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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\ épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{13 mai 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 13 mai 2019~\decofourright\\[5pt]Services informatiques aux organisations}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

Les parties A et B de cet exercice sont relatives aux pages d'un site web. Elles peuvent être traitées de manière indépendante.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le site comporte 6 pages notées A, B, C. D. E et F. Les pages ainsi que les liens hypertextes d'une page vers une autre  sont représentés par un graphe orienté de sommets A, B,  C, D. E, F, en convenant qu'un lien hypertexte d'une page X vers une page Y est représenté par une flèche orientée du sommet X vers le sommet Y. 

Le tableau ci-après récapitule tous les liens entre les sommets.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Sommet&Prédécesseurs\\ \hline
A&--\\ \hline
B&A\\ \hline
C&A\\ \hline
D&B\\ \hline
E& C, D\\ \hline
F& D, E\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item Donner la matrice d'adjacence du graphe que l'on peut construire à partir de ce tableau, les sommets étant rangés par ordre alphabétique.
\item Donner le niveau de chaque sommet puis dessiner ce graphe ordonné par niveaux. \item Déterminer la matrice de la fermeture transitive de ce graphe.
\item Montrer que ce graphe ne contient pas de circuit.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Chaque page du site comprend 4 questions, qui peuvent rapporter des points ou en faire perdre.

Un utilisateur peut accéder à une page suivante lorsque l'une au moins des conditions suivantes est satisfaite :

\begin{itemize}
\item l'utilisateur a répondu correctement à 3 questions au minimum,

ou 
\item l'utilisateur a répondu correctement à strictement moins de 3 questions et a marqué 5 points au minimum sur la page,

ou
\item  l'utilisateur a marqué strictement moins de 5 points sur la page et il est titulaire du BTS SIO 
\end{itemize}

On définit les variables booléennes suivantes:

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a = 1$ si l'utilisateur a répondu correctement à 3 questions au minimum,  $a= 0$ sinon ;
\item[$\bullet~~$]$b = 1$ si l'utilisateur a marqué 5 points au minimum, $b = 0$ sinon ; \item[$\bullet~~$]$c = 1$ si l'utilisateur est titulaire du BTS SIO, $c = 0$ sinon.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire une expression booléenne $F$ traduisant les conditions permettant à un utilisateur de passer à une page suivante.
\item À l'aide d'un tableau de Karnaugh ou d'un calcul booléen, déterminer une écriture simplifiée de $F$ sous la forme d'une somme de trois variables booléennes élémentaires.

Écrire sous forme d'une phrase, les conditions pour lesquelles un utilisateur ne peut pas accéder à une page suivante,
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Cet exercice met en œuvre sur de petits nombres le premier système de cryptage asymétrique. Dans ce système, une personne destinataire qui veut recevoir des informations confidentielles publie une
clé permettant à quiconque de lui envoyer des messages sous forme cryptée. Cependant seule la
personne destinataire peut décrypter les messages à  l'aide d'une autre clé connue d'elle seule.

\bigskip

\textbf{Partie A - Détermination de la clé publique servant au cryptage}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit deux nombres premiers entre eux : $p = 78$ et $q = 95$. 

Justifier que les entiers $p$ et $q$ sont premiers entre eux.
\item La personne destinataire choisit 5 entiers $b_1 = 45$, $b_2 = 22$,  $b_3 = 13$,  $b_4 = 4$,  $b_5 = 2$.

La clé de cryptage est formée des 5 nombres entiers 
$\left(a_1,\:a_2,\:a_3,\:a_4,\:a_5\right)$ ainsi calculés :

 pour tout $i$ de l'ensemble $\{1,\:2,\: 3,\:4,\,5\}$,\: $0 \leqslant a_i \leqslant 77$ et $b_i \times q = a_i$, mod $p$.
 
\emph{Exemple} : pour le calcul de $a_1$ on calcule $b_1 \times  q  = 45 \times 95 = \np{4275}$.

Or $\np{4275} \equiv 63$  mod $p$, et 63 est bien compris entre 0 et 77. Donc $a_1 = 63$.

\smallskip

\textbf{Question} : en détaillant le calcul, montrer que $a_2 = 62$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Cryptage d'un message}

\medskip

On admet dans la suite de l'exercice que $a_3 = 65, a_4 = 68$ et $a_5= 34$.

La clé de cryptage est donc $\left(a_1,\:a_2,\:a_3,\:a_4,\:a_5\right) = (63, 62, 65, 68, 34)$.

Cette clé, publiée par la personne destinataire, permet à quiconque de lui envoyer un message crypté. Cette partie va expliquer comment on crypte le message.

On associe d'abord à chaque lettre son rang dans l'alphabet, selon la correspondance suivante :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Lettre&A&B&C&D&E&F&G&H&I&J&K&L&M\\ \hline
Rang &1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Lettre &N&O&P&Q&R&S&T&U&V&W&X&Y&Z\\ \hline
Rang&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24&25&26\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Pour crypter une lettre:
\begin{itemize}
\item on détermine son rang à l'aide du tableau de correspondance précédent;
\item on écrit ce nombre en base 2 sur 5 bits; on ainsi obtient 5 chiffres $\left(m_1, m_2, m_3,  m_4, m_5\right)$, chaque chiffre étant égal à $0$ ou à $1$ ;
\item on détermine alors la valeur cryptée, égale à la somme $\sigma =  a_1m_1 + a_2m_2 + a_3m_3 + a_4m_4 + a_5m_5$. 
\end{itemize}

On remarque qu'une lettre est ainsi cryptée par un nombre entier.

\emph{Exemple} : on veut crypter la lettre \og I \fg.

\begin{itemize}
\item Le rang de I est $9_{10}$  ; 
\item on écrit ce nombre en base deux sur 5 bits : $9_{10} = 8 + 1= 01001_2$,
\item on calcule la somme $\sigma=0 \times 63 + 1 \times62 + 0 \times 65 + 0 \times 68 + 1 \times 34 = 96$.
\end{itemize}

La lettre \og I \fg{} est donc cryptée par l'entier $96$.

\textbf{Question :} crypter la lettre \og W  \fg.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice étudie la suite $\left(u_n\right)$ dont les termes sont définis par leur écriture en base deux : $u_0 = 1$, et, pour tout entier $n\geqslant 1$, $u_n = 1, 1\ldots 1$ où sont écrits $n$ chiffres 1  à droite de la virgule.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que, écrit en base dix, $u_1 = 1,5$.

Donner l'écriture en base dix de $u_2$.
\item Justifier le fait que la suite $\left(u_n\right)$ n'est ni arithmétique ni géométrique.
\item  On pose $A = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16}$.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le nombre $A$ est l'un des termes de la suite $\left(u_n\right)$. Donner son rang.
		\item  Déterminer l'écriture décimale du nombre $A$.
	\end{enumerate}
\item  On admet dans cette question que, pour tout $n \geqslant 1$ : $u_n =1 + \dfrac{1}{2} +  \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \ldots +  \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$

Démontrer que, pour tout $n \geqslant 1$, on a $u_n= 2 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.

On pourra utiliser le formulaire ci-après.	
\item  Déterminer la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n > 1,999$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
\textbf{Formulaire}\\
Si $q$ est un réel différent de 1 et $n$ un entier naturel non nul, on a : $1 + q + \ldots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}