% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : 			François Kriegk
% relecture :
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
% version 2 : 2026-07-16
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Terminale, Série STI2D},
    pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale)  -- Voie technologique -- Session 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Antilles, Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie technologique -- Série STI2D -- Antilles, Guyane -- 16 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Sujet
\end{center}

\section*{Exercice PCM (2 points)}
	\textbf{Isolation écologique}

	Le chanvre est l'un des plus anciens isolants au monde. Plébiscité pour ses qualités thermiques et acoustiques, il est encore régulièrement utilisé aujourd'hui.

	\hfill \emph{D'après \href{https://www.izi-by-edf-renov.fr/blog/isolation-chanvre}{https://www.izi-by-edf-renov.fr/blog/isolation-chanvre}}

	On souhaite contrôler la qualité d'isolation d'une plaque de laine de chanvre. On dispose pour cela d'un fluxmètre permettant de mesurer le flux thermique à travers la plaque lorsque ses deux faces sont maintenues à des températures différentes : la face \og chaude \fg{} à une température $\theta_{1}$ et la face \og froide \fg{} à une température $\theta_{2}$.

	Le système permettant le maintien de la température de la face \og chaude \fg{} à $25^{\circ}\mathrm{C}$ est arrêté.

	\medskip

	On modélise l'évolution de la température (en ${}^{\circ} \mathrm{C}$) de la face \og chaude \fg{} au cours du temps par une fonction $g$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $g(t)=10 \e^{-\np{0,0045} t}+15$, où $t$ est le temps exprimé en seconde.

	\begin{enumerate}[start=5]
		\item Calculer $\lim\limits_{t \to +\infty} g(t)$.

		\item Montrer que pour tout $t$ de $[0 ; +\infty[$, \quad$ g'(t)=-0,045 \e^{-\np{0,0045} t}$,\quad où $g'$ est la fonction dérivée de la fonction $g$.
	\end{enumerate}

	\needspace{10\baselineskip}

		La courbe représentative de la fonction $g$ (notée $\mathcal{C}_{g}$) ainsi que sa tangente $T$ au point d'abscisse 0 sont représentées dans le repère ci-dessous.

		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
		\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,
			x={0.3mm}, y={3mm},
			xmin = 0, xmax =520 ,
			ymin = 0, ymax =32 ,
			tick label style={font=\scriptsize},
			axis x line =middle, axis y line=middle,
			axis line style={line width=1pt},
			xtick={20,40,...,500}, extra x ticks={520}, extra x tick label={{\normalsize $t$}},
			ytick={2,4,...,30}, extra y ticks={32}, extra y tick label={{\normalsize $y$}},
			clip=false,
			,grid=major]
			\node[below left] at (axis cs: 0,0) {{\scriptsize 0}};
			\addplot [line width=1pt,color=teal,samples=2,domain= 0:520 ]{-0.045*x+25};
			\node[teal] at(axis cs: 290,13) {$T$};
			\addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0:520 ]{10*exp(-0.0045*x)+15};
			\node[red] at(axis cs: 170,21) {$ \mathcal{C}_g$};
		\end{axis}
		\end{tikzpicture}
		\end{center}


		On admet que la tangente $T$ a pour équation $y=-0,045 t+25$.

		On appelle $\tau$ l'abscisse du point d'intersection de cette tangente avec la droite d'équation $y=15$.
	\begin{enumerate}[resume]
		\item Justifier que 220 est une valeur approchée de $\tau$ à 10 secondes près.

		\item Donner une valeur approchée de $g(\np{1100})$ à $10^{-3}$ près.
	\end{enumerate}

	En physique, on estime qu'à partir d'un temps supérieur à $5 \tau$, la température obtenue est une bonne approximation de la température limite.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item Indiquer si le modèle vérifie ce critère.
	\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
\section*{Exercice maths (4 points)}

\textbf{Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes.}

\subsection*{Question 1}
	On considère l'équation différentielle (E) :\quad  $y'=-2 y+90$ \quad où $y$ est une fonction définie sur $\R$ et $y'$ sa dérivée.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
		\item Le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij.

		Donner l'expression de la solution de (E) dont la courbe représentative dans ce repère passe par le point de coordonnées $(0 ; 30)$.
	\end{enumerate}



\subsection*{Question 2}
	Le cercle $C$ de centre 0 et de rayon 2 est représenté ci-dessous, dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \Ouv.

	Le point A d'abscisse 1 appartient au cercle $C$; on note $z_{\mathrm{A}}$ l'affixe du point A.

	\begin{center}
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[>=stealth]%compiler avec pgfplots
				\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,
					x={15mm}, y={15mm},
					xmin = -2.5, xmax = 2.9,
					ymin = -2.5, ymax = 2.5,
					xtick distance=1,
					ytick distance=1,
					axis x line =middle, axis y line=middle,
					axis line style={line width=1pt},
					xticklabels={,,,,1,2,}, x tick label style={below right},
					yticklabels={,,,,1,2,}, y tick label style={above left},
					clip=false,
					,grid=major]
					tick label style={font=\footnotesize},
					minor tick num = 1,
					grid=major, axis lines =center]
					\node[below left] at (axis cs: 0,0) {O};
					\draw[line width=1.5pt,->] (axis cs: 0,0)-- (axis cs: 1,0)
					node[pos=0.5, below]{$\vect{u}$};
					\draw[line width=1.5pt,->] (axis cs: 0,0)-- (axis cs: 0,1)
					node[pos=0.5, left]{$\vect{v}$};
					\draw[red, line width=1.2pt] (axis cs: 0,0) circle (2) ;
					\node[red] at (axis cs: -1.6,1.6) {$C$};
					\draw[line width=1pt, dash dot] (axis cs: 1,0)--(axis cs: 1,-1.732);
					\draw[line width=1pt, shift={(axis cs: 1,-1.732)}]
					(2pt,2pt)--(-2pt,-2pt) (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt) node[below right]{A};
				\end{axis}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}

	\end{center}
	Donner la forme exponentielle de $z_{\mathrm{A}}$. Aucune justification n'est attendue.

\subsection*{Question 3}
	On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
	\[g(x)=\dfrac{x+2}{\e^{x}}\]

	\begin{enumerate}
		\item On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Montrer que pour tout $x$ réel,
		\[g'(x)=\dfrac{-1-x}{\e^{x}}\]

		\item En déduire les variations de la fonction $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate}

\subsection*{Question 4}
	\begin{enumerate}
		\item Simplifier, en détaillant vos calculs, l'expression :
		\[\mathrm{A}=\ln \left(\dfrac{\e^{4}}{\e^{-2}}\right)\]

		\item Montrer, en détaillant vos calculs, que :
		\[\ln \left(\dfrac{9}{4}\right)+\ln \left(\dfrac{8}{3}\right)=\ln (6)\]
	\end{enumerate}
\end{document}