% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Stéphan Grignon (CoopMaths)
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications : Aymeric Picaud
% Remerciements :
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
\usepackage{hyperref}
%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
	\ifmmode\expandafter\text\fi
	{\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Terminale, Série STI2D},
	pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale)  -- Voie technologique -- Session 2026},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
	language=Python,
	basicstyle=\ttfamily\small,
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
	commentstyle=\color{gray}\itshape,
	stringstyle=\color{orange},
	numbers=left,
	numberstyle=\tiny\color{gray},
	breaklines=true,
	frame=single,
	backgroundcolor=\color{gray!5},
	tabsize=4
}
% usage (exemple)
%\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,\mathrm{d}}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

	%---------------------------------------------------------
	% Réglage entête, pied de page
	%---------------------------------------------------------
	\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
	\lhead{\small Sujet}
	\lfoot{\small{Métropole}}
	\rfoot{\small{16 juin 2026}}
	\pagestyle{fancy}

	\thispagestyle{empty}


	%---------------------------------------------------------
	% Titre
	%---------------------------------------------------------
	\begin{center}
		{\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]Sujet\\[10pt]
				\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
				Voie technologique -- Série STI2D -- Métropole -- 16 juin 2026 }}
	\end{center}

\section*{Exercice PCM \hfill 4 points}

\begin{center}
\textbf{Refroidir une boisson}
\end{center}

Une élève de terminale STI2D a acheté des glaçons ayant des aspects très variés : matière plastique, acier inoxidable, pierre de granit.

Elle s'interroge sur leur efficacité en comparaison des glaçons traditionnels constitués d'eau sous forme de glace.

Elle réalise l'expérience suivante : après avoir versé 200 g d'eau dans quatre verres munis chacun d'un thermomètre, elle ajoute dans chacun un glaçon de volume identique, tout juste sorti du congélateur.

Elle suit ensuite l'évolution de la température de l'eau de chaque verre en fonction du temps.

\medskip

On s'intéresse à $T_1$\,, la température de la boisson (en \textdegree{}C) refroidie avec les glaçons d'aspect plastique.

La température $T_1$ est modélisée par la fonction définie pour tout $t \in [0~;~+\infty[$ par :
\[T_1(t) = 11{,}5\e^{-0{,}006t} + 11{,}5.\]

On admet que $T_1$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $T_1'$ sa dérivée.

On considère l'équation différentielle suivante :
\[(E)~:~y' + 0{,}006y = 0{,}069.\]

\begin{enumerate}[start=4]
\item Montrer que $T_1$ est la solution de $E$ vérifiant la condition $T_1(0) = 23$.

\item Déterminer la valeur de $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} T_1(t)$.

\item En supposant que la température extérieure reste constante et égale à 23,0\,\textdegree{}C, estimer la valeur de la température de la boisson au bout de 3~h.

Indiquer si le modèle mathématique précédent peut être appliqué dans ce cas.
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice Maths \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x) = (8x + 1)\e^{-x}.\]

On admet que $f(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ appartenant à $[0~;~2]$.

Dans le repère orthonormé \Oij{} ci-dessous, $C_f$ désigne la courbe représentative de $f$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[x=3cm,y=3cm,xscale=0.7,yscale=0.7,>=Latex]
\fill[pattern={Lines[angle=45,distance=7pt,line width=0.45pt]}, pattern color=orange!80!black]
  (0,0) -- plot[domain=0:2,samples=100] (\x,{(8*\x+1)*exp(-\x)}) -- (2,0) -- cycle;
\foreach \x in {1,2,3,4,5}
  \draw[gray!65, line width=0.5pt] (\x,0) -- (\x,3.75);
\foreach \y in {1,2,3}
  \draw[gray!65, line width=0.5pt] (-0.85,\y) -- (5.5,\y);
\draw[orange!80!black, line width=0.8pt]
  (0,0) -- plot[domain=0:2,samples=100] (\x,{(8*\x+1)*exp(-\x)}) -- (2,0);
\draw[blue, line width=1.5pt, domain=-0.18:5.45, samples=200, smooth]
  plot (\x,{(8*\x+1)*exp(-\x)});
\draw[->, line width=1pt] (-0.85,0) -- (5.5,0);
\draw[->, line width=1pt] (0,-0.35) -- (0,3.75);
\foreach \x in {1,2,3,4,5}
  \node[below] at (\x,0) {\small \x};
\node[below left=-1pt] at (0,0) {\scriptsize 0};
\node at (0,0) {$\times$};
\foreach \y in {1,2,3}
  \node[left] at (0,\y) {\small \y};
\draw[->, line width=1.2pt, red] (0,0) -- (1,0);
\draw[->, line width=1.2pt, red] (0,0) -- (0,1);
\node[below right] at (0,0) {$O$};
\node[below] at (0.62,0) {$\vect \imath$};
\node[left] at (-0.08,0.5) {$\vect \jmath$};
\node[black] at (2.35,2.2) {$C_f$};
\end{tikzpicture}
\end{center}

