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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole-Polynésie}
\lfoot{\small{Groupement B2}}
\rfoot{\small{mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole-Polynésie mai 2022~\decofourright\\[5pt] Groupement B2\footnote{Conception et industrialisation en microtechniques, Électrotechnique}}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 : un problème de routage \hfill 5 points}

\medskip

Un chariot d'une fête foraine est propulsé à une vitesse de $20$ m.s$^{-1}$ sur un axe horizontal, puis il est ralenti par un système de freinage.

On s'intéresse à la vitesse du chariot durant le freinage.

On note $f(t)$ la vitesse du chariot à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimé en mètre par seconde, et $t$ est exprimé en seconde.

L'instant $t = 0$ correspond à l'instant où le chariot commence à être pris en charge par le système de freinage. On a donc $f(0) = 20$.

\smallskip

On suppose que $f$  est une fonction dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{center}\textbf{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}

\textbf{Partie A - Résolution d'une équation différentielle.}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : 

\[(E) : \quad y'+ 0,8y = 4,\]

où $y$ est une fonction inconnue et où $y'$ est la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $(E_0) : \quad y'+ 0,8y = 0$.
		
		On fournit la formule suivante :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Équation différentielle	&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$y' + ay = 0$			&$y(t) = k\text{e}^{- at}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Soit $g$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $g(t) = 5$.
		
Vérifier que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
		\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$
	\end{enumerate}
\item On rappelle que $f(0) = 20$.

 Déterminer la solution $f$ de l'équation $(E)$ qui vérifie la condition initiale: $f(0) = 20$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - Étude de la fonction } \boldmath $f$\unboldmath

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie pour tout $t$ appartenantà $[0~;~+ \infty[$ par:

\[f(t)= 15\text{e}^{-0,8t} + 5.\]

Sa courbe représentative $C$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.2cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.35,-5)(4.5,40)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(4.5,40)
\multido{\n=0+0.2}{24}{\psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,40)}
\multido{\n=0+10}{4}{\psline[linecolor=lightgray,linewidth=1.5pt](0,\n)(4.5,\n)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0,0)(4.5,40)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=10]{->}(0,0)(4.5,40)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{4.5}{15 2.71828 0.8 x mul exp div 5 add}
\end{pspicture*}
\end{center}
\smallskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t) = 5$.
		\item En déduire que la courbe $C$ admet une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout réel $t$ appartenant à $[0~;~+ \infty[$ on a : 

\[f'(t) = -12\text{e}^{-0,8t}.\]

Dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item Le système de freinage permet-il au chariot de s'arrêter ?
\item Soit $F$ la fonction définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $F(t) = -18,75\text{e}^{-0,8t} +5t$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $[0~;~+ \infty[$.
		\item On admet que la distance $d$, exprimée en mètre, parcourue par le chariot entre les instants $t_0$ et $t_1$ est donnée par :

\[d = \displaystyle\int_{t_0}^{t_1} f(t) \:\text{d}t.\]

Calculer la valeur exacte de la distance parcourue par le chariot entre l'instant $t_0 =0$ et $t_1 = 1$. Donner une valeur arrondie au centimètre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C -- Étude locale}

\medskip

On rappelle que l'on étudie la fonction $f$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[f(t)= 15\text{e}^{-0,8t} + 5.\]

On rappelle que sa courbe représentative $C$ est reproduite au début de la partie B.

Un logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l'ordre 2 de la la fonction $f$ au voisinage de $0$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|l|}\hline
&PolynômeTaylor($f(t),t,0,2)$\\
1&\\
&$\to 20 - 12t + \dfrac{24}{5}t^2$\\[8pt]
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Cette question est une question à choix multiple. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.

Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de rapporte ne rapporte ni n'enlève de point.

Le développement limité de la fonction $f$ à l'ordre 2 au voisinage de zéro est :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|X|}\hline
$20 - 12t + \dfrac{24}{5}t^2 + \varepsilon(t)$\newline avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0$&$20 + \dfrac{24}{5}t^2$&$20 - 12t + 4,8t^2 + t^2\varepsilon(t)$\newline avec $\displaystyle\lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$ au point d'abscisse $0$;
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

La fonction échelon unité $\mathcal{U}$ est définie par $\left\{\begin{array}{l c l}
\mathcal{U}(t) = 0 &\text{si}& t < 0\\
\mathcal{U}(t) = 1&\text{si}& t \geqslant 0
\end{array}\right.$.

