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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B3}}
\rfoot{\small{16 mai 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 16 mai 2025~\decofourright\\[7pt]Groupement B3\footnote{Électrotechnique}\\[7pt] Durée : 2 heures}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1\hfill 10 points}

\medskip

Pour fabriquer de l'aluminium en feuille on chauffe une plaque d'aluminium à 250~\textcelsius{} puis on la sort du four : c'est alors la phase de refroidissement. On étudie l'évolution de la
température de la plaque d'aluminium durant cette phase.

On note $f(t)$ la température de la plaque d'aluminium à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en degré Celsius, et $t$ désigne le nombre de minutes de refroidissement.

\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{\large Partie A. Équation différentielle}

\medskip

On sait que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :
\[(E): \quad y' + 0,25y = 7,5 ,\]
où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et dérivable
sur l'intervalle $[0~; +\infty [$, et où $y'$ est la dérivée de $y$.

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle :
\[ (E_0) :\quad y' + 0,25y = 0.\]

On fournit la formule suivante :

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{2}{c|}}
\hline Équation différentielle &Solutions sur un intervalle I\\
\hline
$y' + ay = 0$ & $y(t) = k\e^{-a t},\quad k \in \R$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Soit $c$ un nombre réel.

On considère la fonction constante $g$ définie sur l'intervalle $[0 ~;~+\infty[$ par :
\[g(t) = c.\]
Déterminer le réel $c$ pour que la fonction $g$ soit solution de l'équation
différentielle (E).
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item Déterminer l'expression de la fonction $f$ sachant qu'à l'instant $t = 0$ la
température est égale à 250~\textcelsius.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(t) = 220\e^{-0,25t} + 30.\]

On admet que $f(t)$ représente la température (en degré Celsius) de la plaque d'aluminium
après $t$ minutes de refroidissement.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la valeur approchée à 0,l\textcelsius{} de la température de la plaque après
un quart d'heure de refroidissement.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.\\
Quelle est la conséquence pour la courbe représentative de la fonction $f$ ?\\
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa
fonction dérivée.

Déterminer $f'(t)$ pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ .\\
En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.\\
Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Un technicien affirme : \og en cent secondes, la plaque a perdu cent degrés \fg.

A-t-il raison? Quelle est la durée nécessaire, arrondie à la seconde, pour que la
température de la plaque passe en dessous de 150~\textcelsius{} ?

Les réponses devront être justifiées.
\item Réaliser sur la copie un croquis donnant l'allure de la courbe représentative
de la fonction $f$. Ce croquis devra également faire apparaître les résultats
des questions \textbf{1} à \textbf{4}.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large\textsc{Exercice} 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Un formulaire sur les séries de Fourier est placé à la fin de l'exercice.}
\medskip

On note $u(t)$ la tension aux bornes d'un générateur, exprimée en volt, en fonction du
temps, exprimé en seconde.

On sait que $u(t)$ est une fonction périodique de période $T = \pi$, définie par:
\[u(t) = t\quad  \text{pour }\quad t \in [0; \pi[ .\]
On dit aussi que $u(t)$ est un signal.

\begin{enumerate}
\item Donner la valeur de $u(1)$, $u(\pi))$, $u(\pi + 1)$,$ u(4)$.
\item Faire sur la copie un croquis donnant l'allure du signal $u(t)$, sur un
intervalle dont la longueur est au moins égale à trois périodes.
\item Un signal est dit \emph{alternatif} si sa valeur moyenne sur une période est nulle.

Le signal $u(t)$ est-il alternatif ? justifier.
\item Déterminer la fréquence $f$ du signal $u(t)$, ainsi que sa pulsation $\omega$.
\item On s'intéresse à présent au développement en série de Fourier du signal $u(t)$.

