% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : Denis Vergès % relecture : François Hache % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : % version 0 : 2026-07-06 % \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} \sloppy % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale, épreuve de spécialité J2}, pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) -- Voie générale -- Session 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, stringstyle=\color{orange}, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % usage (exemple) %\begin{lstlisting}[style=python] %def seuil(): % n = 1 % p = 0.5 % while p < 0.6 : % n = n + 1 % p = p*7/15 + 1/3 % return n %\end{lstlisting} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %--------------------------------------------------------- % Réglage entête, pied de page %--------------------------------------------------------- \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé} \lfoot{\small{Polynésie}} \rfoot{\small{17 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %--------------------------------------------------------- % Titre %--------------------------------------------------------- \begin{center} \Large \bfseries \decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt] Voie générale -- spécialité J2 -- Polynésie -- 17 juin 2026 \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \\[10pt] Corrigé \end{center} \section*{Exercice 1 (5 points)} \subsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item D'après l'énoncé voici l'arbre pondéré des évènements $F$ et $I$ : \begin{center} %%Début tikz \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}] % Styles (MODIFIABLES) \tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] \tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] \tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt] % Dimensions (MODIFIABLES) \def\DistanceInterNiveaux{4} \def\DistanceInterFeuilles{0.9} % Dimensions calculées (NON MODIFIABLES) \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles} % Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles) \node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {}; \node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$F$}; \node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$I$}; \node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{I}$}; \node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{F}$}; \node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$I$}; \node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{I}$}; % Arcs (MODIFIABLES : Styles) \draw (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$0,4$}; \draw (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\np{0,3375}$}; \draw (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\np{0,6625}$}; \draw (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\np{0,6}$}; \draw (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$\np{0,5425}$}; \draw (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\np{0,4547}$}; \end{tikzpicture} %%Fin tikz %%Début pstricks % \medskip % \pstree[levelsep=3cm,treesep=.8,treemode=R,nodesepB=3pt, nodesepA=0pt]{\TR{}} % { % \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$F$}\taput{0,4}} % { % \TR{$I$}\taput{\np{0,3375}} % \TR{$\overline{I}$}\tbput{\np{0,6625}} % } % \pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{F}$}\tbput{0,6}} % { % \TR{$I$}\taput{\np{0,5425}} % \TR{$\overline{I}$}\tbput{\np{0,4575}} % } % } \end{center} \item Il faut trouver $P(F \cap I)= P(F) \times P_F(I) = 0,4 \times \np{0,3375} = 0,135$. \item On a de même $P\left(\overline{F} \cap I\right)= P\left(\overline{F}\right) \times P_{\overline{F}}(I) = 0,6 \times \np{0,5425} = \np{0,3225}$. D'après la loi des probabilités totale la probabilité que l'élève choisi au hasard envisage des études d'ingénieur est égale à : $P(I) = P(F \cap I) + P\left(\overline{F} \cap I\right) = 0,135 + \np{0,3225} = \np{0,4605}$. \item On calcule $P_I(F) = \dfrac{P(F \cap I)}{P(I)} = \dfrac{0,135}{\np{0,4605}} \approx \np{0,2932}$ soit $0,293$ au millième près. Parmi les élèves envisageant des études d'ingénieur un peu moins de 30\,\% sont des filles. \end{enumerate} \subsection*{Partie B} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le nombre $n$ est assez grand pour que l'on puisse considérer que chaque fille choisie ait une probabilité de vouloir devenir ingénieure est égale à 0,15 : la variable $X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,15$. \item On sait que $E = n \times p = n \times 0,15 = 0,15n$. \end{enumerate} \item On a : $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) =\ds 1 - \binom{n}{0} \times 0,15^0 \times (1 - 0,15)^n = 1 - 0,85^n$. Il faut donc que $P(X \geqslant 1) \geqslant 0,99 \iff 1 - 0,85^n \geqslant 0,99 \iff 0,01 \geqslant 0,85^n$, d'où par croissance de la fonction logarithme népérien : $\ln 0,01 \geqslant n\ln 0,85 \iff \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,85} \leqslant n$ car $\ln 0,85 < 0$. Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,85} \approx 28,3$. Il faut donc interroger au moins 29 lycéennes. \item On a $\dfrac{29}{4} = 7,25$. Il faut donc choisir sur les 29 filles 8 qui souhaitent devenir ingénieure, d'où : $P(X\geqslant 8) = 1 - P(X < 8) = 1 - P(X \leqslant 7) $ : la calculatrice donne environ $0,059$ : sur 29 filles interrogées la probabilité qu'au moins le quart souhaite devenir ingénieure est légèrement inférieure à 6\,\%. \end{enumerate} \subsection*{Partie C} \begin{enumerate} \item $S$ représente le nombre de lycéennes souhaitant devenir ingénieure parmi les \np{15000} lycéennes interrogées. \item $\mathrm{E}(S) = \mathrm{E}(X_1 + \ldots + X_{10}) = \mathrm{E}(X_1) + \ldots \mathrm{E}(X_{10})$ par linéarité ; $\mathrm{E}(S) = 10\mathrm{E}(X) $ car toutes les variables aléatoires ont la même espérance, donc : $\mathrm{E}(S) = 10 \times 225 = \np{2250}$. Il en est de même pour la variance de $S$ : $\mathrm{V}(S) = \mathrm{V}(X_1 + \ldots + X_{10}) = \mathrm{V}(X_1) + \ldots + \mathrm{V}(X_{10})$ car les lois sont indépendantes. $\mathrm{V}(S) = 10\mathrm{V}(X)$ car elles suivent la, même loi de probabilité. $\mathrm{V}(S) = 10 \times 191,25 = \np{1912,5}$. \item On sait que $S$ a une espérance. Utilisons l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour minorer la probabilité d'avoir un nombre de lycéennes désirant devenir ingénieure compris entre \np{2000} et \np{2500} : $P(\np{2000} < S < \np{2500}) = P(- 250 0,95$. Conclusion : à 5\,\% près l'affirmation est vraie. \end{enumerate} \section*{Exercice 2 (5 points)} \subsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item On pourrait justifier que la fonction polynôme \quad $u : x \longmapsto 8x^3 -1$ \quad est dérivable, avec \quad $u' : x \longmapsto 24 x ^2 > 0$ \quad sur l'intervalle $[4 ; 10]$ donc croissante sur cet intervalle. $u(4) = \ln(511) > 0$,\quad ce qui montre l'existence de la fonction $f$ sur l'intervalle $[4 ; 10]$ et par suite la dérivabilité de cette fonction en tant que fonction