\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\newcommand{\euro}{\eurologo}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\,\overline{#1\vphantom{b}}\,}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\setlist[itemize]{label=\textbullet}

\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
  pdfauthor = {Xavier Ansiaux},
  pdfsubject = {BTS},
  pdftitle = {Métropole 16 mai 2024},
  allbordercolors = white,
  pdfstartview=FitH}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage{array}
\usepackage{verbatim} 
%\usepackage[table]{xcolor}

\newlength{\solwidth}
\setlength{\solwidth}{\dimexpr\textwidth-2\arrayrulewidth\relax}

\newcommand{\debsol}{
  \par\medskip
  \begingroup
  \setlist[itemize,enumerate]{leftmargin=0pt,labelindent=0pt,topsep=0pt,partopsep=0pt,itemsep=0pt,parsep=0pt}
  \noindent
  \begin{tabular}{@{}|p{\solwidth}|@{}}
    \hline
    \rowcolor{gray!20}
    \begin{minipage}[t]{\linewidth}
}

\newcommand{\finsol}{
    \end{minipage}\\
    \hline
  \end{tabular}
  \endgroup
  \par\medskip
}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{trees,positioning}

\tikzset{
  level distance=25mm,            
  sibling distance=20mm,          
  level 2/.style={sibling distance=10mm}, 
  edge from parent/.style={draw}, 
  every node/.style={font=\small}
}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\Épreuve obligatoire }}
\rfoot{\small{16 mai 2025}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 16 mai 2025~\decofourright\\ [7pt]Services informatiques aux organisations}}

	\medskip

	\textbf{Épreuve obligatoire}

	\vspace{0,25cm}

	\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

	\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\section*{Exercice 1 \hfill 5 points}

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, une seule affirmation est exacte et aucune justification n'est demandée.\\
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à l'affirmation exacte. Une réponse exacte vaut 1 point.\\
Une réponse fausse ou une absence de réponse n'est pas pénalisée.}

\begin{enumerate}
	\item Quel est le codage exact en binaire à virgule fixe du nombre décimal $13,375$ ?

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A :& B :& C :& D : \\
1101,110 & 1101,101 & 1101,011 & Il n'y a pas de codage exact. \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

Pour les questions 2 et 3 suivantes on considère deux ensembles :

$E = \{0~;~1~;~10~;~11~;~100~;~101~;~110~;~111\} \quad\text{et}\quad F = \{0~;~1~;~2~;~3\}$

ainsi que l'application $p$ de $E$ vers $F$ qui, à tout élément de $E$ associe la somme de ses chiffres.

\begin{enumerate}[resume]
\item Quelle est l'affirmation exacte concernant l'application $p$ ?

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A :& B : & C : & D : \\
L'application $p$ est injective et non surjective. &
L'application $p$ est surjective et non injective. &
L'application $p$ est bijective.&
L'application $p$ n'est ni injective, ni surjective.                 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Combien d'éléments de $E$ ont pour image $1$ ou $3$ par l'application $p$ ?

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A : 1 & B : 2 & C : 3 & D : 4 \\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

Dans les questions 4 et 5, $a$, $b$ et $c$ sont trois variables booléennes.

\begin{enumerate}[resume]
\item  Parmi les expressions suivantes indiquer celle qui est une simplification de : 

\[b\barre{c}\;+ \;\barre{a}\barre{b}\barre{c}\; + \;\barre{a}\barre{b}c\;+\;a\barre{b}\barre{c}\]

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A : $\barre{c} \;+ \;abc$ & B : $\barre{a}\barre{b}\;+\;c$ & C : $c \;+\; ab\barre{c}$ & D : $\barre{a}	\barre{b}\;+\;\barre{c}$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\item Parmi les expressions suivantes indiquer celle qui est une simplification de :

\[\overline{b\barre{c}\;+ \;\barre{a}\barre{b}\barre{c}\;+\;\barre{a}\barre{b}c\;+\;a\barre{b}\barre{c}}\]

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
A : $c\;+\;\barre{a}\barre{b}\barre{c}$ & B : $ac\;+\;\barre{b}\barre{c}$ & C : $ac\;+\; bc$ & D : $a\barre{b}\;+\;bc$ \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}


\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

Un codage affine est une méthode de chiffrement utilisée en cryptographie, qui consiste à remplacer chaque lettre du message en clair par une autre lettre de l'alphabet en utilisant une fonction affine. On associe à chaque lettre de l'alphabet une valeur numérique.

