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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Services informatiques aux organisations\\Épreuve obligatoire}}
\rfoot{\small{16 mai 2024}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 16 mai 2024~\decofourright\\[7pt]Services informatiques aux organisations}}

\medskip

\textbf{Épreuve obligatoire}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} 

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Aucune justification n'est demandée.\\
Pour chaque question, une seule affirmation est exacte.\\
Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondante à l'affirmation
exacte.\\
Une réponse exacte vaut $1$ point. Une réponse fausse ou une absence de réponse n'est
pas pénalisée.}

\textbf{Question 1.} On pose $M = \begin{pmatrix}1&0&0\\0 &1& 0\\0&1&a\end{pmatrix}$ où $a$ désigne un réel quelconque. Alors :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{A :} $M^2 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0 &1& 0\\0&1&a^2\end{pmatrix}$&\textbf{B :} $M^2 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0 &1& 0\\0&a+1&a^2\end{pmatrix}$&\textbf{C :} $M^2 = \begin{pmatrix}1&0&0\\0 &1& 0\\a&1&a\end{pmatrix}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 2.} Le nombre 323:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{A :} est premier avec 420 &\textbf{B :} est un nombre premier 1 &\textbf{C :} est divisible par 9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Les questions \textbf{3.,4.} et \textbf{5.} portent sur le graphe orienté de sommets $x, y, z$ et $t$, pris dans cet ordre, de matrice d'adjacence $M = \begin{pmatrix}0&1&0&1\\1&1&1&0\\0&1&0&1\\0&1&1&1&1 \end{pmatrix}$ . On donne $M^3 = \begin{pmatrix}2&6&3&4\\3&7&5&4\\2&6&3&4\\3&8&5&5 \end{pmatrix}$

\textbf{Question 3.} Le sommet $y$ a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{A :} 2 prédécesseurs &\textbf{B :} 3 prédécesseurs &\textbf{C :} 4 prédécesseurs\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 4.} Le chemin suivant de longueur 4 est possible:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{A :} $z-y-t-x-y$&\textbf{B :}  $z- t- t - y- x$&\textbf{C :} $x-y-z-t-x$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\textbf{Question 5.} Le nombre de chemins de longueur 3 d'origine $t$ et d'extrémité $y$ est égal à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline
\textbf{A :} 6 &\textbf{B :} 7 &\textbf{C :} 8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

La norme de codage ASCII (American Standard Code for Information Interchange), défini aux États-Unis en 1963, associe aux caractères les plus utilisés dans les documents en langue anglaise un entier représentable en binaire sur 7 bits.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Combien de caractères peut-on ainsi encoder ?
\item Aux lettres majuscules A, B, \ldots, Z sont associés les nombres de 65 à 90, et aux lettres minuscules a, b, \ldots, z, ceux de 97 à 122.
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture binaire associée à la lettre "d",
		\item Quel caractère correspond à l'écriture binaire 1101101 ?
	\end{enumerate}
\item Lors de la transmission des données, pour éviter les erreurs, une méthode consiste
à ajouter pour chaque caractère, un bit de parité à la fin du codage en binaire.

Pour cela, on compte le nombre de 1 apparaissant dans le codage sur 7 bits d'un
caractère :
\begin{itemize}
\item si le nombre obtenu est pair, on rajoute 0 à la fin du codage ;
\item sinon on rajoute 1.
\end{itemize}

Chaque caractère est alors codé par un groupe de 8 bits appelé octet.

Par exemple :
\begin{itemize}
\item la lettre "A" est codée par 1000001 en binaire. Ce codage contient un
nombre pair de 1, donc on ajoute 0 à la fin, et la lettre "A" sera codée sur 8
bits par 10000010 ;
\item la lettre "C" est codée par 1000011 en binaire. Ce codage contient un
nombre impair de 1, donc on ajoute 1 à 'a fin, et la lettre "C" sera codée sur
8 bits par 10000111.
\end{itemize}

On considère l'algorithme ci-dessous écrit en langage naturel où ajoute\_bit\_parite est la fonction prenant en paramètre une chaine de caractères code de longueur 7 représentant un codage binaire et qui renvoie le codage obtenu en lui ajoutant
le bit de parité à la fin.

Ainsi ajoute\_bit\_parite("11011 00") renvoie "11011000" et ajoute\_bit\_parite("1100001") renvoie "11000011".

