% Préambule APMEP - Annales
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% tapuscrit : François Kriegk
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% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
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\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
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	\usepackage{amsmath,amssymb}
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\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
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\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
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% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
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\usepackage{fancyhdr}
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% pour le symbole €
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  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
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% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
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\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
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% Taille de la zone d'écriture
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% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Terminale, Série STI2D},
    pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale)  -- Voie technologique -- Session 2026},
    allbordercolors = white,
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% Pour scratch (code)
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% Pour le code Python
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  % usage (exemple)
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%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
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%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
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%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
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%% pour TikZ
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\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
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% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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%
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%
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%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
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%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{16 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie technologique -- Série STI2D -- Polynésie -- 16 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}

\section*{Exercice PCM (2 points)}
	\begin{enumerate}[start=3]
		\item \emph{Première approche :} On vérifie que la fonction donnée est bien solution de l'équation différentielle, avec la condition initiale.

		Avec $\omega(t) = -660\e^{-0,028t} + 660$, on a :

		\begin{itemize}
			\item $\omega(0) = -660\e^{-0,028\times 0}+660 = -660\times 1 + 660 = 0$,

			la condition initiale est bien vérifiée;

			\item pour tout $t$ réel positif, on a :
			d'une part :\quad $\omega'(t) = -660 \times \big(-0,028\e^{-0,028t}\big) + 0 = 660\times 0,028 \e^{-0,028t}$,

			c'est-à-dire : \quad $\omega'(t) = 18,48\e^{-0,028t}$;

			d'autre part :\quad $\begin{aligned}[t]
				-0,028\omega(t) + 18,48
				&= -0,028\big(-660\e^{-0,028t}+ 660\big) + 18,48\\
				&=0,028\times 660 \e^{-0,028t} - 0,028\times 660 + 18,48\\
				&=18,48\e^{-0,028t} - 18,48 + 18,48\\
				&=18,48\e^{-0,028t}.
			\end{aligned}$

			On constate que, pour tout réel positif, on a : \quad $\omega'(t) = -0,028\omega(t) + 18,48$;

			$\omega$ vérifie l'équation différentielle.
		\end{itemize}

		En conclusion, la fonction $\omega$ est bien la solution de l'équation différentielle qui vérifie la condition initiale $\omega(0) = 0$.

		\emph{Seconde approche :} On utilise la propriété du cours.

		\begin{itemize}
			\item L'équation différentielle est de la forme $\quad y' = ay + b$\quad donc on sait que les solutions sont les fonctions de la forme :
			\quad
			$t\longmapsto C\e^{at} - \dfrac{b}{a}$,\quad où $C$ est un réel quelconque.

			Avec $a = -0,028$ et $b = 18,48$, on a :\quad $-\dfrac{b}{a} = -\dfrac{18,48}{-0,028} = +660$.

			On en déduit que les solutions à l'équation différentielle sont les fonctions de la forme :

			$\omega : t \longmapsto C \e^{-0,028t} + 660$, \quad où $C$ est un réel quelconque.

			\item Pour vérifier que l'image de 0 est 0, on a :

			$\begin{aligned}
				\omega(0) = 0
				&\iff C \e^{-0,028\times 0} + 660 = 0\\
				&\iff C\e^{0} = -660\\
				&\iff C = -660
			\end{aligned}$
		\end{itemize}

		Ainsi, la fonction $\omega$, solution de l'équation différentielle et qui vérifie $\omega(0) = 0$ est la fonction définie par :

		$\omega : t \longmapsto -660 \e^{-0,028t} + 660$.

		\item On a :
		\begin{itemize}
			\item $\lim\limits_{t \to +\infty} -0,028t = -\infty$,\quad par limite du produit;
			\item par composition, on en déduit :\quad $\lim\limits_{t \to +\infty} \e^{-0,028t} = \lim\limits_{X \to -\infty} \e^{X} = 0$;
			\item puis, par limite du produit:\quad $\lim\limits_{t \to +\infty} -660\e^{-0,028t} = 0$;
			\item et enfin, par limite de la somme :\quad $\lim\limits_{t \to +\infty} -660\e^{-0,028t} +660 = 660$.
		\end{itemize}

		Ainsi, on a :\quad $\lim\limits_{t \to +\infty} \omega(t)=660$.

		Cela signifie que la vitesse maximale de rotation du moteur est de \np[rad\cdot s^{-1}]{660}.

		\item $\dfrac{1}{20}\times 660 = 33.$

		Puisque la vitesse du rotor est un vingtième de la vitesse du moteur, on en déduit que la vitesse maximale du rotor est de \np[rad \cdot s^{-1}]{33}.

		\item $\dfrac{2\pi}{33}\approx0,19$ est le temps (exprimé en secondes) que met le rotor à faire un tour complet (c'est-à-dire une rotation de $2\pi$\,rad). Ce temps est proche de $0,2 = \dfrac{1}{5}$, cela signifie que le rotor fait environ 5 tours par seconde.

