% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : François Kriegk % relecture : % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : \documentclass[10pt,a4paper,french]{article} % Packages \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} %\usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage{hyperref} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{eurosym}% pb de taille du symbole en compilation lualatex, remplacement par celui de fourier % Définitions %\newcommand{\euro}{\eurologo{}} \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \newcommand{\e}{{\strut\mathrm{\,e}}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \def\Oij{$\left(\text{O} ;\vect{\imath}\,,\,\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O} ; \vect{\imath}\,,\,\vect{\jmath}\,,\,\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O} ; \vect{u}\,,\,\vect{v}\right)$} \providecommand{\up}{\textsuperscript} %Enumérations \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} %%% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %%% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} %%% Définitions ou redéfinitions \renewcommand{\euro}{\eurologo{}} % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\parindent}{0pt} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Terminale, specialite_J2}, pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) -- Session 2026 -- générale}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Sujet} \lfoot{\small{Antilles, Guyane}} \rfoot{\small{17 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{ \decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt] Sujet\\[10pt] Voie générale -- spécialité J2 -- Antilles, Guyane -- 17 juin 2026 }} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \end{center} \section*{Exercice 1 (6 points)} \emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.} \medskip On s'intéresse à un réseau de communication constitué d'une chaîne de relais (satellites, antennes, opérateurs \dots) pour transmettre des messages. \smallskip À chaque transmission entre deux relais successifs, des erreurs peuvent apparaitre dans le message. Une étude statistique a permis d'établir que pour chaque relai : \begin{itemize}[topsep=0pt] \item si le message reçu est sans erreur, il a $94 \%$ de chances d'être transmis sans erreur au relai suivant ; \item si le message reçu comporte des erreurs, il y a $35 \%$ de chances que les erreurs soient corrigées et donc que le message soit transmis sans erreur au relai suivant. \end{itemize} \smallskip On choisit au hasard un message envoyé au cours d'une journée. \smallskip Pour un évènement $E$ quelconque, on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire et par $P(E)$ sa probabilité. \subsection*{Partie A} On considère les évènements suivants : \begin{itemize}[leftmargin=10mm] \item $A_{1}$ : \og le message reçu par le premier relai est sans erreur \fg{} ; \item $A_{2}$ : \og le message reçu par le deuxième relai est sans erreur \fg{}. \end{itemize} On admet que $P\left(A_{1}\right)=0,96$. \medskip \begin{minipage}{0.55\linewidth} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre. \item Montrer que $P\left(A_{2}\right)=\np{0,9164}$. \item Calculer $P_{A_{2}}\big(\,\overline{A_{1}}\,\big)$. On arrondira le résultat à $10^{-4}$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,baseline={(R.base)}] % Styles (MODIFIABLES) \tikzstyle{noeud}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] \tikzstyle{feuille}=[fill=white,circle,inner sep=2pt] \tikzstyle{etiquette}=[pos=0.6,fill=white, inner xsep=3pt, inner ysep=1.5pt] % Dimensions (MODIFIABLES) \def\DistanceInterNiveaux{2.8} \def\DistanceInterFeuilles{0.8} % Dimensions calculées (NON MODIFIABLES) \def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauB{(1)*\DistanceInterNiveaux} \def\NiveauC{(2)*\DistanceInterNiveaux} \def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles} % Noeuds (MODIFIABLES : Styles et Coefficients d'InterFeuilles) \node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {}; \node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A_1$}; \node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$A_2$}; \node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{A_2}$}; \node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$\overline{A_1}$}; \node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$A_2$}; \node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{A_2}$}; % Arcs (MODIFIABLES : Styles) \draw (R.east)--(Ra.west) node[etiquette] {$\dots$}; \draw (Ra.east)--(Raa.west) node[etiquette] {$\dots$}; \draw (Ra.east)--(Rab.west) node[etiquette] {$\dots$}; \draw (R.east)--(Rb.west) node[etiquette] {$\dots$}; \draw (Rb.east)--(Rba.west) node[etiquette] {$\dots$}; \draw (Rb.east)--(Rbb.west) node[etiquette] {$\dots$}; \end{tikzpicture} \subsection*{Partie B} Pour vérifier le bon fonctionnement d'un relai, des tests indépendants les uns des autres sont effectués. Un test est positif si la présence d'au moins une erreur est détectée. On admet que la probabilité qu'un test soit positif est égale à 0,04. On choisit au hasard un échantillon de 50 tests réalisés sur le relai. Le nombre de tests réalisés est suffisamment grand pour assimiler ce choix à un tirage avec remise. \begin{enumerate} \item On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 50 tests associe le nombre de tests positifs. Ainsi la variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,04$. \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité que 4 tests soient positifs dans cet échantillon. On arrondira le résultat à $10^{-2}$. \item Donner la probabilité qu'au moins un test soit positif dans cet échantillon. On arrondira le résultat à $10^{-2}$. \item Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire $X$. \end{enumerate} \item On étudie une chaîne de transmission de l'information composée de 25 relais. On considère la variable aléatoire $X_{1}$ qui à chaque échantillon de 50 tests pratiqués sur le relai 1 associe le nombre de tests positifs. On définit de la même manière les variables aléatoires $X_{2}$ pour le relai $2$, \ldots, $X_{25}$ pour le relai 25. On admet que ces 25 variables aléatoires sont indépendantes entre elles et qu'elles admettent la même espérance égale à 2 et la même variance égale à 1,92. On note $M$ la variable aléatoire donnant la moyenne du nombre de tests positifs lors des contrôles effectués sur les 25 relais. On a donc \quad $M=\dfrac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{25}}{25}$. \begin{enumerate} \item Vérifier que $\mathrm{E}(M)=2$ et montrer que $\mathrm{V}(M)=\np{0,0768}$. \item À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que la probabilité que la moyenne des tests positifs soit strictement inférieure à 7 est supérieure à 0,99. Indication : on pourra utiliser, sans justification, le fait que : \[P(M<7)=P(-3=stealth,baseline={(current bounding box.center)},scale=0.8]%mettre scale à 1 pour la taille du sujet d'origine \draw[darkgray] (-5,0,0) --(4.5,0,0) (0,-4.3,0)--(0,0,0) (0,4.69,0)--(0,5.5,0) (0,0,-1)--(0,0,3.5); \draw[darkgray,dashed] (0,1,0) -- (0,4.7,0); \foreach \coord/\nom/\pos in {{(4.5,0,0)}/B/{below}, {(4.5,3,0)}/C/{right}, {(1.5,1,3)}/D/{above}, {(1.5,1,0)}/H/{below right}, {(-2.5,-2,0)}/L/{above}} {\draw[shift={\coord},line width=0.5pt] (-45:3pt)--(135:3pt) (45:3pt)--(-135:3pt) (0,0,0) circle (0.1pt) node[\pos=2pt] {\nom} ;} \draw[teal,line width=1pt](0,0,0)--(4.5,0,0)--(4.5,3,0)--(1.5,1,3)--cycle (4.5,0,0)--(1.5,1,3); \draw[teal,line width=1pt,dashed](0,0,0)--(4.5,3,0) (1.5,1,3)--(1.5,1,0); \draw[red,line width=1pt] (-2.5,-2,0) -- (2.5,1.75,3.75) node[pos=0.35,above=3pt]{$\Delta$} ; \draw[red,line width=1pt,dashed](-2.5,-2,0)--(-3.,-2.375,-0.375) ; \draw[->,line width=1.2pt] (0,0,0)--(1,0,0) node[pos=0.75,below]{$\vect{\imath}$} ; \draw[->,line width=1.2pt] (0,0,0)--(0,1,0) node[pos=0.9,above]{$\vect{\jmath}$} ; \draw[->,line width=1.2pt] (0,0,0)--(0,0,1) node[pos=0.7,left]{$\vect{k}$} ; \node at(0,0,0) [below left] {A}; \end{tikzpicture} \end{center} \subsection*{Partie A} \begin{enumerate} \item \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth} On représente ci-contre le triangle ABC et sa hauteur issue de C. \begin{enumerate} \item Montrer que le triangle ABC est isocèle en C. \item Montrer que l'aire du triangle ABC est égale à $\np[m^2]{6,75}$. \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{tikzpicture}[every node/.style={black},baseline={(C.base)}] \draw[line width=1pt,teal] (-2.8,0)node[below left]{A}-- (2.8,0)node[below right]{B}-- (0,4)node[above](C){C} -- cycle ; \draw[thick,dashed] (0,0)--(0,4); \draw[very thick,red] (0,12pt)--(12pt,12pt)--(12pt,0); \end{tikzpicture} \item \begin{enumerate} \item Vérifier qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est :\quad $z=0$. \item Montrer que le point H$\left(\dfrac{3}{2} ; 1 ; 0\right)$ est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC). \end{enumerate} \item On rappelle que le volume $\mathcal{V}$ d'un tétraèdre est donné par \quad $\mathcal{V} = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h$,\quad où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur relative à la base $\mathcal{B}$. En déduire le volume du module. \end{enumerate} \subsection*{Partie B} \begin{enumerate} \item On considère le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix} 4\\3\\3 \end{pmatrix}$. \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur $\vect{n}$ est un vecteur normal au plan (BCD). \item En déduire qu'une équation cartésienne du plan (BCD) est : \[4x+3y+3z-18=0.