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Fonction} ajoute\_bit\_parite(code)\\
\quad compt$\gets$ 0\\
\quad \textbf{Pour} i allant de 0 à 6 Faire\\
\quad \qquad \textbf{Si} code[i] est égal à "1"\\
\quad \qquad \textbf{Alors}\\
~\\
\quad \qquad \textbf{Fin de Si}\\
\quad \textbf{Fin de Pour}\\
\quad \textbf{Si} le reste de la division de \ldots par 2 est 0 \\
\quad \textbf{Alors}\\
\quad \qquad code $\gets$ code +"0"\\
\quad \textbf{Sinon}\\
\quad \qquad \ldots \ldots\\
\quad \textbf{Fin de Si}\\
\quad Renvoyer code\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

Recopier et compléter cet algorithme pour qu'il renvoie le code binaire sous forme de chaine de caractères, complété par le bit de parité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La directrice d'une entreprise doit recruter une personne pour son équipe. Ce poste requiert des compétences professionnelles et humaines.

L'évaluation du candidat attribue une note sur 10 points à ses compétences professionnelles et une note sur 10 points à ses compétences humaines. Le total des points du candidat
forme ainsi une note sur 20 appelée note finale.

Pour qu'un candidat soit sélectionné, il faut qu'au moins un des critères suivants soit respecté.

\begin{itemize}
\item le candidat a obtenu une note finale supérieure ou égale à 12 et il a eu au moins 5 points aux compétences humaines ;
\item le candidat a obtenu une note finale inférieure strictement à 12 et il a obtenu 10 points aux compétences professionnelles ; 
\item  le candidat n'a pas obtenu au moins 5 points aux compétences humaines et il a
obtenu 10 points aux compétences professionnelles.
\end{itemize}

\smallskip

On définit les trois variables booléennes $a, b, c$ de la façon suivante :

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $a$ lorsque le candidat a obtenu une note finale supérieure ou égale à 12 $\overline{a}$ sinon ;
\item $b$ lorsque le candidat a obtenu au moins 5 points aux compétences humaines, $\overline{b}$ sinon:
\item $c$ lorsque le candidat a obtenu 10 points aux compétences professionnelles, $\overline{c}$ sinon.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la proposition \og Tous les candidats ont obtenu une note finale supérieure ou égale à 12 \fg. 

Donner la négation de cette proposition.
\item On note $E$ l'expression booléenne correspondant aux critères de sélection d'un candidat
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $E$ en fonction des variables booléennes $a, b, c$.
		\item Représenter l'expression $E$ dans un tableau de Karnaugh.
		
En déduire une expression simplifiée de $E$ sous la forme d'une somme de deux termes
		\item Traduire la forme simplifiée de $E$ à l'aide d'une phrase.
		\item Un candidat a obtenu au moins 5 points aux compétences humaines, et il n'a pas obtenu 10 points aux compétences professionnelles.
		
Sa candidature peut-elle être retenue ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour équiper ses bureaux, l'entreprise a besoin de tables, d'armoires et de chaises.

Ayant demandé un devis à trois fournisseurs notés A, B, C,  l'entreprise a obtenu les renseignements suivants, où les prix sont en euros :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Fournisseur&Prix d'une armoire&Prix d'une table&Prix d'une chaise\\ \hline
A &240 	&120	&80\\ \hline
B &220	&140	&60\\ \hline
C &260 	&160	&40\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}240 &120&80\\
 220&140&60\\260 &160 &40\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'entreprise envisage de commander 8 armoires, 6 tables et 8 chaises. Cependant, elle se fixe un budget maximum de \np{3100}~\euro.

On considère la matrice colonne: $N = \begin{pmatrix}8\\6\\8 \end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit $M \times N$.
		\item Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
		\item Chez quel fournisseur l'entreprise peut-elle passer commande ?
	\end{enumerate}
\item Finalement, l'entreprise envisage une commande de \np{2960} euros avec le fournisseur A, de \np{2820} euros avec le fournisseur B et de \np{2980} euros avec le fournisseur C.

On note $x$ le nombre d'armoires, $y$ le nombre de tables et $z$ le nombre de chaises correspondant à cette commande.

On note $X$ la matrice $\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
 et $Y$ la matrice $\begin{pmatrix}\np{2960}\\\np{2820}\\\np{2980}\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une relation entre $M, X$ et $Y$.
		\item Soit la matrice \renewcommand\arraystretch{1.9}$P = \begin{pmatrix}\frac{1}{60}&-\frac{1}{30}&\frac{1}{60}\\- \frac{17}{600}&\frac{7}{150}& - \frac{1}{75}\\\frac{1}{200}&\frac{3}{100}&-\frac{3}{100}\end{pmatrix}$\renewcommand\arraystretch{1} et la matrice identité $I = \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$.
		
On admet que $P \times M = I$. Que peut-on en déduire ?
		\item Montrer que $X = PY$.
		\item En déduire le nombre de tables correspondant à cette commande ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}