On admet que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a :

\[\int_{0}^{\pi} t\sin(2nt)\mathrm{d}t =-\dfrac{\pi}{2n}\]

En déduire que, pour tout entier $n \geqslant 1$, on a :
\[b_n = -\dfrac{1}{n}.\]
\item Les \emph{amplitudes} d'un signal sont les nombres $A_n$ définis par:
\[A_0 = \vert a_o\vert \quad \text{ et, pour }\quad n \geqslant 1 \qquad A_n=\sqrt{(a_n)^2+(b_n)^2}.\]
On admet que, pour tout entier $ n \geqslant 1 $, on a $a_n = 0$.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.85cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\centering n &0&1&2&3&4\\
\hline
Valeur exacte de $A_n$ & \dotfill& \dotfill&\dotfill &\dotfill &\dotfill \\
\hline
Valeur approchée de $A_n$ à $10^{-2}$près &\dotfill &\dotfill & \dotfill&\dotfill &\dotfill \\
\hline
\end{tabularx}

\item \begin{tabular}{*{4}c}
\begin{minipage}[]{3cm}
Le spectre d'un signal est un diagramme en
barres dont les
 abscisses sont les
entiers $n\geqslant 0$ , et dont
les ordonnées sont
les amplitudes $A_n$.

 On a représenté ci-dessus
trois spectres.
\end{minipage}& 

\psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(7,3)
\psaxes[linewidth=0.25pt]{->}(0,0)(5,3)
\psline[linewidth=2.5pt](0,0)(0,1.5)\psline[linewidth=2.5pt](1,0)(1,1)\psline[linewidth=2.5pt](2,0)(2,0.5)\psline[linewidth=2.5pt](3,0)(3,0.33)\psline[linewidth=2.5pt](4,0)(4,0.25)
\uput[u](2.5,2.35){\scriptsize{Spectre 1}}
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle}
 \begin{pspicture}(0.1,-0.1)(7,3)
\psaxes[linewidth=0.25pt]{->}(0,0)(0,-0.1)(5,3)
\psline[linewidth=2.5pt](0,0)(0,1.5)\psline[linewidth=2.5pt](2,0)(2,1)\psline[linewidth=2.5pt](4,0)(4,0.5)
\uput[u](2.5,2.35){\scriptsize{Spectre 2}}
\end{pspicture}&\psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm,labelFontSize=\scriptstyle}\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(0,5)
\psaxes[linewidth=0.25pt]{->}(0,0)(5,3)
\psline[linewidth=2.5pt](0,0)(0,2.5)\psline[linewidth=2.5pt](1,0)(1,1)\psline[linewidth=2.5pt](2,0)(2,0.2)\psline[linewidth=2.5pt](3,0)(3,0.1)\psline[linewidth=2.5pt](4,0)(4,0.05)
\uput[u](2.5,2.35){\scriptsize{Spectre 3}}
\end{pspicture}\\
 \end{tabular}
 
 \begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi le Spectre 2 ne peut pas être celui du signal $u(t)$.
\item Expliquer pourquoi le Spectre 3 ne peut pas être celui du signal $u(t)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{FORMULAIRE sur les séries de Fourier.}
\end{center}
$f$ est une fonction périodique de période $T$ et de pulsation $\omega =\frac{2\pi}{T} $.

\medskip

Développement en série de Fourier de la fonction $f$ :

\[s (t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n \cos(n\omega t) + b_n \sin(n\omega t)\right).\]

\smallskip

\[s_n (t) = a_0 + \sum_{k=1}^{n}\left(a_k\cos(k\omega t) + b_k\sin( k\omega t)\right) .\]

\smallskip

\[a_0 =\dfrac{1}{T}\int_0^Tf(t)\mathrm{d}t\]

\smallskip

\[a_n = \dfrac{2}{T}\int_0^{T}f(t)\cos(n\omega t)\mathrm{d}t \qquad(n \geqslant 1) .\]

\smallskip

\[b_n = \dfrac{2}{T}\int_0^{T}f(t)\sin(n\omega t)\mathrm{d}t \qquad(n \geqslant 1) .\]

\smallskip
\ding{225} Lorsque la fonction $f$ est paire, on a :

\[a_n = \dfrac{4}{T}\int_0^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\omega t)\mathrm{d}t \qquad(n \geqslant 1) .\]

\end{document}