Seules les lettres majuscules sont utilisées dans cet exercice.

Voici le tableau de correspondance des lettres à leur rang.

%\begin{center}
%\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%\begin{tabular}{ | >\centering m{0.75cm}| *{13}{  m{0.25cm}<\centering |} }
%	\hline
%	lettre & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K  & L  & M   \\
%	\hline
%	rang   & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
%	\hline
%\end{tabular}
%
%\begin{tabular}{ | >\centering m{0.75cm}| *{13}{  m{0.25cm}<\centering |} }
%	\hline
%	lettre & N &  O  & P  & Q  & R  & S  & T  & U  & V  & W  & X  & Y  & Z  \\
%	\hline
%	rang   & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25 \\
%	\hline
%\end{tabular}
%\end{center}

\begin{center}
\small
%\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{|\;} c @{\;|}*{26}{>{ \centering \arraybackslash}X@{|}}}
\hline
lettre\; & A & B & C & D & E & F & G & H & I & J & K & L & M & N & O & P & Q & R & S & T & U & V & W & X & Y & Z \\ \hline
rang & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}


Ensuite, on définit la fonction affine de codage de la lettre de rang $n$.\\
\hspace*{1.5cm} Soit $f$ la fonction définie pour tout entier $n$ compris entre 0 et 25 par:\\
\hspace*{3cm} $f(n)\equiv 7n + 5\ [26]$ avec $0 \leqslant f(n) \leqslant 25.$

\textbf{Exemple} : La lettre E a pour rang 4 et\\
\hspace*{1.6cm} $7 \times 4 + 5 = 33 = 1 \times 26 + 7\quad\text{donc}\quad 7 \equiv 7\times4 + 5\ [26]$. Comme $0 \leqslant 7 \leqslant 25$,\\
\hspace*{1.6cm} on a $f(4)=7$ qui est le rang de la lettre H, donc E sera codé par H.

\begin{enumerate}
	\item Coder ainsi les lettres C et T en détaillant les étapes.
	\item Pour calculer le reste de la division euclidienne d'un entier $N$ par 26, il suffit de soustraire 26 à $N$ autant de fois que possible, c'est-à-dire tant que la différence demeure supérieure ou égale à 26.

 \medskip

 \textbf{Exemple} :

Le reste de la division euclidienne de 80 par 26 s'obtient ainsi:\\
\hspace*{2cm} $80 - 26 = 54$ \quad Comme $54 \geqslant 26$, on soustrait alors 26 à 54.\\
\hspace*{2cm} $54 - 26 = 28$ \quad Comme $28 \geqslant 26$, on soustrait alors 26 à 28.\\
\hspace*{2cm}  $28 - 26 = 2$  \quad Comme $2 < 26$, on arrête.\\
\hspace*{2cm} Le reste de la division euclidienne de 80 par 26 est 2.

	      \bigskip

	      La fonction  \og  \texttt{reste\_division\_par\_26}  \fg   \ de paramètre \texttt{N}, ci-après, est écrite en langage naturel et emploie cette méthode pour renvoyer le reste de la division euclidienne de \texttt{N} par $26$.

