% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Jean-Claude Souque
% relecture :
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
% version 0 : 2026-07-19
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Terminale, Série STL},
    pdftitle = {Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale)  -- Voie technologique -- Session 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{16 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat épreuve de spécialité (terminale) ~\decofourright\\[10pt]Corrigé\\[10pt]Voie technologique -- Série STL -- Polynésie -- 16 juin 2026 }}
\end{center}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

%---------------------------------------------------------
% code LaTeX de l'épreuve
%---------------------------------------------------------
\section*{Exercice 1}

\begin{enumerate}[start=3]
	\item Les solutions de  l'équation différentielle $y'=ay$ sur  \R {} sont les fonctions $y$ définies par

	$y(x)=C\e^{ax}$,\quad où $C$ est une constante quelconque.

	Nous avons donc $y(t)=C\e^{-2,77\times 10^{-3}t}$.

	En utilisant la valeur initiale, déterminons $C$.

	$y(0)=C \e^0=C=0,20$.

	Il en résulte $y(t)=0,20\e^{-2,77\times 10^{-3}t}$, c'est bien la fonction cherchée.
	\item Déterminons la limite de la fonction $y$ en $+\infty$.

	$\lim\limits_{t \to +\infty} -2,77\times 10^{-3}t =-\infty$.\quad Or $\ds \lim_{x\to -\infty }\e^x=0$.

	Par composition, on en déduit :\quad $ \ds \lim_{t\to+\infty} \e^{-2,77\times 10^{-3}t} =0$.

	Par produit, on en déduit :\quad $ \ds \lim_{t\to+\infty} y(t) = \lim\limits_{t \to +\infty} 0,20\e^{-2,77\times10^{-3}t} =0$.

	\item  Résolvons l’équation $y(t) = 0,10$.

	\begin{center}
		$\begin{aligned}
		0,20 \e^{-2,77\times10^{-3}t}&=0,10\\
			\e^{-2,77\times10^{-3}t}&=\frac{1}{2}\\
			\ln( \e^{-2,77\times10^{-3}t})&=\ln\left(\frac{1}{2}\right)\\
			-2,77\times10^{-3}t     &=-\ln(2)\\
			t&=\frac{\ln(2)}{2,77\times10^{-3}}\\
			t&=\frac{10^5 \ln(2)}{277}\\
			t&\approx 250,23
		\end{aligned}$
	\end{center}

	La solution de l'équation  est $\dfrac{10^5 \ln(2)}{277}$, soit, arrondie à l'unité, $250$.
\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
\section*{Exercice 3 (Mathématiques) 4 points}

\begin{enumerate}
	\item L'affirmation : \og $f$ admet un maximum en 0,5 sur $\R$ \fg{} est fausse.

 La courbe coupe l'axe des abscisses en B, d'abscisse 0,5.

  Elle est située en dessous de l'axe pour les valeurs inférieures strictement à 0,5

   et au dessus de l'axe pour les valeurs strictement supérieures.

   On peut donc établir un tableau de signe pour $f'$, et un tableau de variations pour $f$ :

   \begin{center}
   	\begin{tikzpicture}
   	\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/0.7,signe de $f'(x)$/0.7,variations de $f$/1.5}{$-\infty$,\np{0.5},$+\infty$}
   	\tkzTabLine{,-,z,+,}
   	\tkzTabVar{+/~,-/~,+/~}
   \end{tikzpicture}
   \end{center}

	d'après ces variations, on a un \textbf{minimum} pour la fonction $f$ en 0,5.

\item 	Calculons $f(\ln(4))$.

Remarquons que :\quad $\ln(4)=\ln(2^2)=2\ln(2)$ \quad et \quad $\e^{\ln(4)}=4$.

$f(\ln(4))=\left(2\times 2\ln(2)-3\right)\e^{\ln (4)}=(4\ln (2)-3) \times 4=16\ln(2)-12$

\item Déterminons la limite de $f$ en $+\infty$.

$\ds \lim_{x\to +\infty}(2x-3)=+\infty, \quad \lim_{x\to +\infty} \e^x =+\infty$ \quad d'où, par limite du produit :\quad $ \ds \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$.

 \item Nous voulons le plus petit entier $i$ pour lequel $f(i)\geqslant 25$.

 Nous ferons tourner la boucle tant que le contraire est vrai, donc le test de la boucle doit être \texttt{f(i) < 25}.

 La boucle s'arrête dès que la valeur stockée dans la variable \texttt{i} contient une valeur dont l'image par $f$ n'est pas strictement inférieure à 25, donc dont l'image est supérieure ou égale à 25.

 L'affichage sera la valeur de \texttt{i} donc nous utiliserons le programme \no 1

 \item \begin{enumerate}
 	\item Montrons que la fonction $F$, définie sur \R{} par :\quad $F(x) = (2x − 5)\e^{x}$ , est une primitive
	de la fonction~$f$.

	$F$ est une primitive de $f$ si $F'= f$

	Dérivons $F$.

	Nous pouvons considérer  \quad
	 $F =uv$ \quad où \quad $u(x)=2x-5$\quad et\quad $v(x)=\e^x $.

	$F'=u'v+v'u ,\quad u'(x)=2$\quad  et\quad $v'(x)=\e^x$.

	$F'(x)=2\e^x+(2x-5)\e^x=(2x-5+2)\e^x=(2x-3)\e^x= f(x)$.
	$F$ est bien une primitive de $f$ sur \R.

	\item  Calculons la valeur exacte de $\displaystyle\int_0^2 f(x)\d x$.

	$\ds \int_0^2f(x)\d x= \Bigl[F(x)\Bigr]_0^2=F(2)-F(0)$,\quad où F est une primitive de $f$.

	$F(2)=(2\times 2-5)\e^2=-\e^2\qquad F(0)=-5\times 1=-5$ \quad d'où
	\[\ds \int_0^2 f(x)\d x=-\e^2-(-5)=5-\e^2. \]

\end{enumerate}
\end{enumerate}



%---------------------------------------------------------
% Fin du document
%---------------------------------------------------------
\end{document}