composée : \quad $f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \dfrac{24x^2}{8x^3 - 1}$. Comme \quad $(2x-1)(4x^2+2x+1) = 8x^3 + 4x^2 + 2x - 4x^2 - 2x - 1 = 8x^3 - 1$, on a bien : \quad $f'(x) = \dfrac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}$. \needspace{3\baselineskip} \item \begin{enumerate} \item D'après la question précédente \quad $f'(x) = \dfrac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}$. Or pour $x \geqslant 4$ : \begin{itemize} \item $24x^2 > 0$ ; \item $2x - 1 > 0$ ; \item $4x^2+2x+1 > 0$ comme somme de termes supérieurs à zéro sur [4 ; 10],\, \end{itemize} $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $[4 ; 10]$ de $f(4) = \ln 511 \approx 6,236$ à $f(10) = \ln \np{7999} \approx 8,99 < 10$. \item En résumé si $4 \leqslant x \leqslant 10$, alors $f(4) \leqslant f(x) \leqslant f(10)$ donc d'après ce qui précède: $4 \leqslant f(x) \leqslant 10$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur l'intervalle $[4 ; 10]$ : \begin{itemize} \item la fonction $g$ est continue car dérivable sur cet intervalle; \item $g$ est strictement décroissante; \item 0 est une valeur comprise entre \quad $g(4) = f(4) - 4 \approx 2,236$ \quad et \quad $g(10) = f(10) - 10 \approx -1,013$. \end{itemize} D'après le corollaire du théorème sur les valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha \in [4 ; 10]$ tel que $g(\alpha) = 0$. \item La calculatrice donne successivement : $8 < \alpha < 9 \:; \quad 8,4 < \alpha < 8,5$ ; $8,49 < \alpha < 8,50 \: ;\quad 8,499 < \alpha < 8,500$ encadrement de $\alpha$ au millième près. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie B} \begin{enumerate} \item $u_1 = f(u_0) = f(5) = \ln \left(8 \times 5^3 - 5\right) = \ln 999 \approx 6,91$. \item \begin{enumerate} \item \emph{Initialisation} : On a calculé que si $u_0 = 5$, alors $u_1 \approx 6,91$. On a bien $4 \leqslant u_0 \leqslant u_1 \leqslant 10$. L'encadrement est vrai au rang $n = 0$ \emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ et supposons que $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$ ; la fonction $f$ étant croissante sur l'intervalle [4 ; 10], on a donc $f(4) \leqslant f(u_n) \leqslant f(u_{n+1} \leqslant f(10)$. Comme $f(4) > 4, \: f(10) < 10$, que $f(u_n) = u_{n+1}$ et $f(u_{n+1} = u_{n+2}$, l'encadrement devient : $4 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant 10$ : l'encadrement est donc vrai au rang $n + 1$. \emph{Conclusion} : l'encadrement est vrai au rang $n = 0$ et s'il est vrai au rang $n \geqslant 0$, il l'est encore au rang $n + 1$ : d'après le principe de récurrence : quel que soit $n \in \N$ :\quad $4 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$. \item L'inégalité centrale montre que la suite $(u_n)$ est croissante et la borne de droite montre que la suite $(u_n)$ est majorée par 10 : croissante et majorée la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell \leqslant 10$. \end{enumerate} \item Comme $u_{n+1} = f(u_n)$, que $f$ est continue sur [4 ; 10], la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ tel que $\ell = f(\ell) \iff f(\ell) - \ell = 0 \iff g(\ell) = 0$. Conclusion le nombre $\ell$ est solution sur [4 ; 10] de l'équation $g(x) = 0$ résolue à la question \textbf{3.