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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B1}}
\rfoot{\small{16 mai 2025}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 16 mai 2025~\decofourright\\[7pt]Groupement B1\footnote{
Aéronautique, Assistance technique d'ingénieur,Bâtiment, Conception et réalisation de carrosseries, 
Conception et réalisation des systèmes automatiques, Enveloppe des bâtiments : conception et réalisation,  Environnement nucléaire, 
Fluides - énergies - domotique (3 options), Maintenance des systèmes (3 options), 
Traitement des matériaux (2 options), 
Travaux publics}\\[7pt] Durée : 2 heures}}

\medskip

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{minipage}{0.53\linewidth}
Le mouvement vertical d’une plateforme mobile est modélisé par une fonction $f$.

$f(t)$ désigne la distance, en centimètres, entre la plateforme mobile et la poutre fixe.

$t$ désigne le temps, en secondes, écoulé depuis le début de l’expérience.

On admet que la fonction $f$ est définie et deux fois dérivable sur l’intervalle $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.43\linewidth}
\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(7.2,6.8)
%\psgrid
\psframe*(6.5,0.3)
\psframe*(2,0.3)(2.3,5.8)
\psframe(1.5,5.8)(6,6.4)
\rput(3.75,6.1){Poutre fixe}
\psframe(2.4,2.7)(6,3.2)
\rput(4.2,2.95){\small Plateforme mobile}
\psline[linewidth=2.5pt](4,5.8)(4,4.7)
\def\res{\psline(0.5,0)(-0.5,0)(0.5,0.2)}
\multido{\n=3.2+0.2}{8}{\rput(4,\n){\res}}
\psline[linewidth=2pt]{->}(4.8,5.8)(4.8,3.2)
\uput[r](4.8,4.5){$f(t)$}
\end{pspicture}
\end{minipage}

\medskip

\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On sait que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle 

\[(E) :\quad y'' + 6y'+ 9y = 18,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable $t$ , définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, et où $y'$ est sa fonction dérivée et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

On considère l'équation différentielle homogène associée 

\[(E_0) :\quad y''+ 6y' + 9y = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$ l'équation $r^2 + 6r + 9 = 0$.
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E_0)$.

On fournit les formules suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.2cm}|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-3}
\multicolumn{1}{c|}{~}&Équation caractéristique&Équation caractéristique\\
\multicolumn{1}{c|}{~}&$ar^2 + br + c = 0$ & $ay'' + by' + c= 0$\\ \hline
$\Delta > 0$ &Deux solutions réelles distinctes $r_1$ et $r_2$&$y(t) = C_1\e^{r_1 t} + C_2\e^{r_2 t}$\\ \hline
$\Delta = 0$ &Une solution réelle $r_0$ & $y(t) = (C_1 + C_2t)\e^{r_0 t}$\\ \hline
$\Delta < 0$ &\small Deux solutions complexes conjuguées $r_1 = \alpha + \im \beta$ et $r_2 = \alpha - \im \beta$  &$y(t) = \left[C_1 \cos (\beta t) + C_2 \sin(\beta t)\right]\e^{\alpha t}$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Vérifier que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(t) = 2$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item On sait que la fonction $f$ vérifie les conditions initiales $f(0) = 20$ et $f'(0)= - 10$.

Montrer que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, par

\[f(t) = 2 + (18 + 44t)\e^{-t}.\]

\end{enumerate}

\textbf{Partie B - Étude d'une fonction}

\medskip

On rappelle que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, par $f(t) = 2 + (18 + 44t)\e^{-t}$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la distance entre la plateforme mobile et la poutre fixe 1 seconde après le début de l'expérience. On arrondira au millimètre.
\item On admet que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 2$.