	      \medskip
	      \textbf{Exemple} : \texttt{reste\_division\_par\_26(80)} renvoie la valeur entière 2.

	      \begin{center}
		      \begin{tabular}{|l|}
			      \hline
			      \textbf{Fonction} \texttt{reste\_division\_par\_26}(\texttt{N})\\
			      \quad \quad\textbf{Tant que} \texttt{N} $\dots \quad$ \textbf{Faire} \\
			      \quad\quad \quad\quad\texttt{N}$ \leftarrow \dots$\\
			      \quad\quad \textbf{Fin de Tant que}\\
			      \quad\quad \textbf{Renvoyer} \texttt{(N)}\\
			      \textbf{Fin de la fonction}\\
			      \hline
		      \end{tabular}
	      \end{center}

	      Recopier et compléter les deux lignes contenant des pointillés de cette fonction.

	\item La fonction \texttt{indice (lettre, chaine)} ci-dessous, renvoie le plus petit indice du caractère \og \texttt{lettre} \fg dans la chaîne de caractères \og \texttt{chaine} \fg, lorsqu'il est présent dans \og \texttt{chaine} \fg, et elle renvoie le nombre de caractères de \og\texttt{chaine} \fg\  sinon.
	
\newpage	

	      La documentation de cette fonction précise que :
	      \begin{itemize}
		      \item \texttt{k} est un entier.
		      \item \texttt{lettre} est une chaîne de caractères constituée d'un seul caractère.
		      \item \texttt{chaine} est une chaîne de caractères.
		      \item \texttt{longueur(chaine)} renvoie le nombre de caractères de \texttt{chaine}.
	      \end{itemize}

	      \noindent\textbf{Exemple} : \texttt{indice("S","BTSSIO")} renvoie la valeur $2$, le plus petit indice de \texttt{"S"} dans \texttt{"BTSSIO"}.

	      \begin{center}
		      \begin{tabular}{|l|}
			      \hline
			      \textbf{Fonction} \texttt{indice(lettre, chaine)} \\
			      \quad \quad  \texttt{k} $ \leftarrow $ 0         \\
			      \quad \quad  \textbf{Tant que}\  … \ \texttt{longueur(chaine)} \textbf{et} \texttt{lettre}\  …\  \textbf{Faire \hspace*{1cm}} \\
			      \quad \quad\quad \quad   \texttt{k} $ \leftarrow $ \texttt{k }+ 1   \\
			      \quad \quad  \textbf{Fin de Tant que}    \\
			      \quad \quad  \textbf{Renvoyer} (\texttt{k})   \\
			      \textbf{Fin de Fonction} \\
			      \hline
		      \end{tabular}
	      \end{center}

	      \begin{enumerate}
		      \item Quelle est la valeur renvoyée par \texttt{indice("A","BTSSIO")} ?
		      \item Recopier et compléter la ligne contenant les pointillés de la fonction \texttt{indice}.
	      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 \hfill 10 points}

\textbf{Partie A}

\medskip

Les étudiants d'une classe de BTS SIO doivent fabriquer avec une imprimante 3D trois pièces : un boîtier, son couvercle ainsi qu'un support mural.

Ces trois pièces seront respectivement désignées dans la suite du sujet par la pièce $P_{1}$, la pièce $P_{2}$ et la pièce $P_{3}$.

Le projet de conception et de fabrication des prototypes de ces trois pièces est détaillé dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
	\begin{tabular}{|c| >{\centering\arraybackslash}p{7cm}|c|c|}
		\hline
		Tâches & Description   & Durées en min & Prédécesseurs \\
		\hline
		A      & Création du fichier .\texttt{stl} de la pièce $P_{1}$. & 120   & Aucun    \\\hline
		B      & Création du fichier .\texttt{stl} de la pièce $P_{2}$. & 75  & Aucun  \\\hline
		C      & Création du fichier .\texttt{stl} de la pièce $P_{3}$. & 150   & Aucun  \\\hline
		D      & Paramétrage de l'impression des 3 pièces.    & 25  & A, B, C   \\\hline
		E      & Impression des pièces $P_{1}$ et $P_{2}$.    & 128  & D   \\\hline
		F      & Finition de la pièce $P_{1}$.   & 15            & E             \\\hline
		G      & Finition de la pièce $P_{2}$.  & 5  & E             \\\hline
		H      & Impression de la pièce $P_{3}$.    & 103           & D             \\\hline
		I      & Finition de la pièce $P_{3}$.      & 15    & H \\\hline
	\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item
	      \begin{enumerate}
		      \item Quels sont les successeurs de la tâche E ?
		      \item On admet que le graphe associé à ce projet peut être ordonnancé.\\
Déterminer le niveau de chaque tâche.
	      \end{enumerate}
	\item
	      \begin{enumerate}
		      \item Tracer une représentation du graphe ordonnancé de ce projet, suivant la méthode PERT ou MPM en indiquant les dates au plus tôt et au plus tard de chaque tâche.
		      \item Quelle est la durée prévisionnelle du projet, exprimée en heure et minute ?
	      \end{enumerate}
	      
