\documentclass[11pt,a4paper,french]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{dcolumn}
\usepackage{multirow}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{lscape}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=2cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\tracingtabularx
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {B.É.P.C.},
pdftitle = {Antilles septembre 1953},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small B. É. P{}. C.}
\lfoot{\small{Antilles}}
\rfoot{\small{juin 1953}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\textbf{\Large\decofourleft~B. É. P. C. Antilles septembre 1953~\decofourright
}}

\bigskip

{\large \textbf{ALGÈBRE}}
\end{center}

\smallskip

Soient deux axes de coordonnées rectangulaires,
$x'\text{O}x$ et $y'\text{O}x$, et un point P de coordonnées
\begin{center}
$x = 5$ cm,\quad  $y = 3$ cm.\end{center}

On considère la droite $(D_1)$ passant par P et coupant
la demi-droite O$x$ en B et la demi-droite O$y'$ en A, de
telle sorte que OB = OA.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Trouver les équations :
	\begin{enumerate}
		\item de la droite $(D'_1)$ parallèle à $(D_1)$ et passant par O ;
		\item de la droite $(D_1)$.
	\end{enumerate}
\item Quelle est l'équation de la droite $(D'_2)$ passant par
O et perpendiculaire à $(D'_1)$ ?

Trouver l'équation de la perpendiculaire à $(D_1)$ et donc aussi à $(D'_1)$, passant
par P.

Soit $(D_2)$ cette droite.
\item Trouver les coordonnées du point d'intersection
C de $(D_2)$ avec O$x$.

Vérifier sur le graphique.

Trouver l'aire du triangle ABC en centimètres carrés.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}{\large \textbf{GÉOMÉTRIE}}
\end{center}

Soit un cercle de centre O et de rayon $R$, dans lequel
on trace deux diamètres perpendiculaires [AB] et [CD].

Soit I le centre du cercle tangent intérieurement en T
au cercle (O) et tangent en M au rayon [OB] et en N
au rayon [OC].

La tangente commune aux deux cercles coupe le prolongement de [AB] en L.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que T est le milieu de l'arc $\widearc{\text{BC}}$.

Comparer OM et ON, puis OT, TL et LM.

Montrer que OL = DN.
\item Le cercle (O) et les diamètres [AB] et [CD] étant
donnés, construire le point I.
\item Calculer successivement OL, OM et le rayon $r$ du
cercle (I) en fonction de $R$.
\item Par le point T on mène la parallèle à AB, qui
coupe OC en P.

Comparer les rapport $\dfrac{\text{PN}}{\text{PO}}$ et  
$\dfrac{\text{NI}}{\text{OB}}$.

déduire que les points P, I, B sont alignés.
\end{enumerate}
\end{document}