La courbe $\mathcal{C}$ possède-t-elle une asymptote ? Si oui, donner son équation.
\item On admet que pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a 

\[f'(t) = (- 10 - 132t)\e^{-t}.\]

Expliquer pourquoi on peut en déduire que la plateforme mobile se dirige vers la poutre et non pas vers le sol.
\item Réaliser un schéma donnant sommairement l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ et sur lequel les résultats obtenus aux questions 2 et 3 apparaîtront.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une collectivité équipe un immeuble avec des chauffe-eau.

\begin{center}
\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

\textbf{Partie A - Probabilités conditionnelles}

\medskip

On dispose des informations suivantes :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item 70\,\% des chauffe-eau sont de la marque A. Parmi eux, 10\,\% sont défectueux. \item 30\,\% des chauffe-eau sont de la marque B. Parmi eux, 15\,\% sont défectueux.
\end{itemize}

\medskip

On choisit un chauffe-eau au hasard et on note les évènements : 

\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og le chauffe-eau est de la marque A \fg.
\item[ ] $D$ :\og le chauffe-eau est défectueux \fg.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Réaliser un arbre pondéré décrivant la situation.
\item Déterminer la probabilité que le chauffe-eau soit de la marque A et soit défectueux.
\item Montrer que la probabilité P(D) est égale à 0,115.
\item On sait que le chauffe-eau est défectueux. Le réparateur déclare : \og Le plus probable est qu'il s'agisse d'un chauffe-eau de la marque B car ils sont moins fiables. \fg
Que penser de cette déclaration ? Justifier.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Loi binomiale}

\medskip

On s'intéresse à la température de l'eau d'un chauffe-eau.

Chaque minute la température est contrôlée. Si la température n'est pas conforme, une alerte est déclenchée.

La probabilité pour que, durant un intervalle d'une minute, une alerte soit déclenchée est égale à $0,013$. Cette probabilité est identique quelle que soit l'intervalle d'une minute considéré.

On observe le chauffe-eau sur une journée, soit 24 heures, et on note $X$ le nombre d'alertes déclenchées durant ces 24 heures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Justifier que ses paramètres sont: $n = \np{1440}$ et $p = 0,013$.
\item Déterminer l'espérance $E(X)$ de la variable aléatoire $X$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer la probabilité, arrondie au millième, qu'il y ait exactement $20$ alertes déclenchées durant la journée.
\item On décide d'approcher la variable aléatoire $X$ par une variable aléatoire $Y$ suivant une loi de Poisson de paramètre

\[\lambda =18,72.\]
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer la valeur choisie pour le paramètre $\lambda$.
		\item Déterminer la probabilité $P(Y < 15)$, arrondie au millième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Test d'hypothèse}

\medskip

Afin de pouvoir être aisément installé, un chauffe-eau ne doit pas être trop lourd.

Le constructeur assure que la masse moyenne des chauffe-eau est égale à 55 kg.

\smallskip

Un technicien a l'intuition que la masse moyenne est en réalité supérieure à 55 kg.

Il souhaite donc mettre en place un test unilatéral à partir d'un échantillon aléatoire de $36$ chauffe-eau.

\smallskip

On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque chauffe-eau choisi au hasard dans la production, associe sa masse exprimée en kilogramme.

La variable aléatoire $Z$ suit une loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\sigma = 2,4$ kg.

On désigne par $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de 36 chauffe-eau prélevé dans la production, associe la moyenne des masses des chauffe-eau de cet échantillon.

La production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.

L'hypothèse nulle est $H_0 : \mu = 55$.

L'hypothèse alternative est $H_1 : \mu > 55$.

Sous l'hypothèse nulle $H_0$ , on admet que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit une loi normale de moyenne $55$ et d'écart-type $\dfrac{2,4}{\sqrt{36}}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer le réel $h$ tel que, sous l'hypothèse nulle, on a $P(Z < 55 + h) = 0,95$.
\item Énoncer la règle de décision du test.
\item La masse totale des 36 chauffe-eaux est égale à \np{2016} kg.

Peut-on confirmer l'intuition du technicien ?
\end{enumerate}
\end{document}