On considère la fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[F(x) = -(8x + 9)\e^{-x}.\]

On admet que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

On note $A$ l'aire du domaine hachuré sur la figure ci-dessus, en unité d'aire.

\begin{enumerate}
    \item Écrire $A$ sous forme d'intégrale.
    \item Calculer $A$, en détaillant les étapes. On donnera la valeur exacte du résultat, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Question 2}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[g(x) = 2x + 1 + 4\ln(x).\]

\begin{enumerate}
    \item Montrer que $g'(x) = \dfrac{2x + 4}{x}$, pour $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$.
    \item Déterminer le sens de variation de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On note $\text{i}$ le nombre complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On considère le nombre complexe $z = -2\sqrt3 + 2\text{i}$.

\medskip

Écrire le nombre complexe $z$ sous forme exponentielle en détaillant les étapes de calcul.

\textit{On pourra s'aider du demi-cercle trigonométrique ci-dessous pour répondre à cette question.}

\begin{center}
	%%%figure en tikz
	\begin{tikzpicture}[x=6cm,y=6cm,line cap=round]
		\draw[line width=1pt] (1,0) arc (0:180:1) --cycle
		(0,1)--(0,-2pt) node[below] {0};
		\foreach \deg/\rad in {0/0, 30/{\dfrac{\pi}{6}}, 45/{\dfrac{\pi}{4}}, 60/{\dfrac{\pi}{3}}, 90/{\dfrac{\pi}{2}}, 120/{\dfrac{2\pi}{3}}, 135/{\dfrac{3\pi}{4}}, 150/{\dfrac{5\pi}{6}}, 180/{\pi}}
		{\draw[line width=1pt] (\deg:0.98)--(\deg:1.02) (\deg:1.1) node{$\rad$};}
		\foreach \Cos/\valc/\Sin/\vals in {0.866/{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}/0.5/{\dfrac{1}{2}},
			0.707/{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}/0.707/{\dfrac{\sqrt{2}}{2}},
			0.5/{\dfrac{1}{2}}/0.866/{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}
		{\draw[dotted, line width=0.5pt] (-\Cos,0) -- (-\Cos,\Sin) -- (0,\Sin) -- (\Cos,\Sin )-- (\Cos,0);
			\draw[line width=0.8pt] (-\Cos,2pt)--(-\Cos,-2pt)node[below]{$-\valc$} (2pt,\Sin)--(-2pt,\Sin)node[left,fill=white]{$\vals$}
			(\Cos,2pt)--(\Cos,-2pt)node[below]{$\valc$};}
	\end{tikzpicture}
	%%%figure en pstricks
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{pspicture}(-4,-1)(4,4.5)
%%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=zzzzzz](0,0)(-5,-5)(5,5)
%\psset{dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%%\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,labels=none,ticksize=0,subticks=2, , arrowsize=4pt 4]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5)
%%%%
%\psarc(0,0){4}{0}{180}
%\psdots(4;0)(4;30)(4;45)(4;60)(4;90)(4;120)(4;135)(4;150)(4;180)
%\psline(4;0)(4;180) \psline(0,0)(4;90)
%%%%%%
%\psset{linestyle=dotted,linewidth=1.3pt,dotstyle=+,dotscale=1.5}
%{\boldmath
%%%%
%\psline(2,0)(4;60)(4;120)(-2,0)
%\psdots(2,0)(0,3.464)(-2,0)
%\uput[d](2,0){$\frac{1}{2}$}
%\uput*[l](0,3.464){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}
%\uput[d](-2,0){$-\frac{1}{2}$}
%\uput[60](4;60){$\frac{\pi}{3}$} \uput[120](4;120){$\frac{2\pi}{3}$}
%%%%
%\psline(2.828,0)(4;45)(4;135)(-2.828,0)
%\psdots(2.828,0)(0,2.828)(-2.828,0)
%\uput[d](2.828,0){$\frac{ \sqrt{2}}{2}$}
%\uput*[l](0,2.828){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
%\uput[d](-2.828,0){$-\frac{ \sqrt{2}}{2}$}
%\uput[45](4;45){$\frac{\pi}{4}$} \uput[135](4;135){$\frac{3\pi}{4}$}
%%%%
%\psline(3.464,0)(4;30)(4;150)(-3.464,0)
%\psdots(3.464,0)(0,2)(-3.464,0)
%\uput[d](3.464,0){$\frac{ \sqrt{3}}{2}$}
%\uput*[l](0,2){$\frac{1}{2}$}
%\uput[d](-3.464,0){$-\frac{ \sqrt{3}}{2}$}
%\uput[30](4;30){$\frac{\pi}{6}$} \uput[150](4;150){$\frac{5\pi}{6}$}
%%%%
%\uput[r](4;0){\small $0$} \uput[u](4;90){$\frac{\pi}{2}$}
%\uput[l](4;180){\small $\pi$}  \uput[d](0,0){\small $0$}
%}%% fin du \boldmath
%\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