} partie B, donc finalement $\ell = \alpha$. \end{enumerate} \subsection*{Partie C} \begin{enumerate} \item \texttt{alpha(8.499)} renvoie 11 signifie que c'est à partir du rang $n = 11$, que $u_n \geqslant 8,499$. \item On a vu que quel que soit $n \in \N$, \: $u_n < 8,6$ : donc l'algorithme ne trouvera jamais un rang tel que $u_n > 8,6$ : il ne donnera donc aucun rang. \end{enumerate} \section*{Exercice 3 (5 points)} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\-7\\-2\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}-4\\1\\2\end{pmatrix}$. On voit que les coordonnées de ces deux vecteurs ne sont pas proportionnelles : les vecteurs ne sont pas colinéaires donc les points A, B et C ne sont pas alignés : ils déterminent donc un plan (ABC). \item On a $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 12 + 14 - 26 = 0$ ; de même $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = - 24 - 2 + 26 = 0$. Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : c'est donc un vecteur normal à ce plan (ABC). \item On sait que les coordonnées du vecteur $\vect{n}$ sont les coefficients respectifs de $x, \: y$ et $z$ dans l'équation du plan (ABC), soit $M(x ; y ; z) \in (\text{ABC}) \iff 6x - 2y + 13z + d = 0$, avec $d \in \R$. En particulier on a $A(-1 ; 1 ; 1) \in \text{ABC}) \iff 6\times (-1) - 2\times 1 + 13\times 1 + d = 0 \iff - 6 - 2 + 13 + d = 0 \iff 5 + d = 0 \iff d = - 5$. Conclusion : \quad $\mathrm{M}(x ; y ; z) \in (\text{ABC}) \iff 6x - 2y + 13z - 5 = 0$. \end{enumerate} \item Comme on l'a vu à la question précédente les coefficients respectifs de $x$, $y$ et $z$ dans l'équation du plan $(P)$ sont les coordonnées d'un vecteur $\vect{p}$ normal à ce plan. On a donc $\vect{p}\begin{pmatrix}8\\- 2\\-4\end{pmatrix}$. Or $\vect{n} \cdot \vect{p} = 6 \times 8 - 2 \times (- 2) + 13 \times (- 4) = 48 + 4 - 52 = 0$ : d'après la propriété admise les deux vecteurs normaux aux deux plans sont orthogonaux donc les deux plans sont orthogonaux. \item La droite $(d)$ est sécante au plan (ABC) s'il existe un point dont les coordonnées vérifient les équations paramétriques de $(d)$ et l'équation cartésienne du plan (ABC), autrement dit si les coordonnées $(x ; y ; z)$ vérifient le système d'équations : \[\left\{\begin{array}{l c l} x&=&- 4 + t\\ y&=&- 11 + 6t\\ z&=&2 - t\\ 6x - 2y + 13z - 5 &=& 0 \end{array}\right.\] En remplaçant $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans la dernière équation, on obtient : $6(- 4 + t)- 2(- 11 + 6t) + 13(2 - t) - 5 = 0 \iff - 24 + 6t + 22 - 12t + 26 - 13t - 5 = 0$, soit enfin \quad $19 - 19t = 0 \iff 19 = 19t \iff 1 = t$. En reportant cette valeur $t = 1$ dans les équations paramétriques de $(d)$, on obtient \quad $x = - 4 + 1 = - 3$, \: $y = - 11 + 6 = - 5$, \:$z = 2 - 1 = 1$. La droite $(d)$ et le plan (ABC) ont bien un point commun E$(- 3 ; -5 ; 1)$. \item \begin{enumerate} \item H est le projeté orthogonal de A sur $(d)$ si : \begin{itemize} \item H $\in (d)$, ce qui est aisé à voir en prenant la valeur $t = 2$ dans les équations paramétriques de $(d)$ qui conduit bien aux coordonnées $(- 2 ; 1 ; 0)$ qui sont bien celles de H; \item la droite (AH) est perpendiculaire à $(d)$ ; \end{itemize} Or $\vect{\text{AH}}\begin{pmatrix}-1\\0\\- 1\end{pmatrix}$ et $\vect{\delta}\begin{pmatrix}1\\6\\- 1\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de la droite $(d)$ (d'après ses équations paramétriques) et $\vect{\text{AH}} \cdot \vect{\delta} = - 1 + 0 + 1 = 0$, ce qui montre que les vecteurs $\vect{\text{AH}}$ et $\vect{\delta}$ sont orthogonaux donc que les droites (AH) et ($d$) sont perpendiculaires. Le point H est le projeté orthogonal de A sur $(d)$. \item La distance du point A à la droite $(d)$ est la distance de A à son projeté orthogonal sur la droite $(d)$, soit la distance AH. Des