% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Denis Vergès
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ : François Kriegk
% figures pstricks : Denis Vergès
% modifications :
% Remerciements :
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
\usepackage{hyperref}
%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
	\ifmmode\expandafter\text\fi
	{\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Terminale, Série STI2D},
	pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale)  -- Voie technologique -- Session 2026},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
	language=Python,
	basicstyle=\ttfamily\small,
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
	commentstyle=\color{gray}\itshape,
	stringstyle=\color{orange},
	numbers=left,
	numberstyle=\tiny\color{gray},
	breaklines=true,
	frame=single,
	backgroundcolor=\color{gray!5},
	tabsize=4
}
% usage (exemple)
%\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,\mathrm{d}}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{16 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie technologique -- Série STI2D -- Polynésie -- 16 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}	\\[10pt]
	Sujet
	\end{center}

\section*{Exercice PCM (2 points)}
Le rotor d'un hélicoptère est la partie mobile qui va entraîner la rotation de ses pales.

\textbf{Étude de la vitesse de rotation du rotor}

La vitesse de rotation du moteur, notée $\omega$ et exprimée en $\mathrm{rad}\cdot\mathrm{s}^{-1}$, est solution de l'équation différentielle suivante :
\[y' = - 0,028y + 18,48.\]

\begin{enumerate}[start = 3]
	\item Montrer que la fonction $\omega$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par
	\[\omega(t) = - 660 \e^{-0,028t} + 660\]

	est la solution de cette équation différentielle qui vérifie la condition initiale $\omega(0) = 0$.

	\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \omega(t)$.
	Cette limite correspond à la valeur maximale de la vitesse de rotation du moteur.
\end{enumerate}

Un système mécanique fixe la vitesse de rotation du rotor par rapport à celle du moteur :
\[\omega_{\text{rotor}} = \dfrac{1}{20}\omega_{\text{moteur}}.\]

On donne l'évolution de la vitesse de rotation du rotor en fonction du temps dans le \textbf{document \no 2}.

\medskip

\begin{tblr}{colspec=X[c],hlines, vlines}
	%Début tikz
	\begin{tikzpicture}%compiler avec pgfplots
		\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,
			x={0.34mm}, y={1.7mm},
			xmin =0 , xmax = 290,
			ymin =0 , ymax = 38,
			xtick distance = 20,
			ytick distance = 5,
			tick label style={font=\footnotesize},
			clip=false,grid style={dash pattern=on 0.34mm off 0.34mm,dash phase=0.17mm},
			grid=major, axis lines =center]
			\addplot [line width=1.2pt,color=red,smooth,samples=100,domain= 0:290 ]{-33*exp(-0.028*x)+33};
			\node[below left] at (axis cs: 0,0) {{\footnotesize 0}};
			\node[anchor= west] at(axis cs: 0,37) {$\omega_{\text{rotor}}(t)$ (en rad$\cdot$s$^{-1}$)};
			\node[anchor= east] at(axis cs: 280,-5) {$t$ (en s)};
		\end{axis}
	\end{tikzpicture}
	%Fin tikz
%%%%Début pstricks
%	\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.2cm,arrowsize=2pt 3}
%	\begin{pspicture}(-20,-4)(290,40)
%		\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=20,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle] {->}(0,0)(290,40)
%		\multido{\n=0+20}{15}{\psline[linewidth=0.25pt](\n,0)(\n,35)}
%		\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.25pt](0,\n)(290,\n)}
%		\uput[u](270,0){\small $t$ (en s)}\uput[r](0,38){\small $\omega_{\text{rotor}}(t)$ (en rad.s$^{-1}$)}
%		\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{290}{33 1 2.71828 0.028 x mul neg exp sub mul}
%	\end{pspicture}
%%%%Fin pstricks
	\\
	\textbf{Document \no 2 : évolution de la vitesse de rotation du rotor en fonction du temps}
\end{tblr}

\begin{enumerate}[resume]
	\item Donner la vitesse maximale de rotation du rotor.
\end{enumerate}

Le rayon des pales, noté $R$, vaut 5 mètres.
\begin{enumerate}[resume]
	\item En déduire la valeur de la vitesse maximale de l'extrémité de la pale.
\end{enumerate}

La vitesse du son dans l'air vaut 344 m·s$^{-1}$ pour une température de 20~\degres C.

Pour des raisons de sécurité, la vitesse instantanée à l'extrémité des pales doit rester inférieure à la vitesse du son dans l'air.
\begin{enumerate}[resume]
	\item Conclure sur le respect des règles de sécurité.
\end{enumerate}

\bigskip

\section*{Exercice maths (4 points)}

\emph{Les trois questions sont indépendantes.}

\subsection*{Question 1}

	On considère l'intégrale suivante :
	\[I = \displaystyle\int_{-2}^0 \left(5\e^{-2t} + 3\right)\:\text{d}t.\]

	Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(t) = 5\e^{-2t} + 3$.

	Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par $F(t) = - 2,5\e^{-2t} + 3t$.

	On admet que $F$ est dérivable sur $\R$.


	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.

		\item Démontrer que $I = 3,5 + 2,5\e^4$.
	\end{enumerate}

\subsection*{Question 2}
	On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = 2\e^{3x} - 16$.

	On admet que $g$ est dérivable sur $\R$ et on note $g'$ sa fonction dérivée.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que pour tout réel $x$,\quad $g'(x) > 0$.

		\item En déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur $\R$.

		\item Résoudre, en détaillant les étapes, l'équation $g(x) = 0$.
	\end{enumerate}

\subsection*{Question 3}
	On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\pi$.

	Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv.

	On considère les points A et B d'affixes respectives
	$z_{\text{A}} = 4\e^{\text{i}\frac{5\pi}{3}}$ et
	$z_{\text{B}} = 2\e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

	On rappelle l'écriture exponentielle suivante : $-2 = 2\e^{\text{i}\pi}$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer, en détaillant les calculs, que $z_{\text{A}} = - 2 \times z_{\text{B}}$.
		\item Parmi les quatre propositions suivantes, une seule est vraie.

		Indiquer sur la copie le numéro de celle-ci. Aucune justification n'est demandée.

		\medskip

		\textbf{Proposition 1 :} A est l'image de B par la rotation de centre O et d'angle $- \pi$.

		\textbf{Proposition 2 :} A est l'image de B par l'homothétie de centre O et de rapport $-2$.

		\textbf{Proposition 3 :} A est l'image de B par la translation de vecteur $\vect{u}$ d'affixe $-2$.

		\textbf{Proposition 4 :} A est l'image de B par l'homothétie de centre O et de rapport 2.

	\end{enumerate}
\end{document}