\smallskip

On considère le système électrique entrée-sortie schématisé ci-dessous.

On note $s(t)$  le signal de sortie associé au signal d'entrée $e(t)$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(9,0.5)
\psline{->}(2.5,0)\psline{->}(6.5,0)(9,0)
\psframe(2.5,-0.5)(6.5,0.5)
\uput[u](1.25,0){$e(t)$}\uput[u](7.75,0){$s(t)$}\rput(4.5,0){Système}
\end{pspicture}
\end{center}

Les fonctions $e(t)$ et $s(t)$ sont des fonctions causales, c'est-à-dire qu'elles sont nulles pour $t < 0$.

On admet que les fonctions $e(t)$ et $s(t)$ admettent des transformées de Laplace notées
respectivement $E(p)$ et $S(p)$.

La fonction de transfert $H(p)$ du système est définie par $S(p) = H(p) \times E(p)$.

On a $e(t) = 2\mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1)$ et  $H(p) = \dfrac{1}{p + 1}$.

\begin{center}\textbf{On pourra utiliser le formulaire ci-dessous.}\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A - signal d'entrée}

\begin{enumerate}
\item Sur le \textbf{document-réponse à rendre avec la copie}, tracer la courbe
représentative de la fonction $e(t)$.
\item Déterminer $E(p)$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B - signal de sortie}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que $S(p)= \dfrac{2}{p(p + 1)} - \left(\dfrac{1}{p(p + 1)} \right) \text{e}^{-p}$.
\item Vérifier que $\dfrac{1}{p(p + 1)} = \dfrac 1p - \dfrac{1}{p + 1}$.
\item Donner $\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac 1p\right),\: \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{p+1}\right),\: \mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac 1p \cdot \text{e}^{-p}\right)$ et $\mathcal{L}^{-1}\left(\dfrac{1}{p+1} \cdot \text{e}^{-p}\right)$.
\item En déduire l'expression de $s(t)$ sur l'intervalle [0~;~1[.
\item On admet que sur $[1~;~ +\infty[$ on a :

\[s(t) = (\text{e} - 2)\text{e}^{-t} + 1.\]

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $s(1)$. Donner la valeur exacte puis une valeur approchée au dixième.
		\item Sur le \textbf{document-réponse à rendre avec la copie}, compléter la courbe
représentative de la fonction $s$.
		\item Donner la limite de la fonction $s$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%
\begin{center}\textbf{FORMULAIRE POUR L’EXERCICE 2}

\bigskip

\renewcommand\arraystretch{2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Transformation de Laplace}\\ \hline
Fonction & Transformée de Laplace\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac 1p$\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t - a)$&$p \longmapsto \dfrac 1p \text{e}^{- ap}$\\ \hline
$t \longmapsto \text{e}^{- at}\mathcal{U}(t)$, avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto \dfrac {1}{p+a}$\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{Propriétés}\\ \hline
Fonction & Transformée de Laplace\\ \hline
$t \longmapsto f(t)\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto F(p)$\\ \hline
$t \longmapsto f(t - a)\mathcal{U}(t - a)$, avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto F(p)\text{e}^{- ap}$\\ \hline
$t \longmapsto f(t)\text{e}^{- at}\mathcal{U}(t)$, avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto F(p + a)$\\ \hline
$t \longmapsto f'(t)\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto pF(p) - f(0^+)$\\ \hline
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}
\end{center}

\newpage
\begin{center}\textbf{DOCUMENT -RÉPONSE\\[8pt] (À rendre avec la copie)}\end{center}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2}

Partie A question 1.

\begin{center}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-6,-2)(6,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-6,-2)(6,2)
\uput[u](5.8,0){$x$}\uput[l](0,1.8){$y$}
\uput[dl](0,0){0}\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{2cm}

\textbf{EXERCICE 2}

Partie B question 5. b.

\begin{center}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.8cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.75)(10,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(10,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1](0,0)(10,4)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{1 2.71828 x neg exp sub 2 mul}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}