% Préambule APMEP - Annales
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% tapuscrit : François Kriegk
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\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
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% tableaux
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% texte et composition
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  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
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% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
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% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Terminale, Série STI2D},
    pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale)  -- Voie technologique -- Session 2026},
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% Pour scratch (code)
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  % usage (exemple)
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%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
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\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
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\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
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% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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%
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%
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%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Antilles, Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie technologique -- Série STI2D -- Antilles, Guyane -- 16 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}


\section*{Exercice PCM (2 points)}

\begin{enumerate}[start=5]
	\item Comme $-\np{0,0045} < 0$, par limite du produit :\quad $\lim\limits_{t \to +\infty}-\np{0,0045}t = -\infty$;

	Puis, par composition :\quad $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-\np{0,0045}t} = \lim\limits_{X \to -\infty}\e^{X} = 0$;

	Enfin, par limite du produit et de la somme, \quad $\lim\limits_{t \to +\infty} g(t) = \lim\limits_{t \to +\infty}10\e^{-\np{0,0045}t} + 15 = 15$.

	Après l'arrêt du système maintenant la face chaude à 25\textdegree{}C, la température de cette face va se stabiliser aux environs de 15\textdegree{}C.

	\item $g$ est de la forme :\quad $g(t)=k\e^{at}$ \qquad donc sa dérivée vérifie : \qquad $g'(t)=ka\e^{at}$.

	Ainsi, pour tout $t$ réel positif :\quad $g'(t) = 10 \times (\np{-0,0045}\e^{-\np{0,0045}t}) = -0,045\e^{-\np{0,0045}t}$.

	On arrive bien à l'expression annoncée dans le sujet.

	\item On résout :\quad $\begin{aligned}[t]
		-0,045t + 25  = 15
		&\iff -0,045t = 15 - 25\\
		&\iff -0,045t = -10\\
		&\iff t = \dfrac{-10}{-0,045}\\
		&\iff t = \dfrac{\np{10000}}{45} = \dfrac{\np{2000}}{9}\\
	\end{aligned}$

	La solution de l'équation est $\dfrac{\np{2000}}{9} \approx 222$. En arrondissant à la dizaine de secondes, on a bien $\tau$ environ égal à \np[s]{220}.

	\item $g(\np{1100}) = 10 \e^{-\np{0,0045}\times \np{1100}} +15 = 10\e^{-4,95} +15 \approx 15,071$.

	Au millième près, la température de la face chaude \np[s]{1100} après que le système de chauffage a été arrêté est d'environ 15,071\,\textdegree{}C.

	\item Ici, $5\tau \approx 5 \times 220 = \np{1100}$, et effectivement, à ce moment-là (et à partir de ce moment-là, car la fonction $g$ décroît vers sa limite), la température modélisée est à moins d'un dixième de degré de la température limite : le critère est validé.
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice maths (4 points)}
\subsection*{Question 1 :}
	\begin{enumerate}
		\item Pour une équation différentielle de la forme \quad $y' = ay + b$,\quad où $a$ et $b$ sont des réels, les solutions sont les fonctions de la forme :

		$y : x \longmapsto C\e^{ax} - \dfrac{b}{a}$,\quad où $C$ est un réel quelconque.

		Ici, on a : \quad $a = -2$ \quad et \quad $b = 90$, \quad donc\quad $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{90}{-2} = +45$.

		L'ensemble des solutions de (E) est donc :\quad $\Bigl\{x \longmapsto C\e^{-2x} + 45, \quad C \in \R \Bigr\}$.

		\item On cherche une fonction $f$ dans cet ensemble des solutions, qui vérifie $f(0) = 30$.

		$\begin{aligned}[t]
			f(0) = 30
			&\iff C\e^{-2\times 0} + 45 = 30\\
			&\iff C\e^{0} = 30 - 45\\
			&\iff C\times 1 = -15\\
			&\iff C = -15
		\end{aligned}$

		La fonction cherchée a pour expression :\quad $f(x) = -15\e^{-2x} + 45$.
	\end{enumerate}

\subsection*{Question 2 :}
	Le point est sur le cercle de centre O et de rayon 2, donc le module de $z_{\mathrm{A}}$ est \quad $\bigl|z_{\mathrm{A}}\bigr| = 2$.

	On note $\theta$ un argument de $z_{\mathrm{A}}$. Comme l'abscisse de A est 1, on sait que :\quad $\cos(\theta) = \dfrac{1}{\bigl|z_{\mathrm{A}}\bigr|} = \dfrac{1}{2}$.

