% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : Laure Bienaime % relecture : François Kriegk % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : % version 1 : 2026-09-21 % \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale, Série spécialité J2}, pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) -- Voie générale -- Session 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, stringstyle=\color{orange}, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % usage (exemple) %\begin{lstlisting}[style=python] %def seuil(): % n = 1 % p = 0.5 % while p < 0.6 : % n = n + 1 % p = p*7/15 + 1/3 % return n %\end{lstlisting} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{9 septembre 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} \Large \bfseries \decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt] Voie générale -- spécialité J2 -- Métropole -- 9 septembre 2026 \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \\[10pt] Corrigé \end{center} \section*{Exercice 1 \hfill 5 points} \subsection*{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On considère l'expérience aléatoire \og la joueuse effectue un lancer franc\fg. C'est une épreuve de Bernoulli dont le succès est l'évènement \og la joueuse réussi son lancer\fg. La probabilité du succès est $p=\np{0,6}$. On répète cette expérience $n=5$ fois de manière identique et indépendante donc la variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $p=\np{0,6}$ et $n=5$. \item $P(X \geqslant 4)=P(X=4) + P(X=5)$. La calculatrice donne $P(X \geqslant 4) \approx \np{0,34}$. Cela signifie que pour environ 34\,\% des séries de 5 lancers francs de cette joueuse à l'entraînement, elle réussit au moins 4 des 5 lancers. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\ds \aligned[t] P(Y \geqslant 1) &=1 - P(Y < 1) \\ & =1 - P(Y=0)\quad \text{car $Y$ prend des valeurs entières entre 0 et $n$.}\\ & = 1 - \binom{n}{0} \times \np{0,6}^0 \times \np{0,4}^n\\ & =1 - \np{0,4}^n \endaligned$ On a donc bien :\quad $P(Y \geqslant 1) =1 - \np{0,4}^n$. \item Ici, on cherche $n$ tel que $P(Y \geqslant 1) \geqslant \np{0,9999}$. $\aligned[t] P(Y \geqslant 1) \geqslant \np{0,9999} &\iff 1- \np{0,4}^n \geqslant \np{0,9999}\\ & \iff -\np{0,4}^n \leqslant -\np{0,0001}\\ & \iff \np{0,4}^n \leqslant \np{0,0001}\quad \text{ car } -1 < 0\\ & \iff n \ln\left( \np{0,4} \right) \leqslant \ln \left( \np{0,0001} \right)\\ & \iff n \geqslant \frac{\ln \left( \np{0,0001} \right)}{\ln\left( \np{0,4} \right)} \quad \text{ car } \ln(0,4) < 0 \endaligned$ Or \quad $\dfrac{\ln \left( \np{0,0001} \right)}{\ln\left( \np{0,4} \right)} \approx \np{10,052}$. À partir de 11 lancers, la probabilité d'en réussir au moins un est supérieure à \np{0,9999}. \item Voici le script Python complété : \begin{lstlisting}[style=python,xleftmargin=0.3\linewidth,xrightmargin=0.3\linewidth,numbers=none] def basket(): p = 0.6 n = 1 while p < 0.9999 : n = n + 1 p = 1 - 0.4**n return n \end{lstlisting} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie B} \begin{enumerate} \item On représente la situation à l'aide d'un arbre de probabilité \begin{center} \begin{tikzpicture} [level 1/.style={level distance=3cm, sibling distance=2cm}, level 2/.style={level distance=3.5cm,sibling distance=1cm}, edge from parent path={(\tikzparentnode.east) -- (\tikzchildnode.west)}] \node {} [grow'=right] child {node {\textcolor{red}{$G_1$}} child {node {\textcolor{teal}{$G_2$}} edge from parent node[above] {$\np{0,7}$} } child {node {\textcolor{teal}{$\overline{G_2}$}} edge from parent node[below] {$\np{0,3}$} } edge from parent node[above] {$\np{0,5}$} } child {node {\textcolor{red}{$\overline{G_1}$}} child {node {\textcolor{teal}{$G_2$}} edge from parent node[above] {$\np{0,4}$} } child {node {\textcolor{teal}{$\overline{G_2}$}} edge from parent node[below] {$\np{0,6}$} } edge from parent node[below] {$\np{0,5}$} } ; \end{tikzpicture} \end{center} $G_1$ et $\overline{G_1}$ forment une partition de l'univers donc d'après la formule des probabilités totales, on a $\aligned[t] P\big( G_2 \big) &= P \big( G_1 \cap G_2 \big) + P \big( \overline{G_1} \cap G_2 \big)\\ & = \np{0,5} \times \np{0,7} + \np{0,5} \times \np{0,4}\\ & = \np{0,55} \endaligned$ \item \begin{enumerate} \item \textbf{Initialisation.} Pour $n=1$, on a $p_1=\np{0,5}$ et $p_2=\np{0,55}$. On vérifie que $p_1 \leqslant p_2$ donc la propriété est vraie au rang 1. \textbf{Hérédité.} Soit $n$ un entier naturel non nul ($n\geqslant 1$), on suppose que l'inégalité est vraie pour cet entier $n$. Il faut démontrer que, pour cet entier $n \geqslant 1$, si $p_n \leqslant p_{n+1}$ alors $p_{n+1} \leqslant p_{n+2}$. D'après l'hypothèse de récurrence :\quad $\aligned[t] p_n \leqslant p_{n+1} & \Longrightarrow \np{0,3} p_n \leqslant \np{0,3} p_{n+1}\quad \text{ car }0,3 > 0\\ & \Longrightarrow \np{0,3} p_n +\np{0,4} \leqslant \np{0,3} p_{n+1} + \np{0,4} \\ & \Longrightarrow p_{n+1} \leqslant p_{n+2} \endaligned$ Ainsi la propriété est héréditaire. \textbf{Conclusion.} La propriété est vraie au rang 1 et est héréditaire donc elle est vraie pour tout $n \geqslant 1$. On a donc pour tout $n \geqslant 1$,\quad $p_n \leqslant p_{n+1}$. Autrement dit, la suite $(p_n)$ est croissante. \item $p_n$ est la probabilité que le joueur réussisse son $n$-ième lancer franc, on a donc \quad $0 \leqslant p_n \leqslant 1$. La suite $(p_n)$ est bornée par 0 et 1, et donc elle est majorée par 1. \item D'après les deux questions précédentes, la suite $(p_n)$ est croissante et majorée par 1 : on en déduit qu'elle est convergente, vers une limite inférieure ou égale à 1. \end{enumerate} \item Le fait que la limite de $(p_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ est $\dfrac47$ signifie qu'après un grand nombre de lancers francs, ce joueur va réussir en moyenne 4 lancers sur 7. \end{enumerate} \needspace{10\baselineskip} \section*{Exercice 2 \hfill 5 points} \begin{enumerate} \item On a :\quad $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} 3x-1 = - \infty$ \quad et \quad $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \e^{-x} = + \infty$, par limite du produit :\quad $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = - \infty$. \item On a :\quad $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} 3x-1 = + \infty$ \quad et \quad $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \e^{-x} = 0$, \quad sous cette forme, on a donc une forme indéterminée. Mais, pour tout $x$ réel, on a :\quad $f(x) = (3x- 1)\e^{-x} +2 = -3 \big(-x \big)\e^{-x} - \e^{-x} +2$. $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} -x \e^{-x} = \displaystyle \lim_{X \to -\infty} X \e^{X} = 