		L'extrémité de la pale décrit un cercle de rayon 5 mètres.

		$2\pi \times R = 2\pi\times 5 = 10\pi\approx31,4$.

		La circonférence de ce cercle est de $10\pi$ mètres (soit environ 31,4 mètres).

		$\dfrac{10\pi}{~~\dfrac{2\pi}{33}~~} = 10\pi\times \dfrac{33}{2\pi} = 5 \times 33 = 165$.

		La vitesse à l'extrémité de la pale est donc de \np[m \cdot s^{-1}]{165}.

		\emph{Remarque :} ce résultat est cohérent avec l'ordre de grandeur d'environ 5 tours d'environ 31 mètres soit environ 155 mètres en une seconde.

		\item La vitesse à l'extrémité des pales est donc nettement inférieure à la vitesse du son dans l'air : les règles de sécurité sont bien respectées.
	\end{enumerate}

\section*{Exercice maths (4 points)}
	\subsection*{Question 1}
		\begin{enumerate}
			\item Dérivons $F$. Pour tout $t$ réel, on a :

			$F'(t) = -2,5 \times \big(-2\e^{-2t}\big) + 3 = (-2,5)\times (-2)\e^{-2t} +3 = 5\e^{-2t} + 3$.

			On a bien \quad $F'(t) = f(t)$ \quad pour tout nombre $t$ réel : $F$ est bien une primitive de $f$ sur \R.

			\item On en déduit que :

			$I = \ds\int_{-2}^{0} \big(5\e^{-2t} + 3\big)\d t = \ds\int_{-2}^{0} f(t) \d t = \big[F(t)\big]_{-2}^{0} = F(0) - F(-2)$

			$I = \Big(-2,5 \e^{-2\times 0} + 3\times 0\Big) - \Big(-2,5 \e^{-2\times (-2)} + 3\times (-2)\Big) = \Big(-2,5 \times 1 + 0\Big) - \Big(-2,5\e^{4} - 6\Big)$

			$I = -2,5 + 2,5\e^{4} + 6 = 3,5 + 2,5\e^{4}$.

			On arrive bien à l'égalité annoncée :\quad $I = 3,5 + 2,5\e^{4}$.
		\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 2}
	\begin{enumerate}
		\item Dérivons $g$. Pour tout réel $x$, on a :\quad$g'(x) = 2\times \big(3\e^{3x}\big) - 0 = 6\e^{3x}$.

		La fonction exponentielle est à valeurs positives, donc, pour tout $x$ réel : \quad $\e^{3x} > 0$.

		Comme 6 est strictement positif aussi, pour tout $x$ réel :\quad $g'(x) = 6\e^{3x} > 0$.

		On a bien démontré que la fonction $g'$ est à valeurs strictement positives.

		\item Comme $g$ a une fonction dérivée à valeurs strictement positives, on en déduit que $g$ est strictement croissante sur $\R$.

		\item Résolvons :\quad $\begin{aligned}[t]
			g(x) = 0
			&\iff 2\e^{3x} - 16 = 0\\
			&\iff 2\e^{3x} = 16\\
			&\iff \e^{3x} = 8\\
			&\iff 3x = \ln(8)\quad \text{ car }8 > 0\\
			&\iff x = \dfrac{1}{3}\ln(8)\\
			&\iff x = \dfrac{1}{3}\ln(2^3) = \dfrac{1}{3}\times 3\ln(2)\\
			&\iff x = \ln(2)
		\end{aligned}$

		La solution de l'équation est donc $\ln(2)$, la réponse $\dfrac{1}{3}\ln(8)$ est correcte également.
	\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 3}
	\begin{enumerate}
		\item On calcule :\quad $-2 z_{\mathrm{B}} = 2\e^{\i \pi} \times 2\e^{\i\frac{2\pi}{3}} = 2\e^{\i \frac{3\pi}{3}} \times 2\e^{\i\frac{2\pi}{3}} = 2 \times 2 \times \e^{\i \left(\frac{3\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}\right)} = 4\e^{\i\frac{5\pi}{3}} = z_{\mathrm{A}}$.

		On arrive bien à :\quad $z_{\mathrm{A}} = -2z_{\mathrm{B}}$.

		\item La proposition correcte est la proposition 2.

		En effet, si on a $z_{\mathrm{A}} = -2z_{\mathrm{B}}$, cela veut dire que $\vectt{OA} = -2\vectt{OB}$, car O étant l'origine du repère, l'affixe d'un point M est aussi l'affixe du vecteur $\vectt{OM}$.

		L'égalité $\vectt{OA} = -2\vectt{OB}$ traduit bien le fait que A est l'image de B par l'homothétie de centre O (car les vecteurs ont comme origine O) et de rapport $-2$ (car le vecteur image est le produit du vecteur antécédent par le réel $-2$).
	\end{enumerate}

\end{document}