coordonnées du vecteur $\vect{\text{AH}}$, on calcule AH$^2 = (- 1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$. Conclusion AH $ = \sqrt 2$. \item H et E sont deux points de $(d)$ et la droite (AH) est perpendiculaire à $(d)$ : le triangle AHE est donc rectangle en H et son aire est égale au demi-produit des longueurs de ses côtés perpendiculaires : $\mathcal{A}(\text{AHE}) = \dfrac{\text{AH} \times \text{HE}}{2}$ On a HE$^2 = (- 3 + 2)^2 + (- 5 - 1)^2 + (1 - 0)^2 = 1 + 36 + 1 = 38$, d'où HE $ = \sqrt{38}$ et $\mathcal{A}(\text{AHE}) = \dfrac{\sqrt 2 \times \sqrt{38}}{2} = \dfrac{\sqrt{76}}{2} = \dfrac{\sqrt{76}}{\sqrt4} = \sqrt{\dfrac{76}{4}} = \sqrt{19}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section*{Exercice 4 (5 points)} \begin{enumerate} \item Soit $g(x) = \e^{\left(x^2\right)}$ Avec $u(x) = x^2$ puis $u'(x) = 2x$, on a $\left(\e^{\left(x^2\right)}\right)' = \left(\e^{u(x))}\right)' = \e^{u(x)} \times u'(x) = \e^{\left(x^2\right)} \times 2x$. Donc $f'(x) = \e^{\left(x^2\right)} + x \times \e^{\left(x^2\right)} \times 2x$ ; $f'(x) = \e^{\left(x^2\right)}\left(1 + 2x^2\right)$. Puis de même $f''(x) = 4x\e^{\left(x^2\right)} + \left(1 + 2x^2\right) \times 2x \e^{\left(x^2\right)} = 2x \left(2 + 1 + 2x^2 \right)\e^{\left(x^2\right)}$. Finalement $f''(x) = 2x\left(3 + 2x^2 \right)\e^{\left(x^2\right)}$ Dans ce produit pour $x \in ]- \infty ; 0[$, on a : \begin{itemize} \item $3 + 2x^2 > 0$ ; \item $\e^{\left(x^2\right)} > 0$ \item $2x < 0$ \end{itemize} Conclusion sur $]-\infty ; 0]$, \: $f''(x) < 0$ : la fonction $f$ est concave sur cet intervalle. \hfill\textbf{Affirmation 1 vraie} \item \begin{itemize} \item Dans le groupe 1 on peut former $\ds\binom{24}{8}$ ensembles de 8 rapaces ; \item Dans le groupe 2 on peut former $\ds\binom{16}{8}$ ensembles de 8 rapaces ; \item Dans le groupe 3 on peut former $\ds\binom{8}{8}$ ensemble de 8 rapaces ; \end{itemize} Il y a donc $\ds\binom{24}{8} \times \binom{16}{8} \times \binom{8}{8}$ façons différentes de répartir 8 rapaces dans ces 3 groupes. Or\quad $\ds \binom{24}{8} \times \binom{16}{8} \times \binom{8}{8} = \dfrac{24!}{8! \times (24- 8)!} \times \dfrac{16!}{8!\times (16-8)!} \times 1 = \dfrac{24!}{8! \times 16!} \times \dfrac{16!}{8! \times 8! } = \dfrac{24!}{\left (8!\right )^3}$. \hfill\textbf{Affirmation 2 vraie} \item $f$ est solution de l'équation différentielle donc quel que soit $x \in \R$, $f'(x) = - f(x) + 1$ \quad (1) . D'autre part $g(x) = f(x) - 1$ montre que puisque $f$ est dérivable sur \, $g$ l'est aussi avec : $g'(x) = f'(x)$. L'égalité (1) devient alors $g'(x) = - f(x) - 1 = - (f(x) - 1) = - g(x)$ Conclusion : quel que soit $x \in \R, \: g'(x)= - g(x)$. \hfill\textbf{Affirmation 3 vraie} \item Quel que soit $n \in \N^*, \: - 1 \leqslant \sin (n) \leqslant 1$. En multipliant par $\dfrac1n > 0$, on a $- \dfrac{1}{n} \leqslant \dfrac{\sin(n)}{n} \leqslant \dfrac{1}{n}$ . Comme $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} -\dfrac{1}{n} = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{1}{n} = 0$, on a donc d'après le théorème des gendarmes: \[\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\dfrac{\sin(n)}{n} = 0.