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%Tapuscrit : Denis Vergès Denis.Verges@wanadoo.fr
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small BEP septembre 2007}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\rhead{A. P. M. E. P.}  
\lhead{\small BEP Secteur 1} %tapez un titre
\lfoot{\small{Métropole, La Réunion, Mayotte}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
 
\begin{center}    {\Large \textbf{\decofourleft~BEP  Secteur 1 Métropole  septembre 2007~\decofourright}} 

\end{center}

\vspace*{1cm}

Pour alimenter sa chaudière, M. Dupond installe chez lui, dans une fosse, une cuve à fioul de forme cylindrique. Cette cuve est équipée d'une jauge indiquant la hauteur du liquide. 

\medskip

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,4)%\psgrid
\pscircle(2.4,1.6){1}
\pspolygon(4,0.1)(2.6,0.57)(3.6,1.1)(4,0.1)(6.2,0.7)(5.2,1.5)(3.6,1.1)
\psline(2,0.7)(1,1.05)(1.45,1.3)
\psarc(4.6,2.3){1}{-55}{90}
\psline(2.2,2.6)(4.6,3.3)
\psframe*(2.2,0.6)(2.3,2.3) \psframe(2.2,2.3)(2.3,3.1)
\psline{<->}(3.3,1.9)(5.6,2.55)
\psline{->}(1.5,3.5)(2.2,2)
\rput{15}(4.4,2.4){L = 2,20 m}
\rput(1.5,3.7){Jauge de contrôle}
\end{pspicture} 
\end{center}

\medskip

Quand la cuve est pleine, le niveau de la surface libre du fioul doit se situer à 0,20 m du sommet de la cuve comme cela est représenté sur la figure ci-dessous. 

\begin{center}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4,4)%\psgrid

\pspolygon[linewidth=0pt,linecolor=lightgray,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.65,1.65)(0.483,2.81)(2.81,2.81) 
\pswedge[linewidth=0pt,linecolor=lightgray,fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](1.65,1.65){1.65}{135}{45}
\psline[linestyle=dashed](0,1.65)(3.3,1.65)
\psline[linestyle=dashed](1.65,-0.3)(1.65,3.6)
\psline[linestyle=dashed](0.483,2.81)(1.65,1.65)(2.81,2.81)
\psline[linestyle=dashed](1.65,3.3)(3.6,3.3)
\psline[linestyle=dashed](2.81,2.81)(3.6,2.81)
\psline{<->}(3.6,3.3)(3.6,2.81)
\rput(3.4,0.4){Fioul}\psline{->}(3.1,0.5)(2.5,1.2)
 \rput(3,3.8){Surface libre }\psline{->}(3,3.7)(2,3)
\psframe(1.65,2.81)(1.67,2.61)
\uput[ul](0.483,2.81){A} \uput[ur](2.81,2.81){B} \uput[ur](1.65,3.3){C} \uput[dr](1.65,0){C$'$} 
\uput[l](0,1.65){D} \uput[r](3.3,1.65){E} \uput[dl](1.65,2.81){H} \uput[dl](1.65,1.65){O} 
\uput[r](3.6,3.05){0,20}\psframe(1.65,2.81)(1.85,2.61)
\pscircle(1.65,1.65){1.65} 
\end{pspicture} 
\end{center}
 
On donne les dimensions de la cuve : 

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item longueur : L = 2,20 m ; 
\item rayon des faces circulaires : R = OA = OB = OC = 0,60 m.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1   \hfill 4 points}

À partir de la représentation donnée sur la figure précédente: 

\begin{enumerate}
\item Calculer, en m, la longueur OH. 
\item Calculer, en m, la longueur HB. Arrondir le résultat au mm. 
\item  On admet que HB = 0,45 m. 

Calculer, en m$^2$, l'aire $\mathcal{A}_{1}$ du triangle BOH. 
\item  Calcul de l'aire du secceur circulaire BOE: 
	\begin{enumerate}
		\item  En donnant le détail des calculs, montrer que la mesure (arrondie au dixième) de l'angle $\widehat{\text{OBH}}$ est 41,8 \degres. 
		\item  Sachant que $\widehat{\text{EOB}} = \widehat{\text{OBH}}$, calculer, en m$^2$ , l'aire $\mathcal{A}_{2}$ du secteur circulaire BOE. Arrondir le résultat au dm$^2$. 
	\end{enumerate}
\item Calculer, en m$^2$,l'aire $\mathcal{A}_{3}$ du demi-disque DC'E. Arrondir le résultat au dm$^2$. 

\item Calculer, en m$^2$, l'aire $\mathcal{A}_{4}$ de la section représentée par la figure ADC$'$EB (voir partie colorée). 

