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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B3}}
\rfoot{\small{14 mai 2024}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 14 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Groupement B3\footnote{Électrotechnique}\\[7pt] Durée : 2 heures}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On coule du béton pour faire une dalle. Au début, le béton est mou, puis, au fil du temps, il sèche, et devient plus résistant.

\medskip

On note $f(t)$ la résistance du béton à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en mégapascal (MPa) et $t$ désigne le nombre de jours de séchage.

\begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante.}\end{center}

\smallskip

\textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :
\[(E) :\quad y' + 0,06y = 2,1,\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable sur $[0~;~ +\infty[$  et où $y'$ est la dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[0~;~ +\infty[$ l'équation différentielle:

\[\left(E_0\right) :\quad  y' + 0,06y = 0.\]

On fournit la formule suivante: 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Équation différentielle&Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
$y' + ay = 0$&$y(t) = k\e^{-at}$\\ \hline
\end{tabularx} \end{center}
\item On considère la fonction constante $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(t) = 35$.

Vérifier que la fonction $g$ est solution de l'équation différentielle $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item À l'instant $t = 0$, on considère que la résistance du béton est nulle.

En déduire que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~ +\infty[$ par :
\[f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.\]
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère à nouveau la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par:
\[f(t) = -35\e^{-0,06t} +35.\]

On rappelle que $f(t)$ désigne la résistance du béton, exprimée en mégapascal, à
l'issue de $t$ jours de séchage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la résistance du béton après 7 jours de séchage ? Après 72 heures ? 

Arrondir au dixième.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa
fonction dérivée.

Vérifier que, pour tout réel $t$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$, on a :

\[f'(t) =2,1\e^{-0,06t}.\]

\item Déterminer le signe de $f'(t)$ sur $[0~;~ +\infty[$ et en déduire le sens de variations de $f$
\item Déterminer la limite de $f(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini.

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Le fabricant du béton affirme que la résistance après $28$~jours de séchage correspond à 80\,\% de la résistance finale.

Cette affirmation est-elle juste ?
\item On considère la fonction $F$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par

\[F(t) = \left(\dfrac{\np{1750}}{3}\right) \e^{-0,06t} + 35t.\]

Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
\item Déterminer une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de la
résistance du béton sur les 28 premiers jours.

On fournit la formule suivante:
\begin{center}\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
La valeur moyenne $M$ d'une fonction $h$ sur l'intervalle $[a~;~ b]$ est définie par :\\
$M = \dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b h(t)\:\text{d}t$.\rule[-15pt]{0cm}{20pt}\\ \hline
\end{tabularx}\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Algorithme}

\medskip

On note $N$ le nombre entier correspondant au nombre minimal de jours de séchage
permettant d'obtenir une résistance au moins égale à $21$~MPa.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier l'algorithme ci-dessous et compléter les lignes 3 et 4.

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{2cm} |l|}\hline
Ligne 1 &$t \gets 0$\\ \hline
Ligne 2 &$R\gets 0$\\ \hline
Ligne 3 &Tant que \ldots\\ \hline
Ligne 4 &\qquad $t\gets$ \ldots\\ \hline
Ligne 5 & \qquad $R \gets - 35\e^{-0,06t} +35$\\ \hline
Ligne 6 &Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Donner la valeur de $N$. Expliquer la démarche suivie.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}\emph{Un formulaire sur les séries de Fourier est placé à la fin de l'exercice.}\end{center}

On étudie le fonctionnement d'un filtre.

La tension en entrée du filtre est une fonction $E$ pour laquelle on possède les informations suivantes:

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item $E$ est une fonction périodique de période $T = 20$.
\item $E(t) = \left\{\begin{array}{l c l}
12 &\text{si }&t \in [0~;~10[\\
0 &\text{si }&t \in  [10~;~20[.
\end{array}\right.$
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $\omega$ la pulsation de la fonction $E$.

Vérifier que $\omega = \dfrac{\pi}{10}$.
\item Représenter la courbe de la fonction $E$ sur votre copie en respectant les consignes suivantes :

\begin{itemize}[label=$\bullet~$]
\item Échelle des abscisses: 2 cm pour représenter l'intervalle allant de $t = 0$ à $t = 10$.
\item Échelle des ordonnées: 1 cm pour représenter l'intervalle allant de $E = 0$ à $E = 2$.
\item La représentation est effectuée pour $t \in  [-30~; ~30]$.
\end{itemize}

\item Déterminer la valeur moyenne $a_0$ de $E$.
\item On rappelle que la valeur efficace de $E$, notée $E_{\text{eff}}$ est donnée par :

\[\left(E_{\text{eff}}\right)^2 = \dfrac 1T \displaystyle\int_0^T [E(t)]^2\:\text{d}t.\]

Montrer que $E_{\text{eff}} = 6\sqrt 2$.

\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, on a $a_n = 0$.
\item  On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[b_n = \dfrac{12}{n \pi} \left [1 - \cos (n\pi)\strut \right ].\]

Montrer que, lorsque $n$ est pair, on a $b_n = 0$.

\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous. Les valeurs seront arrondies à $0,01$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$		&1	& 2	&3	&4	&5	&6	&7\\ \hline
$a_n$	&0	&0	&0	&0	&0	&0	&0\\ \hline
$b_n$	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère la grandeur $E_7$ définie par :

\[\left(E_{7}\right)^2 = \left(a_0\right)^2 + \dfrac12 \displaystyle\sum_{k=1}^7\left[\left(a_k\right)^2 + \left(b_k\right)^2\right]\]

Commenter l'affirmation suivante:

\og $E_7$ représente une approximation de $E_{\text{eff}}$ avec moins de $5\,\%$ d'erreur \fg.

\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{FORMULAIRE  sur les séries de Fourier}

\medskip

$f$ est une fonction périodique de période $T$ et de pulsation $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$.

\medskip

Développement en série de Fourier de la fonction $f$:

$s(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty}\left(a_n \cos (n \omega t) + b_n\sin (n \omega t) \right)$

$s_n(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty}\left[a_k \cos (k \omega t) + b_k\sin (k \omega t) \right]$

$a_0 = \dfrac 1T\displaystyle\int_0^T f(t)\:\text{d}t.$

$a_n = \dfrac 2T\displaystyle\int_0^T f(t) \cos (n \omega t)\:\text{d}t.\quad (n \geqslant 1)$

$b_n = \dfrac 2T\displaystyle\int_0^T f(t)  \sin (n \omega t)\:\text{d}t.\quad (n \geqslant 1)$\\

\bigskip

La valeur efficace du signal $f$ est notée $f_{\text{eff}}$. Elle est donnée par:

\[\left(f_{\text{eff}}\right)^2 = \dfrac 1T \displaystyle\int_0^T [f(t)]^2\:\text{d}t.\]
\end{center}

$\to$ Lorsque la fonction $f$ est paire, on a :

\[a_n = \dfrac 4T \displaystyle\int_0^{\frac T2}f(t) \cos(n \omega  t)\:\text{d}t \quad (n \geqslant 1)\]
\end{document}