0 $, \quad d'après la propriété des croissances comparées. On obtient alors, par limite de la somme :\quad $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) =2$. On en déduit que la droite d'équation $y=2$ est une asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$. \item \begin{enumerate} \item On a, pour tout réel $x$ : \quad $f'(x)=3 \times \e^{-x} + (3x-1) \times \left( - \e^{-x} \right)$. Soit \quad $f'(x)=\e^{-x} \big( 3-(3x-1) \big)=(-3x+4) \e^{-x}$. \item Pour tout $x \in \R$, \quad $\e^{-x} >0$ \quad donc le signe de $f'$ est le même que celui de $-3x+4$. Or \quad $-3x+4 \geqslant 0 \iff x \leqslant \dfrac43$. De plus, on a : \quad $f \left(\dfrac43 \right) = 3 \e^{-\frac43}+2$. On obtient le tableau de variations \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$ / 0.8 , signe de $f'(x)$ / 1, variation de $f$ / 2}{$-\infty$, $\frac43$, $+\infty$} \tkzTabLine{,+,z,-, } \tkzTabVar{-/$-\infty$, +/$3\e^{\frac43}+2$, -/$2$ } \end{tikzpicture} \end{center} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur l'intervalle $\left[ \dfrac43 ; +\infty \right[$, la fonction $f$ est strictement positive (elle est minorée par 2), donc l'équation $f(x)=0$ n'admet pas de solution. Sur l'intervalle $\left] -\infty ;\dfrac43 \right]$, la fonction $f$ est dérivable donc continue. Elle est strictement croissante sur cet intervalle. De plus, l'image de l'intervalle $\left] -\infty ;\dfrac43 \right]$ est l'intervalle $\left] -\infty ;3\e^{\frac43}+2 \right]$ avec $3\e^{\frac43}+2 >0$. Donc d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\left] -\infty ;\dfrac43 \right]$. En conclusion, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$. \item On sait que $\alpha \in \left] -\infty ;\dfrac43 \right]$ La calculatrice permet d'obtenir : $f \left(-1 \right) \approx \np{-8,87}$ et $f \left(0 \right)=1$ donc $-1 < \alpha < 0 $ $f \left( \np{-0,3} \right) \approx \np{-0,56}$ et $f \left( \np{-0,2} \right) \approx \np{-0,046}$ donc $- \np{0,3} < \alpha < \np{-0,2} $ $f \left( \np{-0,21} \right) \approx \np{-0,01}$ et $f \left( \np{-0,2} \right) \approx \np{-0,046}$ donc $- \np{0,21} < \alpha < \np{-0,2} $ $f \left( \np{-0,209} \right) \approx \np{-0,00}5$ et $f \left(\np{-0,208} \right) \approx \np{-0,00}05$ donc $- \np{0,209} < \alpha < \np{-0,208} $ On en déduit que $\alpha \approx \np{-0,21}$. (Remarque : on peut se contenter de donner la valeur approchée renvoyée par le mode \og résolution d'équation\fg{} de la calculatrice). \item Par lecture du tableau de variation, on obtient le tableau de signes suivant \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3,espcl=4]{$x$ / 0.8 , signe de $f$ / 1}{$-\infty$, $\alpha$, $+\infty$} \tkzTabLine{,-,z,+, } \end{tikzpicture} \end{center} \item Sur l'intervalle $\big[0 ; 2 \big]$, la fonction $f$ est positive donc l'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe de abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ est $\mathcal{A}=\displaystyle \int_0^2 f(x) dx$. $\aligned[t] \mathcal{A}&=\displaystyle \int_0^2 f(x) dx \\ &= \bigg[ F(x) \bigg]_0^2 \\ &= F(2) - F(0) \\ &= -8\e^2 +4 +2 \\ &=6-8\e^2 \endaligned$ L'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe de abscisses et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 2$ mesure $6-8\e^2$ unités d'aire. \end{enumerate} \item On