.5cm}, every node/.style={ circle, inner sep=2pt} ] \node[coordinate] {} child { node {$\overline{A}$} child { node {$\overline{B}$} edge from parent node[below] {$\frac7{10}$}} child { node {B} edge from parent node[above] {$\frac3{10}$ }} edge from parent node[below] {$\frac35$} } child { node {$A$} child { node {$\overline{B}$} edge from parent node[below] {$\frac34$}} child { node {B} edge from parent node[above] {$\frac14$ }} edge from parent node[above] {$\frac25$}}; \end{tikzpicture} \end{center} On peut dans un premier temps calculer $p(B)$ par la formule de probabilités totales:\[ p(B)= p(A \cap B) + p\left(\overline{A} \cap B\right) = \frac25 \times \frac14 + \frac35 \times \frac3{10} =\frac1{10}+\frac9{50}= \frac{14}{50} \] On en déduit que: \[ p_B\left(\overline{A}\right)=\frac{p\left(\overline{A} \cap B\right)}{p(B)} =\frac{\frac9{50}}{\frac{14}{50}} = \frac9{14} \] \item \textbf{Affirmation 4 : Vraie.} \\ Vérifions si $h(x) = \mathrm{e}^{-x}\sin(x)$ vérifie $h'(x) + h(x) = \mathrm{e}^{-x} \cos(x)$. \[ \begin{array}{rcl} h'(x) &=& -\mathrm{e}^{-x}\sin(x) + \mathrm{e}^{-x}\cos(x) \\ h'(x) + h(x) &=& \left( -\mathrm{e}^{-x}\sin(x) + \mathrm{e}^{-x}\cos(x) \right) + \mathrm{e}^{-x}\sin(x) \\ h'(x) + h(x) &=& \mathrm{e}^{-x}\cos(x) \end{array} \] La fonction $h$ est bien une solution particulière. \item \textbf{Affirmation 5 : Fausse.} Les solutions de $(E)$ sont la somme de la solution particulière $h(x)$ et des solutions de l'équation homogène associée $y' + y = 0$. Les solutions de l'équation homogène sont de la forme $C\mathrm{e}^{-x}$. L'ensemble des solutions de $(E)$ est donc constitué des fonctions de la forme $y(x) = C\mathrm{e}^{-x} + \mathrm{e}^{-x}\sin(x)$, ce qui est différent de l'expression proposée. \end{enumerate} \label{LastPage} % Fin du document \end{document}