	\item
	      \begin{enumerate}
		      \item Calculer la marge totale de chaque tâche.
		      \item En déduire le  chemin critique.
		      \item Quelle est la tâche qui peut prendre le plus de retard, sans retarder la date prévisionnelle de la fin de projet ? Justifier et préciser la durée maximale du retard admissible pour cette tâche.
	      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les étudiants fabriquent ensuite trois séries de pièces.

Ils disposent du bilan des coûts des différentes fabrications et souhaitent connaître le prix unitaire de chaque pièce $P_{1}$, $P_{2}$ et $P_{3}$.

\begin{list}{}{}
\item Série 1 : la fabrication d'une pièce $P_{1}$, d'une pièce $P_{2}$ et d'une pièce $P_{3}$ a coûté 24 \euro.

\item Série 2 : la fabrication de deux pièces $P_{1}$ et de deux pièces $P_{3}$ a coûté 40 \euro.

\item Série 3 : la fabrication d'une pièce $P_{1}$ et de trois pièces $P_{2}$ a coûté 18 \euro.
\end{list}

\begin{tabular}{@{} l l}
On notera: & $x$ le coût de fabrication d'une pièce $P_{1}$,  exprimé en euro.\\
	 & $y$ le coût de fabrication d'une pièce $P_{2}$, exprimé en euro. \\
	 & $z$ le coût de fabrication d'une pièce $P_{3}$, exprimé en euro. \\
\end{tabular}

\begin{enumerate}
	\item Écrire un système d'équations (S), d'inconnues $x$, $y$ et $z$, permettant de traduire les coûts de fabrication des trois séries.
\end{enumerate}

Pour la suite de cette partie, on notera :
	      \[
		      M = \begin{pmatrix}
			      1 & 1 & 1 \\
			      2 & 0 & 2 \\
			      1 & 3 & 0
		      \end{pmatrix}
		      \quad
		      X = \begin{pmatrix}
			      x \\
			      y \\
			      z
		      \end{pmatrix}
		      \quad\text{et}\quad
		      P = \begin{pmatrix}
			      24 \\
			      40 \\
			      18
		      \end{pmatrix}.
	      \]

	      On admet que le système (S) peut se traduire matriciellement par l'égalité $M\times X = P$.

	      \bigskip


\begin{enumerate}[resume]
	\item On pose
	      $
		      N = \begin{pmatrix}
			      -3 & 1,5  & 1  \\
			      1  & -0,5 & 0  \\
			      3  & -1   & -1
		      \end{pmatrix}
		      \quad\text{et}\quad
		      I = \begin{pmatrix}
			      1 & 0 & 0 \\
			      0 & 1 & 0 \\
			      0 & 0 & 1
		      \end{pmatrix}
	      $

	      \begin{enumerate}
		      \item Calculer le produit matriciel $N\times M$. Que peut‐on en déduire ?
		      \item Prouver que l'équation $M\times X = P$ d'inconnue $X$ a pour solution $X = N\times P$.
		      \item En déduire les prix en euro de chacune des pièces $P_{1}$, $P_{2}$ et $P_{3}$.
	      \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