\] \item Donner une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ orthogonale au plan (BCD) et passant par D. \end{enumerate} \item On admet que la droite $\Delta$ et le plan (ABC) sont sécants et on désigne par L leur point d'intersection. Montrer que L a pour coordonnées $\left(-\dfrac{5}{2} ; -2 ; 0\right)$. \item Le module est considéré adapté aux débutants si l'angle $\widehat{\mathrm{LDH}}$ est strictement inférieur à $60$\,\textdegree{}. Montrer que ce module est adapté aux débutants. \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice 3 (4 points)} \emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.\\ Justifier chaque réponse.\\ Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.} \begin{enumerate} \item Le plan est muni d'un repère orthonormé. \begin{enumerate} \item On considère l'équation différentielle \quad $\left(E_{1}\right): \quad y'+2 y=0$,\quad où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie sur $\R$. On note $f$ la solution de l'équation différentielle $(E_{1})$ telle que $f(0)=1$. \textbf{Affirmation 1 :} La courbe représentative de la fonction $f$ passe par le point A de coordonnées $\left(\ln 2 ; \dfrac{1}{2}\right)$. \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]$ par : \[f(x)=x-\cos (x)\] \textbf{Affirmation 2 :} Sur l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{2} ; \pi\right]$, la courbe représentative de la fonction $f$ est au-dessus de ses tangentes. \item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$ par : \[f(x)=1+\dfrac{\sin (x)}{x}\] \textbf{Affirmation 3 :} La droite d'équation $y=1$ est une asymptote horizontale de la courbe représentative de la fonction $f$. \end{enumerate} \item On considère l'équation différentielle \quad $\left(E_{2}\right): \quad y'-3 y=2-6 x$,\quad où $y$ est une fonction de la variable $x$ définie sur $\R$. \textbf{Affirmation 4 :} La fonction $f$ définie sur $\R$ par \[f(x)=2 x-\e^{3 x}\] est une solution de l'équation $(E_{2})$. \end{enumerate} \section*{Exercice 4 (5 points)} On considère la fonction $f_{k}$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par : \[f_{k}(x)=1-x+\dfrac{k(1+\ln x)}{x}\] où $k$ est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme népérien. \medskip On désigne par $\mathcal{C}_{k}$ la représentation graphique de la fonction $f_{k}$ dans un repère orthonormé. \medskip On admet que la fonction $f_{k}$ est deux fois dérivable sur $] 0 ;+\infty[$. \medskip On note $f_{k}'$ sa dérivée première et $f_{k}''$ sa dérivée seconde. \newpage \subsection*{Partie A : étude d'un premier cas particulier} Dans cette partie, on se place dans le cas $k=2$. La courbe $\mathcal{C}_{2}$ est représentée sur le graphique ci-dessous. On précise que : \begin{itemize}[leftmargin=10mm] \item Le point A est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_{2}$; \item $T_{2}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point A. \begin{center} \begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)}]%compiler avec pgfplots \begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma, x={22mm}, y={22mm}, xmin = -0.3, xmax = 3.6, ymin = -1.6, ymax = 2.4, xtick={0,1,...,4}, ytick ={-2,...,2}, xticklabels={0,1}, yticklabels={,,0,1}, minor tick num = 1, grid=both, axis lines =center] \addplot [line width=1.pt,color=teal,smooth,samples=100,domain= 0.1:3.6,dashed]{-1.369*(x-1.649)+1.171}; \addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.1:3.6]{1-x+2*(1+ln(x))/x}; \node[below left] at (axis cs: 0,0) {{0}}; \node[red] at(axis cs: 0.47,-1.25) {$ \mathcal{C}_2$}; \node[teal] at(axis cs: 1,2.25) {$T_2$}; \draw[shift={(axis cs: 1.649,1.171)}] (2pt,-2pt)--(-2pt,2pt) (-2pt,-2pt)--(2pt,2pt) node[above right]{A} ; \end{axis} \end{tikzpicture} \end{center} \end{itemize} \begin{enumerate} \item On considère une primitive $F_{2}$ de la fonction $f_{2}$ sur $] 0 ;+\infty[$. Avec la précision permise par le graphique, donner les variations de la fonction $F_{2}$ sur l'intervalle $]0 ; 3]$. \item Parmi les trois courbes ci-dessous, indiquer celle qui représente $f_{2}'$ et celle qui représente $f_{2}''$. Justifier. \end{enumerate} \begin{tblr}{X[c]X[c]X[c]} \begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)}]%compiler avec pgfplots \begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma, x={11mm}, y={11mm}, xmin = -0.3, xmax = 3.6, ymin = -1.6, ymax = 2.4, xtick={0,1,...,4}, ytick ={-2,...,2}, xticklabels={0,1}, yticklabels={,,0,1}, minor tick num = 1, grid=both, axis lines =center] \addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.5:3.6]{-1-2*ln(x)/(x^2)}; \node[below left] at (axis cs: 0,0) {{0}}; \end{axis} \end{tikzpicture}& \begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)}]%compiler avec pgfplots \begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma, x={11mm}, y={11mm}, xmin = -0.3, xmax = 3.6, ymin = -1.6, ymax = 2.4, xtick={0,1,...,4}, ytick ={-2,...,2}, xticklabels={0,1}, yticklabels={,,0,1}, minor tick num = 1, grid=both, axis lines =center] \addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0.9:3.6]{(-2+4*ln(x))/(x^3)}; \node[below left] at (axis cs: 0,0) {{0}}; \end{axis} \end{tikzpicture}& \begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)}]%compiler avec pgfplots \begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma, x={11mm}, y={11mm}, xmin = -0.3, xmax = 3.6, ymin = -1.6, ymax = 2.4, xtick={0,1,...,4}, ytick ={-2,...,2}, xticklabels={0,1}, yticklabels={,,0,1}, minor tick num = 1, grid=both, axis lines =center] \draw[line width=1.2pt,color=red,smooth] (axis cs: 0.5,-1.6) .. controls (axis cs: 1,-0.85) and (axis cs: 1.5,-0.4) .. (axis cs: 2.5,0) .. controls (axis cs: 3.5,0.4) and (axis cs: 3.6,0.35) .. (axis cs: 3.6,0.35); \node[below left] at (axis cs: 0,0) {{0}}; \end{axis} \end{tikzpicture}\\ Courbe 1 & Courbe 2 & Courbe 3\\ \end{tblr} \newpage \subsection*{Partie B : étude d'un second cas particulier} Dans cette partie on se place dans le cas $k=1$. \medskip On considère la fonction $f_{1}$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par : \[f_{1}(x)=1-x+\dfrac{1+\ln x}{x}\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout réel $x>0$ : \[f_{1}'(x)=-1-\dfrac{\ln x}{x^{2}}.\] \item Déterminer la limite de $f_{1}'(x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \item On admet que : \begin{itemize}[leftmargin=1cm] \item l'axe des ordonnées est une asymptote de la courbe de $f_{1}'$; \item pour tout réel $x>0$, \quad $f_{1}''(x)=\dfrac{2 \ln x-1}{x^{3}}$. \end{itemize} On donne ci-dessous le tableau de variations de $f_{1}'$ sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$. \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=1,espcl=4] {$x$/0.8, $f_{1}'$/2} {0,$\e^{\frac{1}{2}}$,$+\infty$} \tkzTabVar{D+/$+\infty$,-/$-1-\dfrac{1}{2\e}$,+/$-1$} \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Justifier les variations de la fonction $f_{1}'$ sur l'intervalle $]0 ;+\infty[$ et la valeur de l'extremum. \item Justifier la limite de la fonction $f_{1}'$ en 0. \item Montrer qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation \quad $f_{1}'(x)=0$ \quad sur $] 0 ;+\infty[$. En déduire que $f_{1}$ admet un maximum sur l'intervalle $] 0 ;+\infty[$. \item Recopier et compléter les pointillés du programme écrit en langage Python ci-dessous, afin qu'il renvoie une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solution $\alpha$ de l'équation \quad $f_{1}'(x)=0$ \quad sur $] 0 ;+\infty[$. \begin{center} \begin{tblr}{colspec={X[6cm, font=\ttfamily]},rowsep=0pt, vlines, hline{1,Z}={solid}} def d(x) :\\ \quad return -1-ln(x)/x**2\\ \\ def alpha() :\\ \quad u = 0.5\\ \quad while d(u) ... 0 :\\ \quad \quad u = ...\\ \quad return u\\ \end{tblr} \end{center} On rappelle que \texttt{x**2} désigne $x^{2}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie C: $\boldsymbol{k}$ quelconque} On considère la fonction $h$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par \quad $h(x)=\dfrac{1+\ln x}{x}$, et la fonction $H$ définie sur $] 0 ;+\infty[$ par \quad $H(x)=\dfrac{1}{2}(1+\ln x)^{2}$. On admet que $H$ est dérivable sur $] 0 ;+\infty[$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $H$ est une primitive de $h$. \end{enumerate} On rappelle que $k$ est un réel strictement positif et que $f_{k}$ est la fonction définie sur $] 0 ;+\infty[$ par : \[f_{k}(x)=1-x+\dfrac{k(1+\ln x)}{x}\] \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{1} \item Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle la valeur moyenne de la fonction $f_{k}$ sur l'intervalle $[ 1 ; \e]$ est égale à 0 ? Justifier. \end{enumerate} \end{document}