% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : JCS
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
% version 1 : 2026-06-29
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
\usepackage{hyperref}
%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
	\ifmmode\expandafter\text\fi
	{\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Terminale, Série STL},
	pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale)  -- Voie technologique -- Session 2026},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
	language=Python,
	basicstyle=\ttfamily\small,
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
	commentstyle=\color{gray}\itshape,
	stringstyle=\color{orange},
	numbers=left,
	numberstyle=\tiny\color{gray},
	breaklines=true,
	frame=single,
	backgroundcolor=\color{gray!5},
	tabsize=4
}
% usage (exemple)
%\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}

\begin{document}
% Réglage entête, pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{16 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]Corrigé\\[10pt]Voie technologique - STL - Métropole - 16 juin 2026 }}
\end{center}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\section*{Exercice 1 (2 points)}
\begin{enumerate}[start=7]
	\item Déterminons la fonction dérivée $C'$ de $C$ sur $[0~;~1200]$.

	Si \quad $f(x)=k\e^{ax} \qquad \text{alors} \qquad f'(x)=ka\e^{ax}$.

	On a donc :\quad
	$C' (t)=3,1\times 10^{-5} \times (-\np{0,00702}) \e^{-\np{0,00702}t}={ \np{-2,1762} \times 10^{-7}  \times \e^{-\np{0,00702}t}}$

	\stepcounter{enumi}

	\item Résolvons sur $[0 ; 1200]$
	\[3,1 \times 10^{-5}\times \text{e} ^{-\np{0,00702}t} = 3,1 \times 10^{-6}\]

	Cette équation est équivalente à   $\text{e} ^{-\np{0,00702}t} =  10^{-1}$

	En prenant le logarithme népérien des deux membres, il vient :
	\begin{center}

		$\begin{aligned}
			\np{0,00702} t&= \ln 10\\
			t&=\dfrac{\ln(10)}{\np{0,00702}}\\
			t&\approx \np{328.004}\\
		\end{aligned}$
	\end{center}
	Arrondi à l'unité ${t=328}$.

\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (4 points)}
\subsection*{Question 1}
	$f$ est la fonction définie sur $]-1; +\infty$[ par $f(x) = 3 + 5\ln (x + 1)$.

	Calculons $f(0)$.\quad
	$f(0)=3+ 5\ln(0+1)=3+5\ln (1)=3+5\times 0=3$.

	Ainsi, on a :\quad ${f(0)=3}$

\subsection*{Question 2}

	Justifions l’égalité suivante : $  \ln(9) + \ln(4) = 2 \ln(6)$

	\begin{itemize}
		\item $9=3^2\quad \text{d'où} \quad\ln(9)= 2\ln(3)$;

		\item $4=2^2 \quad \text{d'où} \quad\ln(4)= 2\ln(2)$;

		\item $ \ln(3)+\ln(2)=\ln(3\times 2)=\ln(6)$
	\end{itemize}

	Il en résulte  : \quad
	$\ln (9)+\ln(4)
	= 2\ln(3)+2\ln(2)
	= 2\big(\ln(3)+\ln(2)\big)
	=2\ln(6)$


\subsection*{Question 3}

	Résolvons dans \R{} cette équation.

	Les termes étant strictement positifs, prenons le logarithme népérien des deux membres.

	\begin{center}
		$\begin{aligned}
			\ln\left(\e^{2x}\right)&=\ln(3)\\
			2x&=\ln(3)\\
			x&=\dfrac{\ln(3)}{2}
		\end{aligned}$
	\end{center}

	L'ensemble des solutions de l'équation est \quad ${\left\lbrace \dfrac{\ln(3)}{2}\right\rbrace} $

\subsection*{Question 4}

	Donnons l'expression de $v$, qui est une primitive de $a$.

	Comme $a$ est une fonction constante égale à 2, elle admet comme primitives les fonctions de la forme :\quad $v(t)= 2t+C$,\quad où $C$ est une constante réelle.

	Sachant que $v(0)=5$ , nous avons \quad $v(0)=2\times 0+C=5 \iff C=5$

	La vitesse $v$ est par conséquent définie par :\quad  ${v(t)=2t+5}$



% Fin du document
\end{document}