\item On considère que l'aire $\mathcal{A}_{4}$ de la figure ADC$'$EB est égale à 1 m$^2$ et la longueur de la cuve est 

L = 2,20 m. 

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer, em m$^3$, le volume $V$ de fioul contenu dans la cuve.
		\item   Convertir ce volume en litres sachant que : 1 litre = 1 dm$^3$. 
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 2   \hfill 4 points}

M. Dupond et sa voisine Mme Lefèvre décident de se joindre pour faire une commande groupée de fioul car le tarif peut être plus intéressant.
 
Ils décident de passer la commande commune lorsqu'il restera la même quantité de fioul dans leur cuve. On donne les informations suivantes : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&M. Dupond &Mme Lef\`evre\\ \hline 
Volume de fioul restant dans la cuve à la date du 1\up{er} décembre (en litres)& 800 &900\\ \hline 
Consommation moyenne de fioul par jour (en litres) &12 &15\\ \hline  
\end{tabularx}

\medskip

Dans ces conditions, les volumes de fioul restants $V$ (en litres) dans chaque cuve en fonction du temps $t$ (en nombre de jours), à partir du 1\up{er} décembre, sont donnés par les relations suivantes.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] Cuve de M. Dupond : $V_{1} = 800 - 12t$. 
\item[] Cuve de Mme Lefèvre : $V_{2} = 900 - 15t$. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item  Calculer, en litres, les volumes de fioul restants $V_{1}$ et $V_{2}$ dans chaque cuve au bout de 8 jours d'utilisation. 
Donner le détail des calculs. 

\item Sur le repère orthogonal donné ci-après, tracer les représemations $D_{1}$ et $D_{2}$ de l'évolution des volumes de fioul restants $V_{1}$ et $V_{2}$ sur l'intervalle [0~;~48] en utilisant les valeurs des tableaux suivants.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \cline{1-4}\cline{6-9}
\multicolumn{4}{|c|}{Cuve de monsieur Dupond :}&\multicolumn{1}{|c|}{}&\multicolumn{4}{|c|}{Cuve de madame Lefèvre : } \\  \cline{1-4}\cline{6-9}
$t$&0& 20& 48 &&$t$&0 &20 &48 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
$V_{1}$&800 &560& 224&& $V_{2}$& 900 &600 &180\\  \cline{1-4}\cline{6-9}
\end{tabularx}

\medskip

\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.0109cm}
\begin{pspicture}(56,1100)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=8,Dy=200]{->}(0,0)(56,1100)
\multido{\n=0+4}{15}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,1100)}
\multido{\n=0+100}{12}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(56,\n)}
\uput[u](56,0){$t$ (en jours)}\uput[r](0,1100){$V$ (en litres) }
\end{pspicture}

\medskip

\item Déterminer les coordonnées du point d'intersection I de $D_{1}$ et $D_{2}$. Laisser apparents les traits utiles à la lecture graphique. 

\item En déduire au bout de combien de jours M. Dupond et Mme Lefèvre pourront passer la commande commune. 

\item Retrouver, par le calcul le résultat de la question 3. en résolvant le système d'équations suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
 V &=& 800 -12t\\
  V &=& 900 - 15t \\
  \end{array}\right.\]
  
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3   \hfill 2 points}

Le tarif du fioul livré par la société Ilfercho dépend de la quantité demandée et est donné dans le tableau ci-dessous : 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|p{5,5cm}|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\textbf{Volume de fioul livré (en litres)}& \textbf{Tarif du litre (en euros)} \\ \hline
[500~;~ 1 000[ 	&0,639 \\ \hline 
[1000~;~5 000[	& 0,632  \\ \hline
[5 000~;~ 10 000[ 	&0,620  \\ \hline
[10 000~;~20 000[ 	&0,604 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\end{center}
 
M. Dupond s'organise avec les propriétaires du lotissement et regroupe toutes les commandes. 

On obtient le tableau suivant. 

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\multicolumn{6}{c}{\textbf{Volume de fioul commandé par propriétaire (en litres)}}\\ \hline 
1500 &900 &1000 &1800 &1400 &1700 \\ \hline
200 &1600 &2000 &1800 &1200 &1600 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\end{center} 

\begin{enumerate}
\item Calculer, en litres, le volume total $V_{\text{T}}$ de fioul à commander. 
\item Calculer, en euros, le prix à payer pour le volume $V_{\text{T}}$ de fioul. 
\item Calculer, en euro, le prix à payer pour \nombre{1000}~litres de fioul :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item lors d'une commande individuelle ;
\item lors d'une commande groupée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\item En déduire l'économie réalisée (en euro) sur \nombre{1000}~litres de fioul lorsque la commande est groupée.
\end{enumerate}
\end{document}