\] La suite converge vers zéro. \hfill\textbf{Affirmation 4 fausse} \item ~ \begin{center} %Début Tikz %\begin{tikzpicture}[scale=0.8] %\begin{axis}[ %xmin=-1, xmax=5.5, ymin=-1.5, ymax=5.5, %axis lines=middle, %grid=both, %xlabel={}, ylabel={}, %width=10cm, height=8cm, %xtick={0,1,2,3,4,5}, ytick={-1,0,1,2,3,4,5} %] %\addplot[domain=-1:5.5, samples=100, thick] {-x^2+4*x+1}; %\addplot[domain=-1:5.5, samples=2, thick] {x+1}; %\addplot[domain=0:3, samples=100, fill=gray, fill opacity=0.4, draw=none] {-x^2+4*x+1} \closedcycle; %\addplot[domain=0:3, samples=2, fill=white, fill opacity=1, draw=none] {x+1} \closedcycle; %\end{axis} %\end{tikzpicture} %Fin Tikz %Début PSTricks \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-1.1,-1.5)(5.5,5.5) \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-1.5)(5.5,5.5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-0.5}{4.5}{4 x mul 1 add x dup mul sub} \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{5}{x 1 add} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{3}{4 x mul 1 add x dup mul sub}\psline(3,4)(0,1)} %\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=orange]{0}{3}{x 3 x sub mul} \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.2pt,subgridwidth=0.1pt] \pspolygon[fillstyle=vlines](0,0)(0,1)(3,4)(3,0) \uput[ul](0,0){O}\uput[ul](0,1){I}\uput[r](3,4){A}\uput[dr](3,0){B} \end{pspicture*} %Fin PSTricks \end{center} L'aire du domaine grisé est égale à la différence de deux aires : \begin{itemize} \item l'aire de la surface limitée par l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = 0$ et $x = 4$ et la représentation graphique de la fonction définie sur $\R$ par \quad $f : x \longmapsto - x^2 + 4x + 1$. La fonction $f$ étant manifestement positive sur l'intervalle $[0 ; 3]$, cette aire est l'intégrale (en u. a.) $\displaystyle\int_0^3 f(x) \:\text{d}x = \displaystyle\int_0^3 - x^2 + 4x + 1)\:\text{d}x = \left[-\dfrac{x^3}{3} + 2x^2 + x \right]_0^3 = -\dfrac{3^3}{3} + 2\times 3^2 + 3 - \left(-\dfrac{0^3}{3} + 2\times 0^2 + 0 \right) = - \dfrac{27}{3} + 18 + 3 = 22 - 9 = 12$ \: (u.a.) \:\textbf{et} \item l'aire du trapèze rectangle OIAB soit $\dfrac{\text{OI} + \text{AB}}{2}\times \text{OB}$; \end{itemize} On a de façon évidente : OI $ = 1$, \: AB $ = 4$ et OB $ = 3$, donc $\mathcal{A}(\text{OIAB}) = \dfrac{1 + 4} {2} \times 3 = \dfrac{15}{2}$\: (u.a) Si $\mathcal{A}(G)$ est l'aire de la surface grisée alors $\mathcal{A}(G) = 12 - \dfrac{15}{2} = \dfrac{24 - 15}{2} = \dfrac{9}{2} = 4,5$\:(u.a.). \hfill\textbf{Affirmation 5 fausse} \medskip \emph{Remarque} : on peut aussi dire que $\mathcal{A}(G)$ est la différence de l'intégrale de la fonction $f(x) = - x^2 + 4x + 1$ et de l'intégrale de la fonction $g(x) = x + 1$ sur l'intervalle [0 ; 3]. $\mathcal{A}(G) = \displaystyle\int_0^3 \left(- x^2 + 4x + 1\right)\:\text{d}x - \displaystyle\int_0^3 (x + 1)\:\text{d}x$, soit par linéarité de l'intégrale : $\mathcal{A}(G) = \displaystyle\int_0^3 \left(- x^2 + 4x + 1 - (x + 1) \right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^3 \left(- x^2 + 4x + 1 - x - 1) \right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^3 \left(- x^2 + 3x \right)\:\text{d}x = \displaystyle\int_0^3 x(3 - x) :\text{d}x$. Il faut alors considérer cette fonction trinôme $x \longmapsto x(x - 3)$ qui est négative sauf entre ses racines 0 et 3 sui est justement l'intervalle d'intégration. Il faut alors rappeler que cette fonction polynôme trinôme est continue sur $\R$ donc en particulier sur [0 ; 3], donc intégrale sur cet intervalle et affirmer que $\mathcal{A}(G) = \displaystyle\int_0^3 \left(- x^2 + 3x \right)\:\text{d}x = \left[- \dfrac{x^3}{3} + 3\frac{x^2}{2} \right]_0^3 = -\dfrac{3^3}{3} + 3\times \dfrac{3^2}{2} - \dfrac{0^3}{3} - 3\times \dfrac{0^2}{2} = -9 + \dfrac{27}{2} = \dfrac{-18 + 27}{2} = \dfrac92 \ne \dfrac{13}{2}$. \end{enumerate} \end{document}