remarque que l'inéquation est :\quad $f(x) \leqslant 4x + 1$. Graphiquement, cela correspond au fait que la courbe $\mathcal{C}_f$ est en-dessous de sa tangente au point d'abscisse 0, et ce pour tout réel $x$ : cela fait penser à étudier la convexité de la fonction $f$. On va donc déterminer la dérivée seconde de $f$ : On a, pour tout $x$ réel :\quad $f''(x)= -3\e^{-x} + (-3x + 4)\times \big(-\e^{-x}\big) = \e^{-x} \big(-3 - (-3x+4)\big)-\e^{-x} (3x-7)$. La dérivée seconde $f''$ est strictement négative quand $3x-7$ est strictement négatif soit sur $\left] -\infty ; \dfrac73 \right[$. On en déduit que sur $\left] -\infty ; \dfrac73 \right[$, $f$ est concave donc sa courbe $\mathcal{C}_f$ est en-dessous de toutes ses tangentes. En particulier, $\mathcal{C}_f$ est en-dessous de sa tangente au point d'abscisse 0. On a donc, pour tout $x \in \left] -\infty ; \dfrac73 \right[$, \quad $(3x - 1)\e^{-x} + 2 \leqslant 4x + 1$. Sur $\bigg[ \dfrac73 ; +\infty \bigg[$, la fonction \quad $x \longmapsto 4x+1$ \quad est croissante donc \quad $4x+1 \geqslant 4 \times \dfrac73 +1$\quad soit \quad $4x+1 \geqslant \dfrac{29}{3}$. Sur $\bigg[ \dfrac73 ; +\infty \bigg[$, la fonction $f$ est décroissante donc \quad $f(x) \leqslant f\left( \dfrac73 \right)$ \quad or $f\left( \dfrac73 \right) \leqslant \dfrac{29}{3}$, \quad d'après la concavité de $f$ sur $\left] -\infty ; \dfrac73 \right[$. On en conclut que pour tout $x \in \bigg[ \dfrac73 ; +\infty \bigg[$, \quad $f(x) \leqslant 4x+1$. \end{enumerate} \needspace{10\baselineskip} \section*{Exercice 3 \hfill 5 points} \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1} : $f$ est dérivable et, pour tout $x$ réel : \quad $f(x) = (x - 2)\e^x$ donc, pour tout $x$ réel :\quad $f'(x)=1\times \e^x + (x-2)\times \e^x = ( x-1)\e^x$. Ainsi, pour tout réel $x$,\quad $\aligned[t] f'(x)-2f(x) & =(x-1)\e^x-2(x-2)\e^x \\ & =(-x+3)\e^x \\ & = -(x-3)\e^x \endaligned$ L'affirmation est \textbf{fausse}. \item \textbf{Affirmation 2} : On pose, pour tout $x$ réel, \quad $v(x)=2x+1$ \quad et \quad $u'(x)=\cos x$. On a alors, pour tout $x$ réel :\quad $v'(x)=2$ \quad et on peut choisir \quad $u(x)=\sin x$. Par intégration par parties, on a :\quad $\aligned[t] \displaystyle\int_0^{\pi} f(x)\:\text{d}x &= \bigg[ (2x+1) \sin x \bigg]_0^{\pi} - \displaystyle \int_0^{\pi} 2 \sin x \d x\\ &= \bigg( (2 \pi +1) \sin \pi - \sin 0 \bigg) - \bigg[-2 \cos x \bigg]_0^{\pi} \\ &= 0 + 2 \cos \pi -2 \cos 0 \\ &= -4 \endaligned$ L'affirmation est \textbf{fausse}. \item \textbf{Affirmation 3} : \begin{itemize} \item La fonction du second degré \quad $x \longmapsto 2x^2-6x-56$\quad admet deux racines :\quad $-4$ et 7. Le coefficient du terme de degré 2 est \quad $a=2$\quad donc cette fonction est strictement positive sur $]7 ; +\infty[$. \item La fonction affine \quad $x \longmapsto 4x-8$\quad est strictement positive sur $]2 ;+\infty[$. \end{itemize} On peut résoudre l'inéquation sur l'intervalle $]7 ; +\infty[$, et on a : $\aligned[t] \forall x \in ]7 ;+\infty[, \quad \ln \left(2x^2 - 6x - 56\right) \geqslant \ln(4x - 8) & \iff 2x^2 - 6x - 56 \geqslant 4x - 8 \quad &\text{car la fonction ln est}\\ &&\text{croissante sur }\R^{*+}\\ & \iff 2x^2 - 10x - 48 \geqslant 0 \\ & \iff x^2-5x-24 \geqslant 0&\text{car }2 >0 \endaligned$ Le discriminant est :\quad $\Delta = b^2-4ac = 