\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add}
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
%\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\setlist[itemize]{label=\textbullet}
%Tapuscrit : François Hache
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
  pdfauthor = {APMEP},
  pdfsubject = {BTS},
  pdftitle = {Polynésie mai 2025},
  allbordercolors = white,
  pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[pstricks]{tablvar}
\usepackage{array}

\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%     le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}%   le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\ts}{\textstyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small Services informatiques aux organisations\\Épreuve de mathématiques approfondies}
\rfoot{\small mai 2025}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
  {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Polynésie - mai 2025~\decofourright\\ [7pt]
  Services informatiques aux organisations}}\\ [7pt]
  \textbf{Épreuve de mathématiques approfondies}
%  \vspace{0.25cm}

%\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}
%
%\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}
%
%\textbf{Durée : 2 heures}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Les trois parties sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'évolution de la finesse de gravure d'un processeur est un élément clé dans l'amélioration des performances et de l'efficacité énergétique des puces électroniques.

La finesse de gravure fait référence à la taille des composants individuels sur une puce, mesurée en nanomètres (nm). Plus elle est petite, plus les performances sont accrues. Au fil des années, la finesse de gravure des processeurs a considérablement diminué.

Dans le tableau ci-dessous, on donne la taille en nanomètres (nm) d'un processeur selon
les années, entre 2004 et 2022.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c| *7{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{Année:} $x_i$ &  2004 & 2007 & 2010 & 2013 & 2016 & 2019 & 2022\\ 
\hline
\textbf{Taille (en nm):} $y_i$ &  90 & 65 & 32 & 22 & 14 & 10 & 7 \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage de points $(x_i~;~y_i)$ suggère de procéder à un ajustement exponentiel. \\
Ainsi, on pose $z_i= \ln y_i$.

\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs à $10^{-3}$. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c| *7{>{\centering\arraybackslash}X|}}
\hline
\textbf{Année:} $x_i$ & 2004 & 2007 & 2010 & 2013 & 2016 & 2019 & 2022\\ 
\hline
$z_i= \ln y_i$ & & & & & & & \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de la série statistique $(x_i~;~z_i)$, arrondi à $10^{-3}$. \\
Que peut-on en déduire concernant l'ajustement affine de cette série statistique ? 
 
\item Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, sous la forme $z=ax+b$. Les coefficients $a$  et $b$ seront arrondis à $10^{-4}$.

\item Justifier que la taille $y$ d'un processeur en nanomètres, l'année $x$, peut être
modélisée par l'égalité $y=\e^{-0,1456x+296,267}$.

\end{enumerate}

On admet pour la suite de l'exercice que cet ajustement reste valable jusqu'en 2030.

\begin{enumerate}[resume]

\item Déterminer en quelle année la taille estimée du processeur deviendra inférieure à 3~nm.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On s'intéresse ici à la production de processeurs par une entreprise. Pour fabriquer un
processeur, cette entreprise choisit au hasard 10 composants dans son stock. On considère
que le stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage
avec remise.

On suppose que la probabilité qu'un composant du processeur soit défectueux est égale
à $0,1$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque processeur, associe le nombre de composants défectueux.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. Arrondir à $10^{-3}$.
\item Calculer la probabilité qu'aucun des composants du processeur ne soit défectueux.
\item Calculer la probabilité qu'au moins 3 composants soient défectueux. Arrondir à $10^{-3}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La durée de vie, en années, d'un processeur peut être modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda=0,2$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la durée de vie moyenne d'un processeur.
\item Calculer la probabilité que la durée de vie d'un processeur soit inférieure à 7 années.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Les deux parties sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise décide d'utiliser un \og nuage \fg{} lui permettant de stocker ses données sur un serveur distant, accessible via internet.

Au mois de janvier 2023, la capacité de stockage de ce \og nuage \fg{}  était de 150 gigaoctets (Go). L'entreprise décide alors d'augmenter cette capacité de 5\;\% chaque mois.

Pour tout entier naturel $n$, on note $s_n$ la capacité de stockage du \og nuage \fg{} utilisé par l'entreprise, en gigaoctets (Go), le $n$-ième mois après janvier 2023. Ainsi, on a $s_0=150$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $s_1$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer  $s_{n+1}$ en fonction de $s_n$.
\item En déduire la nature de la suite $(s_n)$ en précisant sa raison. 
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $s_n$ en fonction de $n$. 
\item Estimer la capacité de stockage de cette entreprise au mois de mars 2024.

Arrondir le résultat à l'unité.
\item À l'aide d'une inéquation, calculer à partir de quelle date (mois et année) la capacité de stockage de l'entreprise dépassera \np{1000}~Go, soit à 1 téraoctet (To).

Arrondir le résultat à l'unité.
\end{enumerate}

\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

L'utilisation de ce \og nuage \fg{} par l'entreprise génère un coût mensuel variant selon sa capacité de stockage.

Pour une capacité de stockage de $x$ téraoctet (To), le coût mensuel, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $C$ définie sur l'intervalle $[10\;; 500]$ par :

\[C(x)= - 15 \,\ln(2x + 1) + 10x.\]

On note $C'$ la fonction dérivée de la fonction $C$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer le coût mensuel pour une capacité de stockage de 10 To. Arrondir à $10^{-1}$.
\item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[10\;;\;500]$, $C'(x)= \dfrac{20x-20}{2x+1}$.
\item Étudier le signe de $C'(x)$ sur l'intervalle $[10\;;\;500]$ et en déduire le tableau de variation de la fonction $C$ sur ce même intervalle. On arrondira la valeur des images à $10^{-1}$.

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $C(x)=\np{2000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle  $[10\;; 500]$.
		\item On admet qu'une valeur approchée de $\alpha$ à 1 près par défaut est 209.\\
L'entreprise ne souhaite pas dépenser plus de \np{2000} euros par mois pour l'utilisation
du \og nuage \fg{}.

Déterminer la capacité de stockage maximale qu'elle pourra utiliser.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}