	On reconnaît le cosinus de $\dfrac{\pi}{3}$, mais ici, l'ordonnée de A est clairement négative, donc on veut un angle dans l'intervalle $\left[-\dfrac{\pi}{2} ; 0\right] $ ayant le même cosinus que $\dfrac{\pi}{3}$ : grâce à la parité de la fonction cosinus, on sait que l'angle cherché est $-\dfrac{\pi}{3}$.

	Ainsi, la forme exponentielle de $z_{\mathrm{A}}$ est :\quad $z_{\mathrm{A}} = 2\e^{-\i\frac{\pi}{3}}$.

\subsection*{Question 3 :}
	\begin{enumerate}
		\item On peut poser : \quad $u : x \longmapsto x + 2$ \quad et  \quad $v : x \longmapsto \e^{x}$.

		On a alors : \quad $u' : x \longmapsto 1$ \quad et  \quad $v' : x \longmapsto \e^{x}$.

		On a aussi :\quad $g = \dfrac{u}{v}$\quad et donc :\quad $g' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2}$.

		Ainsi, pour tout $x$ réel :\quad $\begin{aligned}[t]
			g'(x)
			&= \dfrac{1 \times \e^{x} - \e^{x}\times (x + 2)}{\bigl(\e^{x}\bigr)^2 }
			= \dfrac{\e^{x}\times\bigl(1 - (x + 2)\bigr)}{\bigl(\e^{x}\bigr)^2 }
			=\dfrac{\e^{x}\times\bigl(1 - x - 2)\bigr)}{\e^{x}\times \e^{x} }\\
			&=\dfrac{\e^{x}\times\bigl(-1 - x)\bigr)}{\e^{x}\times \e^{x} }
			= \dfrac{-1-x}{\e^{x}} .
		\end{aligned}$

		On arrive bien à l'expression annoncée.

		\item La fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, donc le signe de $g'(x)$ est le même que le signe de $-1-x$.

		$\begin{aligned}[t]
			-1 - x > 0 &\iff -1 > x\\
			&\iff x < -1
			&\iff x \in ]-\infty ; -1[
		\end{aligned}$
		\quad
		$\begin{aligned}[t]
			-1 - x < 0 &\iff -1 < x\\
			&\iff x > -1
			&\iff x \in ]-1 ; +\infty[
		\end{aligned}$

		On peut donc dire :

		\begin{itemize}
			\item sur $]-\infty ; -1[$, la fonction dérivée est à valeurs strictement positives, donc sur $]-\infty ; -1]$, la fonction $g$ est strictement croissante;
			\item sur $]-1 ; +\infty[$, la fonction dérivée est à valeurs strictement négatives, donc sur $[-1 ; +\infty [$, la fonction $g$ est strictement décroissante.
		\end{itemize}

		On peut aussi faire un tableau de variations (sans limites) :

		\hfill~\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=4]{$x$/0.7, signe de $g'(x)$/0.7, variations de $g$/1.5}
			{$-\infty$,$-1$,$+\infty$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}
			\tkzTabVar{-/{},+/{},-/{}}
		\end{tikzpicture}\hfill~
	\end{enumerate}

\subsection*{Question 4}
	\begin{enumerate}
		\item On a :\quad $\begin{aligned}[t]
			A &= \ln\left(\dfrac{\e^4}{\e^{-2}}\right) \\
			&= \ln(\e^{4}) - \ln(\e^{-2})\quad\text{ car } \ln\dfrac{a}{b} = \ln a - \ln b.\\
			& = 4 - (-2)\quad \text{ car, par définition : } \ln(\e^{a}) = a\\
			& = 4 + 2\\
			& = 6.
		\end{aligned}$

		On a donc :\quad$A = 6$.

		\item $\begin{aligned}[t]
			\ln\left(\dfrac{9}{4}\right) + \ln\left(\dfrac{8}{3}\right)
			&= \ln\left(\dfrac{9}{4} \times\dfrac{8}{3}\right)\quad\text{ car } \ln(a) + \ln(b) = \ln(ab).\\
			& = \ln\left(\dfrac{3 \times 3}{4} \times \dfrac{2 \times 4}{3}\right) \\
			& = \ln\left(\dfrac{3}{1} \times \dfrac{2}{1}\right) \\
			& = \ln(3 \times 2)\\
			& = \ln(6).
		\end{aligned}$

		On arrive bien à :\quad$\ln\left(\dfrac{9}{4}\right) + \ln\left(\dfrac{8}{3}\right) = \ln(6)$.
	\end{enumerate}
\end{document}