121$,\quad donc la fonction du second degré \quad $x \longmapsto x^2-5x-24$ \quad admet deux racines :\quad $-3$ et 8. Le coefficient du terme de degré 2 est $a=1$, donc cette fonction est positive sur $]-\infty ; -3] \cup [8 ;+\infty[$. Sur $]7 ; + \infty[$, l'inéquation a pour ensemble de solutions l'intervalle $[8 ; +\infty[$. L'affirmation est \textbf{vraie}. \item \textbf{Affirmation 4} : Soit $n$ un entier naturel : $v_{n+1} = \dfrac{2}{u_{n+1}} = \dfrac{2}{~\dfrac{3u_n}{5u_n+3}~} = 2\times \dfrac{5u_n + 3}{3u_n} = 2\times \left(\dfrac{5u_n}{3u_n} + \dfrac{3}{3u_n}\right) = 2\times \left(\dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{u_n}\right) = \dfrac{10}{3} + \dfrac{2}{u_n} = \dfrac{10}{3} + v_n$. On reconnaît la relation de récurrence d'une suite arithmétique, de raison $r = \dfrac{10}{3}$. L'affirmation est \textbf{vraie}. \item \textbf{Affirmation 5} : On considère l'expérience aléatoire \og obtenir un 6 en lançant un dé équilibré à 6 face numéroté de 1 à 6\fg{} a deux issues : le succès de probabilité $\dfrac16$ et l'échec de probabilité $\dfrac56$. Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli. La variable aléatoire qui compte le nombre de succès (les apparitions du 6) quand on répète \np{3600} fois cette épreuve suit la loi binomiale de paramètre $p=\dfrac16$ et $n=\np{3600}$. On a alors \quad $E(X)=\dfrac16 \times 3600 = 600$, \quad et \quad $V(X)=\dfrac16 \times \dfrac56 \times 3600=500$. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev, pour tout $t >0$, on a :\quad $P \bigg( \big\vert X-600 \big\vert \geqslant t \bigg) \leqslant \dfrac{500}{t^2}$. Or \quad $P \bigg( 450 < X < 750 \bigg) = P \bigg( \big\vert X-600 \big\vert < 150 \bigg) =1- P \bigg( \big\vert X-600 \big\vert \geqslant 150 \bigg)$. En appliquant l'inégalité de Bienaymé-Tchebytchev pour $t=150$, on obtient donc : $P \bigg( \big\vert X-600 \big\vert \geqslant 150 \bigg) \leqslant \dfrac{500}{150^2}$ On en déduit que \quad $P \bigg( 450 < X < 750 \bigg) \geqslant 1-\dfrac{500}{150^2}$. Or, \quad $1-\dfrac{500}{150^2} \approx 0,978$. On peut donc conclure : \quad $P \bigg( 450 < X < 750 \bigg) \geqslant \np{0,97}$. L'affirmation est \textbf{vraie}. \end{enumerate} \section*{Exercice 4 \hfill 5 points} \subsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item On a $\vectt{RS} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix}$ et $\vectt{RT} \begin{pmatrix} \np{2,5} \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}$ Puisque $\dfrac{0}{\np{2,5}} \neq \dfrac{3}{7}$, les coordonnées des vecteurs $\vectt{RS}$ et $\vectt{RT}$ ne sont pas proportionnelles donc les vecteurs $\vectt{RS}$ et $\vectt{RT}$ ne sont pas colinéaires et les points R, S et T ne sont pas alignés. \item \begin{enumerate} \item Les vecteurs $\vectt{RS}$ et $\vectt{RT}$ ne sont pas colinéaires donc ils forment une base du plan (RST). $\vect{n}\cdot \vectt{RS} = 0+12-12=0$ \quad et \quad $\vect{n}\cdot \vectt{RT} = -25+28-3=0$. Le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs formant une base du plan (RST) donc le vecteur $\vect{n}$ est normal au plan (RST). \item Le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}-10 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix} $ est normal au plan (RST) donc une équation du plan (RST) est de la forme \quad $-10x+4y+3z+d=0$. Le point R$(1;0;6)$ appartient au plan (RST) donc on doit avoir \quad $-10 \times 1 +4 \times 0 +3 \times 6 + d =0$\quad soit \quad $d=-8$. Ainsi, l'équation \quad $-10x+4y+3z-8=0$\quad est une équation cartésienne du plan (RST). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On a \quad $-10x_{\mathrm{A}}+4y_{\mathrm{A}}+3z_{\mathrm{A}}-8 = -10 \times (\np{2,5}) +4 \times 8 +3 \times \np{4,5} -8 =-25+32+\np{13,5}-8 \neq 0$. On en déduit que A n'appartient pas à (RST). \item Le vecteur $\vect{n} \begin{pmatrix}-10 \\ 4 \\ 3\end{pmatrix} $ est normal au plan (RST) donc c'est un vecteur directeur de la droite $d_1$. De plus, A$(\np{-2,5} ; 8 ; \np{4,5}) \in d_1$ donc une représentation paramétrique de $d_1$ est $\begin{cases} x=\np{-2,5} -10t \\ y=8 + 4t \\ z=\np{4,5} +3t \end{cases}, t \in \R$ \item A $\in d_1$ et $d_1$ est orthogonale au plan (RST) donc le projeté orthogonal de A sur (RST) est le point d'intersection de $d_1$ et de (RST). Puisque\quad $-10 \times (\np{2,5}) +4 \times 6 +3 \times 3 -8 =-25+24+9-8 = 0$, \quad le point de coordonnées $(\np{2,5} ; 6 ; 3)$ appartient à (RST). Puisque le système \quad $\begin{cases} \np{2,5}=\np{-2,5} -10t \\ 6=8 + 4t \\ 3=\np{4,5} +3t \end{cases}$ \quad admet pour solution $t=-\dfrac12$, le point de coordonnées $(\np{2,5} ; 6 ; 3)$ appartient à $d_1$. Le point de coordonnées $(\np{2,5} ; 6 ; 3)$ appartient à $d_1$ et à (RST) (qui sont sécants) donc ce point est le point d'intersection de $d_1$ et (RST). C'est le point H, projeté orthogonal de A sur (RST). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\vectt{SR} \cdot \vectt{ST}= 0 \times \np{2,5} -3 \times 4 +4 \times 3=0$ Les vecteurs $\vectt{SR}$ et $\vectt{ST}$ sont orthogonaux donc les droites (SR) et (ST) sont orthogonale (et perpendiculaires, car sécantes en S) et le triangle RST est rectangle en S. \item Pour calculer le volume du tétraèdre, on choisit le triangle RST comme base et la hauteur associée est la droite (AH). Ainsi \quad $\mathcal{V}_{ARST} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} SR \times ST \times AH$ Or \quad $SR=\sqrt{0^2+(-3)^2+(-4)^2}=5$, $ST=\sqrt{\np{2,5}^2+4^2+3^2}=\sqrt{\np{31,25}}$, et \quad $AH=\sqrt{5^2+(-2)^2+(-\np{1,5})^2}=\sqrt{\np{31,25}}$. Donc \quad $\mathcal{V}_{ARST} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times 5 \times \sqrt{\np{31,25}} \times \sqrt{\np{31,25}}=\dfrac{625}{24}$. Comme l'unité graphique du repère est le centimètre, toutes les longueurs ont été exprimées en centimètre, et l'unité de volume est bien le cm$^3$, on a bien $\mathcal{V}_{ARST} = \dfrac{625}{24} \,\text{cm}^3$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie B} \begin{enumerate} \item $\begin{aligned}[t] \mathrm{AM}^2&=\left(x_M-x_A \right)^2+\left(y_M-y_A \right)^2+\left(z_M-z_A \right)^2 =( -2+s)^2+(-4-4s)^2+(1-2s)^2\\ &=4-4s+s^2+16+32s+16s^2+1-4s+4s^2 =21s^2+24s+21 \end{aligned}$ On arrive bien à l'expression souhaitée. \item La fonction du second degré \quad $x \longmapsto 21s^2+24s+21$ \quad admet un minimum en \quad $\alpha = -\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{24}{42} = -\dfrac{6 \times 4}{6 \times 7}= -\dfrac{4}{7}$. Ainsi la distance est minimale pour \quad $s=-\dfrac{4}{7}$ \quad soit pour \quad M$\left(-\dfrac{71}{14} ; \dfrac{44}{7} ; \dfrac{93}{14} \right)$. \end{enumerate} \end{document}